Найдем магнитное поле от витка $[s;s+\mathrm ds]$ как поле кольца (количество витков катушки в $ds$ равно $ds/a$): $$\mathrm d\vec B=\frac{\mu_0ID^2}{a\left[D^2+4(s-x)^2\right]^{3/2}}\hat x~\mathrm ds.$$ Интегрируя это выражение по всей катушке, получаем $$B(x)=\frac{\mu_0ID^2}{a}\int\limits_{-l/2}^{l/2}\frac{\mathrm ds}{\left[D^2+4(s-x)^2\right]^{3/2}}=\frac{\mu_0ID^2}{2a}\int\limits_{-l-2x}^{l-2x}\frac{\mathrm ds'}{\left[D^2+s'^2\right]^{3/2}}.$$

Из пункта $\text A2$ магнитное поле в точке $x=0$ равно $$B(0)=\dfrac{\mu_0I}{a}\dfrac{1}{\sqrt{1+(D/l)^2}}.$$ Если $B(0)=10~\text{Тл}$, то ток должен быть равен

Для бесконечно длинной катушки ($l\rightarrow\infty$ и $b\ll D$) магнитное поле, действующее на ток, равно среднему полей снаружи и внутри катушки. Поле снаружи равно 0, а поле внутри такое же, как в точке $\text O$. Таким образом, $$\vec B=\overline B\widehat x=\dfrac{1}{2}\left(0+\dfrac{\mu_0I}{a}\right)\widehat x=\dfrac{\mu_0 I}{2a}\widehat x.$$ Тогда сила, действующая на сегмент провода длиной $\Delta s$ наружу, равна $$\Delta F_\mathrm n=I\overline B\Delta s$$

Как можно видеть из рисунка, сумма пары сил натяжения на концах сегмента $\Delta s$ направлена внутрь катушки и равна $-F_\mathrm t\Delta\theta=-F_\mathrm t\frac{2\Delta s}{D'}$. Тогда условие равновесия $$\Delta F_\mathrm n=F_\mathrm t\frac{2\Delta s}{D'}.$$ Отсюда с учетом результата пункта $\text B1$ получаем ответ

В момент разрыва механическое напряжение равно $\sigma_b$. То-есть в момент разрыва $$\sigma_\mathrm b=\frac{F_\mathrm t}{ab}=\frac{\mu_0I_b^2D'}{4a^2b}.$$ Также в момент разрыва $D'=1.60D$. Из последних двух уравнений найдем ток $I_b$, при котором произойдет разрыв:

Используя ток из пункта $\text B3$, найдем магнитное поле в точке $\text O$:

Когда ток $I=10.0~\text{кА}$, плотность тока $$J=\dfrac{I}{ab}.$$ Мощность, выделяющаяся в единице объема катушки, равна $\dot w=\rho_\mathrm e\left[\frac I{ab}\right]^2$

Учитывая, что теплоемкость на единицу объема равна $\rho_\mathrm mc_p$, находим скорость изменения температуры:

В предположениях задачи поток магнитного поля через каждый виток равен $$\Phi=\frac{\pi\mu_0ID^2}{4a}.$$

Запишем закон Кирхгофа для цепи: $$L\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}+RI+\frac1CQ=0.$$ В этом пункте нам даны $$Q(t)=\frac{CV_0}{\sin\theta_0}e^{-\alpha t}\sin(\omega t+\theta_0)=e^{\alpha\theta_0/\omega}\frac{CV_0}{\sin\theta_0}e^{-\alpha (t+\theta_0/\omega)}\sin(\omega( t+\theta_0/\omega))$$ $$I(t)\equiv \frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}=\left(\frac{-\alpha}{\cos\theta_0}\right)\frac{CV_0}{\sin\theta_0}e^{-\alpha t}\sin\omega t$$ $$\tan \theta_0=\frac\omega\alpha.$$ Сравнивая правые части выражений для $Q$ и $I$, можно заметить, что ток $I(t)=dQ/dt$ получен из $Q(t)$ заменой переменной времени с $t+\theta_0/\omega$ на $t$ и умножением на константу $(-\alpha e^{-\alpha\theta_0/\omega}/\cos\theta_0)$. Используя полученную связь между $Q$ и $I$ найдем производную $$dI/dt=\left(\frac{\alpha}{\cos\theta_0}\right)^2\frac{CV_0}{\sin\theta_0}e^{-\alpha t}\sin(\omega t-\theta_0).$$ Подставляем все в закон Кирхгофа, раскрывая синус суммы/разности. Получаем $$L\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}+RI+\frac1CQ=\left(\frac{CV_0}{\sin\theta_0}\right)e^{-\alpha t}(A\cos\theta_0\sin\omega t+B\sin\theta_0\cos\omega t)=0,$$ где $$A=L\left( \dfrac{\alpha}{\cos\theta_0} \right)^2-R\left(\dfrac{\alpha}{\cos^2\theta_0}\right)+\dfrac1C$$ $$B=-L\left(\dfrac{\alpha}{\cos\theta_0}\right)^2+\dfrac1C.$$ Для выполнения закона Кирхгофа $A=0$ и $B=0$. Вычитая эти уравнения друг из друга получаем

$$\alpha=\dfrac{R}{2L}$$

Складывая уравнения, получаем $$\dfrac1{LC}=\dfrac{\alpha^2}{\cos^2\theta_0}=\alpha^2+\omega^2.$$ Следовательно,

$|I|\rightarrow\mathrm{max}$, когда $dI/dt=0$. Это происходит при $$t_m=\dfrac{\theta_0}{\omega}.$$ Тогда

Если $I_\mathrm m< I_b$, то должно быть выполнено условие $$\frac{\alpha CV_0}{\cos\theta_0}e^{-\frac\alpha\omega\theta_0}< I_b.$$ Это определяет $V_{0\mathrm b}$:

Когда $|I(t)|$ достигает своего максимума, напряжение конденсатора упало с начального $V_0=V_{0\mathrm b}$ до $$V(t_\mathrm m)=\dfrac{V_{0\mathrm b}}{\sin\theta_0}e^{-\alpha\theta_0/\omega}\sin(2\theta_0).$$ В период с $t=0$ до $t=t_\mathrm m$ конденсатор передал в цепь (в виде Джоулева тепла и магнитной энергии) количество энергии, равное $$E_C=\dfrac12C(V_{0\mathrm b}^2-V(t_\mathrm m)^2)=\frac12CV_{0\mathrm b}^2\left\{1-4e^{-\frac{2\alpha}\omega\theta_0}\cos^2\theta_0\right\}.$$ По закону сохранения энергии вся эта энергия перейдет в тепло, поэтому $$\Delta E=E_C$$

Если теплоемкость не зависит от температуры, то увеличение температуры равно