Рассмотрим твердое тело, которое содержит только замкнутые поры с небольшим количеством воды в них. Объемом воды можно пренебречь по сравнению с объемом поры. Вода находится в равновесии с паром. Считайте, что пора не содержит других газов. Также можно пренебречь тепловым расширением пор.

Часть А. Теплоемкость поры (5.5 балла)

Для начала рассмотрим лишь одну пору. Начальная масса жидкости равна $m_{W0}$, объем поры $V$, давление насыщенного пара $p_0$, температура $T_0$. Молярная масса воды $\mu$, удельная теплоемкость – $c_W$, удельная теплота парообразования – $L$. Молярная теплоемкость пара при постоянном объеме равна $3R$. Считайте, что удельная теплоемкость воды, удельная теплота парообразования и молярная теплоемкость пара не зависят от температуры и давления.

A1  ^0.10 Найдите начальную массу пара $m_{S0}$ в поре. Ответ выразите через $\mu$, $p_0$, $V$ и $T_0$.

При нагреве часть жидкости испоряется и переходит в пар. При этом давление насыщенных паров $p$ зависит от температуры $T$. Зависимостью давления насыщенных поров от кривизны поверхности можно пренебречь.

A2  ^0.50 Определите давление насыщенных паров $p$ при температуре $T$.
Ответ выразите через $p_0$, $\mu$, $R$, $L$, $T_0$ и $T$.

A3  ^0.40 Как массы пара $m_S(T)$ и жидкости $m_W(T)$ зависят от температуры?
Ответ выразите через $m_{W0}$, $p_0$, $\mu$, $R$, $L$, $V$, $T_0$ и $T$.

При некоторой температуре $T$ масса пара равна $m_S(T)$. Температура поры увеличивается от $T$ до $T+\Delta T$.

A4  ^0.50 Считая изменение температуры малым, найдите изменение массы пара $\Delta m_S(T{,}\Delta{T})$.
Ответ выразите через $m_S(T)$, $\mu$, $L$, $R$, $T$ и $\Delta{T}$.
$\textit{Примечание:}$ воспользуйтесь приближениями $e^x \approx 1 + x$ и $\left(1+x\right)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x$ при $x \ll 1$.

A5  ^2.00 Считая, что вода не испаряется полностью, определите теплоёмкость поры $C_P$ при температуре $T$. Ответ выразите через $m_S(T)$, $\mu$, $R$, $L$, $c_W$, $m_{W0}$, $m_{S0}$ и $T$.

При температуре $T_0 = 3.0\cdot10^2~\text{К}$ давление насыщенных паров $p_0 = 3{.}5~\text{кПа}$ и вода занимает $\delta = 0{.}3\%$ объема поры. Молярная масса воды $\mu = 18\cdot10^{-3}~\text{кг}/\text{моль}$, плотность $\rho_W = 9{.}5\cdot10^2~\text{кг}/\text{м}^3$, удельная теплоемкость $c_W = 4{.}2\cdot10^3~Дж/(\text{кг}\cdot\text{К})$ и удельная теплота парообразования $L=2{.}3\cdot10^6~\text{Дж}/\text{кг}$. Универсальная газовая постоянная $R=8{.}3~Дж/(\text{К}\cdot\text{моль})$. Считайте, что плотность воды не зависит от температуры и давления.

A6  ^0.50 Найдите значение температуры $T_1$, при которой вода полностью испарится.

Количество теплоты, подводимое к поре, используется для нагревания воды, нагревания водяного пара и испарения воды. Обозначим отношение полной теплоёмкости поры $C_P$ к её объёму $V$ за $c_V$, а компоненты данной величины, обусловленные нагреванием воды, нагреванием пара и испарением воды за $с_{V1}$, $с_{V2}$ и $с_{V3}$ соответственно.

A7  ^1.20 Найдите значения $c_{V1}$, $c_{V2}$ и $c_{V3}$ при температурах $T_0$, $T\to T_1$ и $(T_0+T_1)/2$.
Укажите два ведущих слагаемых среди $c_{V1}$, $c_{V2}$ и $c_{V3}$ для каждой температуры.
В качестве ответа обведите нужные величины в листах ответов.

Определим удельную теплоемкость поры как отношение теплоемкости поры к массе ее содержимого:
\begin{equation*}
c_P = \frac{C_P}{m_W + m_S}.
\end{equation*}

A8  ^0.30 Найдите значения удельной теплоемкости поры при $T=T_0$, $T \to T_1$ и $T>T_1$.

Часть B. Теплоемкость пористого тела (2.5 балла)

Рассмотрим тело, пористость которого (отношение объема пор к объему всего тела) равна $\xi=2/3$. Если бы тело не содержало пор, его плотность была бы равна $\rho_S = 6{.}0\cdot10^2~\text{кг}/\text{м}^3$, а удельная теплоемкость – $C_S = 4{.}0\cdot10^2~\text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})$.

Начальные условия для содержимого пор те же, что и в части $\mathrm{A}$: $\delta = 0{.}30\%$, $T_0 = 3{.}0\cdot10^2~\text{К}$, $p_0=3{.}5~\text{кПа}$.

B1  ^1.20 Определите удельную теплоемкость пористого тела $c(T)$.
Ответ выразите через $c_P(T)$, $C_S$, $\rho_S$, $\rho_W$, $\xi$, $\delta$, $p_0$, $R$, $\mu$ и $T_0$.

B2  ^0.30 Найдите значения теплоемкости пористого тела при $T=T_0$, $T \to T_1$ и $T>T_1$.

B3  ^1.00 Постройте график зависимости удельной теплоемкости от температуры на промежутке $T \in (T_0, T_2>T_1)$. Укажите на графике все характерные значения.