Pho.rs: Рентгеновские джеты активных ядер галактик

A1 ^0.30 Найдите концентрацию частиц в системе отсчета АЯГ $n'(s)$, через концентрацию частиц в системе отсчета джета $n(s)$ и другие параметры. Система отсчета джета в каждой точке движется с той же скоростью, что и джет в этой точке.

1 Сокращение длины	0.10
2 Ответ	0.20

A2 ^0.20 Найдите количество частиц в единицу времени $F_p(s)$, которые пересекают сечение джета площадью $A(s)$ на расстоянии $s$ от АЯГ.

1 Ответ

0.20

A3 ^0.50 Запишите уравнение непрерывности для количества частиц, втекающих и вытекающих из джета, через параметры $s_1$ и $s_2$, полный объём джета $V$, и другие необходимые параметры.

1 Равенство нулю потока через боковую поверхность	0.10
2 Вклады в поток от торцов	0.20
3 Поток массы	0.20

A4 ^0.60 Запишите соотношение для энергий за единицу времени, втекающей и вытекающей из джета. Выразите эти величины через скорости джета, площади поперечного сечения, концентрации в системе отсчета джета в точках $s_1$ и $s_2$, полный объём джета $V$ и другие необходимые параметры.

1 Переход в СО АЯГ	0.20
2 Поток энергии через поперечное сечение	0.10
3 Поток массы	0.10
4 Ответ	0.20

A5 ^0.60 Используйте ответы предыдущих частей и найдите $\mathrm{d}P_\text{j}/\mathrm{d}s$.

1 $P_\mathrm j$ выражено через параметры джета	0.20
2 Сравнение в двух точках	0.10
3 Подстановка ранее полученных соотношений	0.20
4 Ответ	0.10

A6 ^0.40 Вычислите $\dot{M}_1$в точке $s_1$, и $\dot{M}_2$ в точке $s_2$,

1 Формула	0.20
2 Численные ответы	0.20

A7 ^0.50 Найдите выражения для величины импульса переносимого за единицу времени $\Pi$, через сечение джета Centaurus A. Также вычислите эту величину.

1 Средний импульс на одну частицу	0.20
2 Формула для потока импульса	0.20
3 Численный ответ	0.10

A8 ^0.50 Найдите и вычислите силу $F_{\text{Pr}}$, действующую на джет и возникающую из-за внешнего давления.

1 Давление со стороны всех трёх поверхностей	0.10
2 Правильный интеграл для силы на боковую поверхность	0.20
3 Ответ	0.20

A9 ^0.20 Запишите ожидаемое соотношение между $\Pi$ и $F_{\text{Pr}}$.

Также вычислите разницу (в процентах) между значением $\Pi$ из A7
и ожидаемым значением.

1 Соотношение	0.10
2 Численное значение разности	0.10

B1 ^0.20 Запишите в виде интеграла выражение для полной энергии единицы объёма для газа электронов.

1 Интеграл (в т.ч. правильные пределы)

0.20

B2 ^0.80 Найдите выражение скорости изменения z-компоненты (перпендикулярной стенке) импульса $\Delta p_\text{z}/\Delta t$ всех частиц газа ударившихся о стенку.

1 Множитель $2$ в выражении для изменения импульса	0.10
2 $E=pc$	0.10
3 Число электронов, сталкивающихся со стенкой за $\Delta t$.	0.20
4 Итоговый интеграл	0.20
5 Ответ	0.20

B3 ^0.60 Выведите уравнение состояния для газа ультрарелятивистских электронов, связывающее давление, объём и полную внутреннюю энергию.

1 Нахождение $E/V$	0.20
2 Нахождение давления	0.20
3 Уравнение состояния	0.20

B4 ^0.60 Выведите связь между давлением и объёмом для адиабатического процесса над ультрарелятивистским газом.

1 $\delta Q=0\implies\delta E=\delta W$	0.20
2 $\delta E$ из уравнения состояния	0.10
3 Итоговый интеграл	0.10
4 Ответ	0.20

C1 ^0.70 Найдите выражение для угловой скорости прецессии $\Omega$ электрона с гамма-фактором $\gamma$. Угол между магнитным полем $B$ и направлением движения электрона $\phi$.

