a.1  ^0.80 Докажите, что величина магнитного момента $\mu$ под действием магнитного поля $\vec B$ всегда остается постоянной. Также покажите, что в частном случае постоянного магнитного поля угол между $\vec \mu$ и $\vec B$ постоянен.
(Подсказка: Вы можете использовать свойства векторных произведений).

Комбинируем выражения из условия:\[\dot{\vec\mu}=-\gamma[\vec\mu,\vec B].\]Умножив на $\vec \mu$, получим:\[(\vec \mu,\dot{\vec\mu})=-\gamma(\vec\mu,[\vec\mu,\vec B])\implies\mathrm d\mu^2/\mathrm dt=0\implies\mu=\operatorname{const}.\]Умножив на $\vec B$, получим:\[(\vec B,\dot{\vec\mu})=-\gamma(\vec B,[\vec\mu,\vec B])\implies(\vec B,\dot{\vec\mu})=0\implies(\vec B,\vec\mu)=\operatorname{const}.\]

a.2  ^0.80 Индукция магнитного поля $\vec B$ образует угол $\phi$ с магнитным моментом частицы $\vec \mu$. Из-за момента сил, создаваемого магнитным полем, магнитный момент $\vec \mu$ вращается вокруг поля $\vec B$, что известно, как ларморовская прецессия. Определите частоту $\omega_0$ ларморовской прецессии магнитного момента вокруг вектора $\vec B=B_0\vec k$, где $\vec k$ — единичный вектор.

Спроецируем уравнение\[\dot{\vec\mu}=-\gamma[\vec\mu,\vec B]\]на плоскость, перпендикулярную магнитному полю. Получим:\[\mu\sin\phi\dot\theta=\gamma\mu B_0\sin\phi\implies\]

b.1  ^0.80 Покажите, что изменение магнитного момента со временем описывается уравнением $$\left(\frac{d\vec \mu} {dt}\right)_{rot}=\left(\gamma\vec\mu\times\vec B_{eff}\right)$$ где $\vec B_{eff}= \vec B - \frac\omega \gamma \vec k'$ — эффективная индукция магнитного поля.

Используя соотношение из условия:\[\left(\frac{\mathrm d\vec\mu}{\mathrm dt}\right)_{rot}=\left(\frac{\mathrm d\vec\mu}{\mathrm dt}\right)_{lab}-[\vec\omega,\vec\mu]=-\gamma[\vec\mu,\vec B]-\omega[\vec k',\vec \mu]=-\gamma\left[\vec\mu,\left(\vec B-\frac\omega\gamma\vec k'\right)\right]=-\gamma[\vec\mu,\vec B_{eff}].\]

b.2  ^0.40 Чему равна новая частота прецессии $\Delta$, выраженная через $\omega_0$ и $\omega$, для $\vec B=B_0\vec k$?

Новая частота прецессии во вращающейся системе отсчёта $S'$ равна:

b.3  ^1.20 Теперь рассмотрим случай магнитного поля, изменяющегося со временем. Для этого помимо постоянного магнитного поля мы также приложим вращающееся магнитное поле $\vec b(t)=b(\vec i \cos \omega t+\vec j \sin \omega t)$, так что $\vec B=B_0\vec k + \vec b(t)$. Покажите, что новая ларморовская частота прецессии магнитного момента равна
$$\Omega= \gamma\sqrt{\left(B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right)^2}+b^2$$

Поскольку во вращающейся системе отсчёта магнитное поле $\vec B=B_0\vec k'+b\vec i'$, то\[\vec B_{eff}=\vec B-\frac\omega\gamma\vec k'=\left(B_0-\frac\omega\gamma\right)\vec k'+b\vec i',\]поэтому\[\Omega=\gamma B_{eff}=\gamma\sqrt{\left(B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right)^2}+b^2.\]

b.4  ^1.00 Вместо того, чтобы прикладывать поле $\vec b(t)=b(\vec i \cos \omega t+\vec j \sin \omega t)$ теперь приложим поле $\vec b(t)=b(\vec i \cos \omega t-\vec j \sin \omega t)$ которое вращается в противоположном направлении. В этом случае
$$\vec B=B_0\vec k+b(\vec i \cos \omega t-\vec j \sin \omega t)$$ Чему теперь равно эффективное магнитное поле $\vec B_{eff}$ (выраженное через единичные вектора $\vec i', \vec j', \vec k')$? Чему равно среднее по времени поле $\overline{\vec B_{eff}}$, (вспомните, что $\overline{\cos2\pi t/T}=\overline{\sin2\pi t/T}=0$?

