В первую очередь отметим, что при заданных угловых скоростях вращений планеты (вокруг звезды и вокруг своей оси) планета всегда будет обращена к звезде одной стороной. К тому же сама по себе угловая скорость будет невелика (то есть центробежные эффекты будут оказывать незначительное влияние на распределение масс в планете). В таких условиях на планете установится некое почти неизменное распределение температур и фаз веществ. Поэтому и толщина ледяного покрова в каждом месте на поверхности будет практически неизменной.

Предположим, что она везде существенно меньше радиуса планеты (указание на это содержится во второй части задачи). Из фазовой диаграммы следует, что на границе раздела лед-вода температура примерно равна температуре тройной точки воды $T_{\mathrm{in }} \approx 273 {~К}$ (поскольку температура плавления льда в очень широком диапазоне давлений от $\approx 10^{3}~ Па$ до $\approx 5 \cdot 10^{7}~Па$ практически не изменяется). Тогда величина радиального градиента температуры в ледяном покрове намного больше, чем вдоль поверхности (перепад температур между наиболее сильно нагретой точкой экватора и полюсом $T_{2}-T_{1}=50 {~К}$ более чем в три раза меньше, чем $T_{\mathrm {in }}-T_{2}=173 {~К}$, а расстояние между экватором и полюсом намного больше толщины льда). Это означает, что плотность потока теплоты вдоль поверхности в приповерхностном слое льда намного меньше, чем плотность потока теплоты в радиальном направлении. Поэтому потоком теплоты вдоль поверхности можно пренебречь.

Запишем условие теплового баланса для небольшого объема льда, находящегося на дневной стороне поверхности планеты на широте $\theta$. Идущий из недр планеты поток теплоты (будем условно называть его «геотермальным»), который необходимо найти, и поток энергии, поступающей от звезды (последний зависит от угла падения излучения на поверхность планеты, то есть от «планетоцентрической» широты местности) в сумме должны быть равны потоку собственного излучения поверхности планеты:$$
q_{0}+\sigma T_{\mathrm{X}}^{4} \cos \theta \frac{R_{\mathrm{X}}^{2}}{r_{\mathrm{o}}^{2}}=\sigma T^{4}
$$(здесь использован закон Стефана–Больцмана для излучательной способности фотосферы звезды и поверхности планеты, $T$ – температура на поверхности рассматриваемого объема льда).

Отсюда вытекают следующие выводы.

На полюсе $(\theta=\pi / 2)$ влияние излучения звезды нулевое, а потому вся теплота, излучаемая планетой на полюсе - это и есть искомый геотермальный поток:

Точность, с которой указаны необходимые данные, заведомо лучше $5 \%$, а пренебрежение потоками теплоты вдоль поверхности вносит еще меньшие погрешности. Поэтому точность результата лучше требуемой.

Толщина ледяного покрова на полюсе находится следующим образом. Геотермальный поток через слой льда малой толщины $d H$ одинаков для всех слоев и, согласно закону Фурье, равен по модулю:

$$
q_{0}=\chi(T) \frac{d T}{d H} \Rightarrow H_{1}=\frac{1}{q_{0}} \int_{T_{1}}^{T_{i n}} \chi(T) d T
$$
Подставляя в эту формулу заданный закон $\chi(T) \approx A \cdot[1-\beta T]$, где $A=5,40$ Вт $/($ м $\cdot$ К), $\beta=(1 / 465) K^{-1}$, находим:

Используя информацию о веществе, из которого состоит планета, и об ускорении свободного падения на ее поверхности можно оценить радиус планеты, который оказывается порядка 2-3 тысяч км. Таким образом, сделанное предположение о малости толщины ледяного покрова по сравнению с радиусом планеты оправдывается, и учет потоков теплоты вдоль поверхности вносит поправки менее $0.1 \%$! Значит, этой поправкой можно пренебрегать, и, с учетом точности интерполяции $\chi(T)$, точность результатов этого пункта явно не хуже $10 \%$.