1 M1 $\gamma m a = F_B$	0.30
2 M1 Сила Лоренца: $F_B = evB\sin\varphi$	0.10
3 M1 $a=v\Omega \sin \varphi$	0.10
4 M2 $\vec p = \gamma m \vec v$	0.10
5 M2 $dp/dt = 0$	0.10
6 M2 $\cfrac{d \vec p}{dt} = -e[\vec v \times \vec B]$	0.20
7 M2 $\cfrac{d \vec p}{dt} = [\vec \Omega \times \vec p]$	0.10
8 Угловая скорость $\Omega = \cfrac{eB}{\gamma m}$	0.20

C2 ^0.50 Найдите продолжительность вспышек $\Delta t$ синхротронного излучения, которые увидит наблюдатель. Гамма-фактор электрона $\gamma$, угол между магнитным полем и направлением движения электрона $\phi$.

1 Верно указаны точки, в которых были испущены первый и последний фотоны импульса (в порядке попадания к наблюдателю)	0.20
2 Приближение $v \approx c (1-1/2\gamma^2) \sin \varphi$	0.10
3 Ответ: $\Delta t_a \approx \cfrac{2m}{eB} \Big( 1 - \sin \varphi \Big( 1-\cfrac{2}{3\gamma^2} \Big) \Big) $	0.20
4 $\Delta t = 0$ при $\varphi = 0$ (недостаточно членов в разложении)	-0.10

C3 ^0.30 Отсюда оцените характерную частоту $\nu_{\text{chr}}$ синхротронной вспышки.

1 $\nu_{chr} = 1/\Delta t_a$	0.20
2 $\nu_{chr} = \cfrac{eB}{2m\Big( 1 - \sin \varphi \Big( 1-\cfrac{2}{3\gamma^2} \Big) \Big)}$	0.10

C4 ^0.20 Оцените время $\tau$ за которое электрон с энергией $E$ потеряет свою энергию. Процесс называется синхротронным охлаждением.

1 Линейное приближение	0.10
2 Ответ	0.10

D1 ^0.40 Сферический узел изотропно расширяется от объёма $V_0$ до объёма $V$. Начальное магнитное поле однородно и равно $B_0$. найдите магнитное поле $B$ в расширившемся узле.

1 Постоянство потока	0.10
2 Изменение площади	0.10
3 Ответ	0.20

D2 ^1.00 Найдите$f(\epsilon)$, распределение электронов по энергиям, после адиабатического расширения сферического узла до объёма $V$. Считайте, что при объёме $V_0$ начальное распределение электронов по энергиям $f_0(\epsilon)=\kappa_0 \epsilon^{-p}$, где $f_0(\epsilon)\ \mathrm{d}\epsilon$ — есть концентрация электронов с энергией в диапазоне от $\epsilon$ до $\epsilon + \mathrm{d}\epsilon$.

1 Изменение концентрации	0.10
2 Изменение энергии	0.20
3 При изменении энергии $p$ остаётся неизменным	0.30
4 Интеграл для концентрации	0.20
5 Ответ	0.20

D3 ^0.30 Рассмотрим как синхротронное охлаждение повлияет на распределение электронов. Рассмотрим распределение электронов по энергиям как функцию энергии $\epsilon$. Как изменится функция спустя некоторое время синхротронного охлаждения? Станет ли она более пологой, крутой, или не изменится? Поясните свой ответ, рассмотрев два электрона с энергиями $\epsilon_1<\epsilon_2$.

1 Более крутой	0.10
2 Корректное объяснение (например, охлаждение происходит быстрее при бóльших $E$)	0.20

D4 ^0.60 В таблице листа ответов укажите, какая причина наиболее вероятна для уменьшения яркости каждого узла. Также укажите, на основе какого такого пункта задачи вы сделали вывод?

1 Хотя бы один правильный ответ в первых двух строках	0.10
2 Хотя бы один из правильно указанных пунктов в первых двух строках	0.10
3 Первые две строки полностью верные	0.10
4 Хотя бы один правильный ответ в следующих двух строках	0.10
5 Хотя бы один из правильно указанных пунктов в следующих двух строках	0.10
6 Следующие две строки полностью верные	0.10

Рентгеновские джеты активных ядер галактик

Разбалловка