a.1  ^0.80 Докажите, что величина магнитного момента $\mu$ под действием магнитного поля $\vec B$ всегда остается постоянной. Также покажите, что в частном случае постоянного магнитного поля угол между $\vec \mu$ и $\vec B$ постоянен.
(Подсказка: Вы можете использовать свойства векторных произведений).

1 $\dot{\vec\mu}$ через $\vec \mu$ и $\vec B$	0.20
2 Док-во 1	0.30
3 Док-во 2	0.30

a.2  ^0.80 Индукция магнитного поля $\vec B$ образует угол $\phi$ с магнитным моментом частицы $\vec \mu$. Из-за момента сил, создаваемого магнитным полем, магнитный момент $\vec \mu$ вращается вокруг поля $\vec B$, что известно, как ларморовская прецессия. Определите частоту $\omega_0$ ларморовской прецессии магнитного момента вокруг вектора $\vec B=B_0\vec k$, где $\vec k$ — единичный вектор.

1 Уравнение спроецировано	0.40
2 Ответ	0.40

b.1  ^0.80 Покажите, что изменение магнитного момента со временем описывается уравнением $$\left(\frac{d\vec \mu} {dt}\right)_{rot}=\left(\gamma\vec\mu\times\vec B_{eff}\right)$$ где $\vec B_{eff}= \vec B - \frac\omega \gamma \vec k'$ — эффективная индукция магнитного поля.

1 Подстановка

0.80

b.2  ^0.40 Чему равна новая частота прецессии $\Delta$, выраженная через $\omega_0$ и $\omega$, для $\vec B=B_0\vec k$?

1 Ответ

0.40

b.3  ^1.20 Теперь рассмотрим случай магнитного поля, изменяющегося со временем. Для этого помимо постоянного магнитного поля мы также приложим вращающееся магнитное поле $\vec b(t)=b(\vec i \cos \omega t+\vec j \sin \omega t)$, так что $\vec B=B_0\vec k + \vec b(t)$. Покажите, что новая ларморовская частота прецессии магнитного момента равна
$$\Omega= \gamma\sqrt{\left(B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right)^2}+b^2$$

1 Эффективное поле во вращающейся системе отсчёта	0.60
2 Ответ	0.60

b.4  ^1.00 Вместо того, чтобы прикладывать поле $\vec b(t)=b(\vec i \cos \omega t+\vec j \sin \omega t)$ теперь приложим поле $\vec b(t)=b(\vec i \cos \omega t-\vec j \sin \omega t)$ которое вращается в противоположном направлении. В этом случае
$$\vec B=B_0\vec k+b(\vec i \cos \omega t-\vec j \sin \omega t)$$ Чему теперь равно эффективное магнитное поле $\vec B_{eff}$ (выраженное через единичные вектора $\vec i', \vec j', \vec k')$? Чему равно среднее по времени поле $\overline{\vec B_{eff}}$, (вспомните, что $\overline{\cos2\pi t/T}=\overline{\sin2\pi t/T}=0$?

1 Эффективное поле	0.50
2 Усреднение	0.20
3 Ответ	0.30

c.1  ^1.20 Покажите, что во вращающейся системе координат $S'$ эффективное поле может быть аппроксимировано как $$\vec B_{eff} \approx b\vec i' $$ что известно как аппроксимация вращающейся волной. Чему равна частота прецессии $\Omega$ в системе координат $S'$?

1 Поле во вращающейся системе отсчёта	0.70
2 Усреднение	0.20
3 Ответ	0.30

c.2  ^0.60 Определите угол $\alpha$, который вектор $\vec \mu$ образует с полем $\vec B_{eff}$. Также докажите, что намагниченность изменяется со временем как $$M(t)= N\mu(\cos \Omega t)$$

1 Угол	0.20
2 Ответ для намагниченности	0.40

c.3  ^1.20 При воздействии магнитного поля, описанного выше, определите относительную заселенность состояний «спин вверх» $P _{\uparrow}=N_{\uparrow}/N$ и «спин вниз» $P _{\downarrow}=N_{\downarrow}/N$ как функции времени. Нанесите на один график $P _{\uparrow}$ и $P _{\downarrow}$ в зависимости от времени $t$. Изменяющаяся со временем заселенность состояний «спин вверх» и «спин вниз» называется осцилляциями Раби.

1 Выражения $P_{\downarrow,\uparrow}$ через $\mu_z$ и $\mu$	0.40
2 Подстановка и ответы	2 × 0.30
3 График	0.20

d.1  ^1.00 Рассмотрим горячий тигель — источник атомов серебра, имеющий небольшое отверстие. Атомы вылетают из отверстия вдоль направления «$-y$» (см. рисунок внизу) и попадают в неоднородное в пространстве поле $\vec B_1$. Поле $\vec B_1$ имеет сильную компоненту в направлении оси $z$. В нем атомы с различными магнитными моментами $\mu_z=\pm\gamma\hbar$ расщепляются вдоль направления $z$. На расстоянии $D$ от тигля расположен экран $SC_1$, который пропускает только атомы со спином вверх (не пропускаются атомы со спином вниз). Поэтому сразу за экраном атомы имеют спин, направленный вверх. За экраном атомы входят в область неоднородного поля $\vec B_2$, где на них действует сила $$F_x=\mu_x C$$Поле $\vec B_2$ имеет сильную компоненту в направлении оси $x$, вдоль которой атомы имеют магнитные моменты $\mu_x=\pm\gamma \hbar$.
Покажите, что для того, чтобы определить $\mu_x$, наблюдая расщепление в направлении оси $x$, должно выполняться следующее условие: $$\frac{1}{\hbar}|\mu_x|\Delta x C t\gg 1$$ где $t$ — время после прохождения экрана $SC_1$ и $\Delta x$ — расхождение пучков на экране $SC_1$ .

1 Оценка ширины пучка	0.40
2 Оценка разделения пучков	0.40
3 Ответ	0.20

d.2  ^1.00 Сразу после экрана атомы имеют спины, направленные вверх, где $\mu_z=\gamma\hbar =|\mu_x|$. Это означает, что атомы будут прецессировать с угловыми частотами, покрывающими диапазон значений $\Delta \omega $ по отношению к компоненте $x$ поля $\vec B_2$, конкретно $B_{2x}= B_0+Cx$. Докажите, что разброс угла прецессии $\Delta \omega t$ велик и мы не можем измерять одновременно $\mu_x$ и $\mu_z$. Другими словами, измерение $\mu_x$ разрушает информацию о $\mu_z$.

1 Разброс поля на масштабе ширины пучка	0.40
2 Разброс угловых частот на масштабе ширины пучка	0.30
3 Ответ	0.30