В этом случае эффективное магнитное поле\[\vec B_{eff}=\vec B-\frac\omega\gamma\vec k'=\]

что усредняется по времени в выражение

c.1  ^1.20 Покажите, что во вращающейся системе координат $S'$ эффективное поле может быть аппроксимировано как $$\vec B_{eff} \approx b\vec i' $$ что известно как аппроксимация вращающейся волной. Чему равна частота прецессии $\Omega$ в системе координат $S'$?

Колеблющееся поля можно рассматривать как суперпозицию двух вращающихся полей:\[2b\vec i\cos\omega_0 t=b(\vec i\cos\omega_0t+\vec j\sin\omega_0t)+b(\vec i\cos\omega_0t-\vec j\sin\omega_0t),\]поэтому эффективное поле будет равно ($\omega=\omega_0=\gamma B_0$)\[\vec B_{eff}=\left(B_0-\frac\omega\gamma\right)\vec k'+b\vec i'+b(\vec i'\cos2\omega_0t-\vec j'\sin2\omega_0t).\]Поскольку $\omega_0\gg\gamma b$, последний член осциллирует очень быстро, намного быстрее $\gamma b$. Таким образом, можно приближённо записать\[\vec B_{eff}\approx\left(B_0-\frac\omega\gamma\right)\vec k'+b\vec i'=b\vec i',\]поэтому магнитный момент прецессирует с частотой

c.2  ^0.60 Определите угол $\alpha$, который вектор $\vec \mu$ образует с полем $\vec B_{eff}$. Также докажите, что намагниченность изменяется со временем как $$M(t)= N\mu(\cos \Omega t)$$

Из геометрии системы находим ($\cos\theta=\mu_z/\mu$):
\[2 \mu \sin \frac{\theta}{2} =2 \mu \sin \alpha \sin \frac{\Omega t}{2}, \\
\sin ^2 \frac{\theta}{2} =\sin ^2 \alpha \sin ^2 \frac{\Omega t}{2}, \\
\frac{1-\cos \theta}{2} =\sin ^2 \alpha \frac{1-\cos \Omega t}{2}, \\
\cos \theta =1-\sin ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha \cos \Omega t, \\
\cos \theta =\cos ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha \cos \Omega t .
\]
Проекция магнитного момента на ось $z$ равна $\mu_z(t)=\mu\cos\theta$, поэтому намагниченность\[M=N \mu_2=N \mu\left(\cos ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha \cos \Omega t\right) .\]Стоит отметить, что намагниченность не зависит от системы отсчёта, поскольку величина $\mu_z$ одинакова в $S$ и $S'$. Поскольку $\omega=\omega_0=\gamma B_0$, $\alpha=90^\circ$ и $M=N\mu\cos\Omega t$.

c.3  ^1.20 При воздействии магнитного поля, описанного выше, определите относительную заселенность состояний «спин вверх» $P _{\uparrow}=N_{\uparrow}/N$ и «спин вниз» $P _{\downarrow}=N_{\downarrow}/N$ как функции времени. Нанесите на один график $P _{\uparrow}$ и $P _{\downarrow}$ в зависимости от времени $t$. Изменяющаяся со временем заселенность состояний «спин вверх» и «спин вниз» называется осцилляциями Раби.

