Pho.rs: Теплоемкость влажных пористых тел

A1 ^0.10 Найдите начальную массу пара $m_{S0}$ в поре. Ответ выразите через $\mu$, $p_0$, $V$ и $T_0$.

1 Получен правильный ответ: $$m_{S0} = \cfrac{\mu p_0 V}{RT_0}$$

0.10

A2 ^0.50 Определите давление насыщенных паров $p$ при температуре $T$.
Ответ выразите через $p_0$, $\mu$, $R$, $L$, $T_0$ и $T$.

1 Получена произвоная давления: $$\cfrac{dp}{dT} = \cfrac{\mu pL}{RT^2}$$	0.30
2 Получен итоговый ответ: $$p(T) = p_0\exp{\left(\cfrac{\mu L}{R}\left(\cfrac{1}{T_0} - \cfrac{1}{T}\right)\right)}$$	0.20

A3 ^0.40 Как массы пара $m_S(T)$ и жидкости $m_W(T)$ зависят от температуры?
Ответ выразите через $m_{W0}$, $p_0$, $\mu$, $R$, $L$, $V$, $T_0$ и $T$.

1 Правильные ответы:$$m_{S}\left(T\right) = \cfrac{\mu p_0 V}{RT} \cdot \exp{\left(\cfrac{\mu L}{R}\left(\cfrac{1}{T_0} - \cfrac{1}{T}\right)\right)}$$ $$m_W\left(T\right) = m_{W0} + \cfrac{\mu p_0 V}{RT_0} - \cfrac{\mu p_0 V}{RT} \cdot \exp{\left(\cfrac{\mu L}{R}\left(\cfrac{1}{T_0} - \cfrac{1}{T}\right)\right)}$$

2 × 0.20

A4 ^0.50 Считая изменение температуры малым, найдите изменение массы пара $\Delta m_S(T{,}\Delta{T})$.
Ответ выразите через $m_S(T)$, $\mu$, $L$, $R$, $T$ и $\Delta{T}$.
$\textit{Примечание:}$ воспользуйтесь приближениями $e^x \approx 1 + x$ и $\left(1+x\right)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x$ при $x \ll 1$.

1 Приближение аргумента экспоненты: $$\cfrac{1}{T} - \cfrac{1}{T+\Delta T}\approx\cfrac{\Delta T}{T^2}$$	0.10
2 Приближение экспоненты: $$\exp{\left(\cfrac{\mu L}{R}\left(\cfrac{1}{T} - \cfrac{1}{T+\Delta T}\right)\right)}\approx 1+\cfrac{\mu L \Delta T}{RT^2}$$	0.10
3 Приближение отношения температур: $$\cfrac{T}{T+\Delta T}\approx 1 - \cfrac{\Delta T}{T}$$	0.10
4 Получен ответ: $$\Delta m_{S}\left(T\right) = m_{S}\left(T\right)\left(\cfrac{\mu L}{RT^2} - \cfrac{1}{T}\right)\Delta T$$	0.20

A5 ^2.00 Считая, что вода не испаряется полностью, определите теплоёмкость поры $C_P$ при температуре $T$. Ответ выразите через $m_S(T)$, $\mu$, $R$, $L$, $c_W$, $m_{W0}$, $m_{S0}$ и $T$.

1 Правильно найдена теплоёмкость намыщенного пара: $$C_S = 4R - \cfrac{RT}{p} \cfrac{dp}{dT}$$	0.80
2 Правильное слагаемое вклада теплоёмкости жидкой воды: $$C_W = \left(m_{W0} +m_{S0} - m_S (T)\right)c_W$$	0.20
3 Правильное слагаемое вклада испарения: $$C_\text{исп} = m_{S}\left(T\right)\left(\cfrac{\mu L}{RT^2} - \cfrac{1}{T}\right)L$$	0.30
4 Правильное слагаемое вклада теплоёмкости пара: $$C_{\text{пар}} = \cfrac{m_{S}\left(T\right)}{\mu}\cdot\left( 4R - \cfrac{\mu L}{T}\right)$$	0.30
5 Итоговый ответ: $$C_P = \left(m_{W0} +m_{S0} - m_S (T)\right)c_W + m_{S}\left(T\right)\left(\cfrac{\mu L^2}{RT^2} - \cfrac{2L}{T} + \cfrac{4R}{\mu}\right)$$	0.40

A6 ^0.50 Найдите значение температуры $T_1$, при которой вода полностью испарится.