Толщина ледяного покрова на экваторе, в зоне максимальной дневной температуры, также находится по формуле, полученной в п. 1.2., в которой необходимо заменить $T_{1}$ на $T_{2}$. Точность этого результата определить сложнее – нам неизвестна точность использования приближения абсолютно черного тела (неизвестна отражательная способность льда, есть только указания на то, что она невысокая). Вычисления дают

Слой льда такой толщины создает давление $\rho g H_{2} \approx 1,5 \cdot 10^{6}~Па$, что подтверждает сделанное выше предположение о близости температуры на нижней кромке льда к $273~ К$.

Условие теплового баланс для участка льда на экваторе на дневной стороне планеты теперь можно записать в виде$$
\sigma T_{{X}}^{4} \frac{R_{{X}}^{2}}{r_{0}^{2}}=\sigma\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right)
$$Откуда температура фотосферы звезды

Значит, зависимость максимальной дневной температуры от широты можно описать формулой:

Согласно закону смещения Вина, $\Lambda_{\max } \cdot T=\operatorname{const}$, поэтому:

то есть звезда $X$ светит в основном в инфракрасном диапазоне.

После быстрого исчезновения слоя льда, вода, во-первых, устремится вверх из-за давления соседних льдов. На поверхности поднимающейся воды установится почти нулевое давление, при этом температура сохранится примерно прежней - как мы установили в предыдущем пункте, примерно равной температуре $T_{i n}$ тройной точки воды. При этом если посмотреть на фазовую диаграмму воды, то станет понятно, что состояние приповерхностной воды будет соответствовать области диаграммы «Пар», то есть вода начнет интенсивно испаряться. Теплота испарения будет отбираться у нижележащей воды, которая в результате будет охлаждаться и замерзать. Из условия задачи известно, что процессы испарения и замерзания идут в одном темпе с процессом подъема воды, в самом конце которого на поверхности воды образуется сплошная ледяная «корка».

Давление над поверхностью воды быстро сравнивается с давлением насыщенного пара, но все равно остается намного меньше давления $p=\rho g H_{2}$, создаваемого толщей льда. Давление толщи льда будет уравновешено давлением столба воды в полынье только тогда, когда этот столб достигнет высоты $H_{0}=\frac{\rho}{\rho_{0}} H_{2} \approx 1440 {~м}$. Вода устремляется в полынью снизу со всех направлений, и ее скорость «на подходе» к полынье существенно меньше скорости поднимающегося водяного столба. Поэтому скорость $V$ подъема воды в полынье в тот момент, когда высота столба жидкости равна $x$, можно оценить, исходя из уравнения Бернулли: $\rho_{0} g x+\frac{\rho_{0} V^{2}}{2} \approx \rho g H_{2}$, откуда $V=\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t} \approx \sqrt{2 g\left(H_{0}-x\right)}$. Следовательно, время подъема воды до высоты $H_{0}$ примерно равно\[\tau \approx \int_{0}^{H_{0}} \frac{\mathrm d x}{\sqrt{2 g\left(H_{0}-x\right)}}=\sqrt{\frac{2 H_{0}}{g}}=\sqrt{\frac{2 \rho H_{2}}{g \rho_{0}}} \approx 54 ~{с}.\]

Как видно из фазовой диаграммы, приповерхностный слой воды будет кипеть, а возможность образования льда при температуре воды $T_{i n}$ возникнет только на глубине, в которой давление воды будет соответствовать давлению в тройной точке воды $p_{3} \approx 610~Па$. Соответствующая глубина равна $h_{\mathrm{B}}=p_{3} /\left(\rho_{0} g\right)=61 ~{см}$. При этом теплота, необходимая для испарения слоя воды толщиной $h_{\text {в }}$ будет «забрана» из слоя нижележащей воды, которая за счет этого и превратится в слой приповерхностного льда толщиной $h_{0}$. Таким образом, из уравнения теплового баланса получаем: $\rho_{0} h_{в} L=\rho h_{0} \lambda$. Отсюда

Ясно, что после начала замерзания воды в полынье глубина кратера установится и не будет изменяться. Поэтому глубина кратера