Из соотношений\[
P_{\uparrow}-P_{\downarrow}=\frac{\mu_z}{\mu}=\cos \theta, \quad
P_{\uparrow}+P_{\downarrow}=1,
\]получим ($\omega=\omega_0$):\[
P_{\downarrow} =\frac{1-\cos \theta}{2} =\frac{1-\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \alpha \cos \Omega t}{2}
=\sin ^2 \alpha \frac{1-\cos \Omega t}{2}
=\frac{b^2}{\left(B_0-\frac{\omega}{\gamma}\right)^2+b^2} \sin ^2 \frac{\Omega t}{2}
=\sin ^2 \frac{\Omega t}{2}, \\
\text{и}\quad P_{\uparrow}= \frac{b^2}{\left(B_0-\frac{\omega}{\gamma}\right)^2+b^2} \cos ^2 \frac{\Omega t}{2}=\cos ^2 \frac{\Omega t}{2} .
\]

d.1  ^1.00 Рассмотрим горячий тигель — источник атомов серебра, имеющий небольшое отверстие. Атомы вылетают из отверстия вдоль направления «$-y$» (см. рисунок внизу) и попадают в неоднородное в пространстве поле $\vec B_1$. Поле $\vec B_1$ имеет сильную компоненту в направлении оси $z$. В нем атомы с различными магнитными моментами $\mu_z=\pm\gamma\hbar$ расщепляются вдоль направления $z$. На расстоянии $D$ от тигля расположен экран $SC_1$, который пропускает только атомы со спином вверх (не пропускаются атомы со спином вниз). Поэтому сразу за экраном атомы имеют спин, направленный вверх. За экраном атомы входят в область неоднородного поля $\vec B_2$, где на них действует сила $$F_x=\mu_x C$$Поле $\vec B_2$ имеет сильную компоненту в направлении оси $x$, вдоль которой атомы имеют магнитные моменты $\mu_x=\pm\gamma \hbar$.
Покажите, что для того, чтобы определить $\mu_x$, наблюдая расщепление в направлении оси $x$, должно выполняться следующее условие: $$\frac{1}{\hbar}|\mu_x|\Delta x C t\gg 1$$ где $t$ — время после прохождения экрана $SC_1$ и $\Delta x$ — расхождение пучков на экране $SC_1$ .

Вдоль оси $x$ из-за ширины щели возникнет неопределённость $\Delta x$. Согласно принципу неопределённости, это приведёт к неопределённости импульса\[\Delta p_x\approx\frac\hbar{\Delta x}\implies v_x\approx\frac\hbar{m\Delta x}.\]Следовательно, за время полёта атомов $t$ ширина пучка вырастет на величину\[\delta x=\Delta v_xt\approx\frac\hbar{m\Delta x}t,\]т.е. ширина пучка растёт линейно со временем. Между тем, пучки разделяются за счёт силы $F_x$ на расстояние\[d_x=2\cdot\frac12\frac{F_x}mt^2=\frac1m|\mu_x|Ct^2.\]Чтобы различить пучки, расстояние между ними должно быть больше ширины, т.е.\[d_x\gg\delta x\implies \frac1m|\mu_x|Ct^2\gg\frac\hbar{m\Delta x}t\implies\frac1\hbar|\mu_x|\Delta xCt\gg1.\]

d.2  ^1.00 Сразу после экрана атомы имеют спины, направленные вверх, где $\mu_z=\gamma\hbar =|\mu_x|$. Это означает, что атомы будут прецессировать с угловыми частотами, покрывающими диапазон значений $\Delta \omega $ по отношению к компоненте $x$ поля $\vec B_2$, конкретно $B_{2x}= B_0+Cx$. Докажите, что разброс угла прецессии $\Delta \omega t$ велик и мы не можем измерять одновременно $\mu_x$ и $\mu_z$. Другими словами, измерение $\mu_x$ разрушает информацию о $\mu_z$.

После пересечения экрана разброс магнитного поля на масштабах ширины пучка будет равен\[\Delta B=\Delta x\frac{\mathrm dB}{\mathrm dx}=C\Delta x.\]Таким образом, разброс угловых частот прецессии\[\Delta\omega=\gamma\Delta B=\frac{\mu_z}\hbar\Delta B=\frac{|\mu_x|}\hbar C\Delta x.\]Если удовлетворяется условие из предыдущего пункта, то\[\Delta\omega\gg1.\]