Если слой льда в некотором месте тоньше, чем в окружающей области, то отток теплоты через тонкую «корку» при одной и той же разности температур будет существенно больше, и не будет скомпенсирован геотермальным притоком. Поэтому слой льда будет расти с течением времени $t$, причем поток теплоты отвердевания вместе с геотермальным потоком будет уходить из жидкости через лед наружу. Пусть толщина растущего слоя льда в некоторый момент времени $t$ равна $H$. Тогда для малого промежутка времени $\mathrm d t$:$$
\frac{1}{H} \int\limits_{T_{2}}^{T_{\text {in }}} \chi(T) \,\mathrm d T \cdot S \,\mathrm d t=q_{0} S \,\mathrm d t+\lambda \rho S\,\mathrm d H \implies \lambda \rho\, \frac{\mathrm d H}{\mathrm d t}=\left(\frac{1}{H}-\frac{1}{H_{2}}\right) \int\limits_{T_{2}}^{T_{\text {in }}} \chi(T) \,\mathrm d T
$$Обозначим $\int_{T_{2}}^{T_{i n}} \chi(T) \,\mathrm d T=q_{0} H_{2} \equiv B$ и проинтегрируем это уравнение:$$
t=\frac{\lambda \rho}{B} \int\limits_{h_{0}}^{H(t)} \frac{H_{2} H}{H_{2}-H}\,\mathrm d H
$$На начальной стадии промерзания $H(t) \ll H_{2}$ (соответственно геотермальный поток на начальных стадиях пренебрежимо мал по сравнению с оттоком теплоты, и им можно пренебречь). В этом случае можно отбросить $H$ в знаменателе подынтегрального выражения, и$$
t_{1} \approx \frac{\lambda \rho}{B}\left(\frac{\left(2 h_{0}\right)^{2}}{2}-\frac{h_{0}^{2}}{2}\right)=\frac{3 \lambda \rho}{2 B} h_{0}^{2}=\frac{3 \lambda \rho}{2 q_{0} H_{2}} h_{0}^{2} \approx 1,66 \cdot 10^{7} \mathrm{c} \approx 192 \text { земных дня. }
$$

Для второго случая по-прежнему $H(t) \ll H_{2}$, и можно воспользоваться той же формулой:

В третьем случае толщина слоя льда уже достаточно велика: $H\left(t_{3}\right)=H_{0}$, и для оценки можно считать, что $H_{2}-H \ll H_{2}$. Тогда, поскольку большая часть времени тратится на «поздние» стадии замораживания, можно в числителе подынтегрального выражения положить $H \approx H_{2}$, и в результате:$$
t_{3} \approx \frac{\lambda \rho H_{2}^{2}}{B} \int\limits_{0}^{H_{0}} \frac{\mathrm d H}{H_{2}-H} \approx \frac{\lambda \rho H_{2}^{2}}{B} \ln \left(\frac{H_{2}}{H_{2}-H_{0}}\right)=\frac{\lambda \rho H_{2}}{q_{0}} \ln \left(\frac{H_{2}}{H_{2}-H_{0}}\right) \approx 3.2 \cdot 10^{12} \text { с} \approx 102 \text { тыс. земных лет.}
$$

Примечание. Конечно, можно получить общую формулу без использования приближений, и в этом случае$$ t=\frac{\lambda \rho}{q_{0}}\left[H_{2} \cdot \ln \left(\frac{H_{2}-h_{0}}{H_{2}-H(t)}\right)-H(t)+h_{0}\right] $$Однако существенное изменение результатов из-за этого произойдет только в третьем случае: получится$$ \begin{gathered} t_{1} \approx 1.67 \cdot 10^{7} \text { с} \approx 193 \text { земных дня,} \\ t_{2} \approx 2.85 \cdot 10^{9} \text { с} \approx 90 \text { земных лет,} \\ t_{3} \approx 1.96 \cdot 10^{12} \text { с} \approx 62 \text { тыс. земных лет,} \end{gathered} $$то есть уточненная оценка для времени $t_{3}$ отличается от более грубой первоначальной оценки почти в 2 раза.