1 Верное уравнение:$$\delta \rho_W + \cfrac{\mu p_0}{RT_0} = \cfrac{\mu p_0}{RT_1} \cdot \exp{\left(\cfrac{\mu L}{R}\left(\cfrac{1}{T_0} - \cfrac{1}{T_1}\right)\right)}$$	0.20
2 Верный ответ:$$T_1 = 432.7\text{К}$$	0.30

A7 ^1.20 Найдите значения $c_{V1}$, $c_{V2}$ и $c_{V3}$ при температурах $T_0$, $T\to T_1$ и $(T_0+T_1)/2$.
Укажите два ведущих слагаемых среди $c_{V1}$, $c_{V2}$ и $c_{V3}$ для каждой температуры.
В качестве ответа обведите нужные величины в листах ответов.

1 Верные ответы: $$c_{V1}\left(T_0\right) = 11970\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$$$c_{V1}\left((T_0 + T_1)/2\right) = 10308\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$$$c_{V1}\left(T \rightarrow T_1\right) = 0\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$	3 × 0.10
2 $$c_{V2}\left(T_0\right) = -147.3\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$$$c_{V2}\left((T_0 + T_1)/2\right) = -1866\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$$$c_{V2}\left(T \rightarrow T_1\right) = -9977\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$	3 × 0.10
3 $$c_{V3} \left(T_0\right) = 3031\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$$$c_{V3} \left((T_0 + T_1)/2\right) = 33338\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$$$c_{V3} \left(T \rightarrow T_1\right) = 160846\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$	3 × 0.10
4 $$T_0{~}{-}{~}(c_{V1}{,}c_{V3})\qquad\qquad (T\to T_1){~}{-}{~}(c_{V2}{,}c_{V3})\qquad\qquad (T_0+T_1)/2{~}{-}{~}(c_{V1}{,}c_{V3})$$	3 × 0.10
5 Штраф за полное отсутствие размерностей.	-0.20

A8 ^0.30 Найдите значения удельной теплоемкости поры при $T=T_0$, $T \to T_1$ и $T>T_1$.

1 Верные значения:$$c_P\left(T_0\right) = 5217 \cfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$$ $$c_P\left(T \rightarrow T_1\right) = 52470 \cfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$$ $$c_P\left(T > T_1\right) = \cfrac{C_V}{\mu} = 1383 \cfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$$

3 × 0.10

B1 ^1.20 Определите удельную теплоемкость пористого тела $c(T)$.
Ответ выразите через $c_P(T)$, $C_S$, $\rho_S$, $\rho_W$, $\xi$, $\delta$, $p_0$, $R$, $\mu$ и $T_0$.

1 Выражение через среднюю плотность поры:$$c(T) = \cfrac{\left(1-\xi\right)\rho_S C_S + \xi \rho_P c_P(T)}{\xi \rho_P + \left(1 - \xi\right) \rho_S}$$	0.50
2 Верная средняя плотность поры:$$\rho_{P} = \delta\rho_w + \cfrac{\mu p_0}{RT_0}$$	0.20
3 Верный ответ:$$c(T) = \cfrac{\left(1-\xi\right)\rho_S C_S + \xi \left(\delta\rho_w + \cfrac{\mu p_0}{RT_0}\right) c_P(T)}{\xi \left(\delta\rho_w + \cfrac{\mu p_0}{RT_0}\right) + \left(1 - \xi\right) \rho_S}$$	0.50

B2 ^0.30 Найдите значения теплоемкости пористого тела при $T=T_0$, $T \to T_1$ и $T>T_1$.

1 Верные ответы:$$c(T_0) = 445.7 \cfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$$ $$c(T_1 - 0) = 894.5 \cfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$$ $$c\left(T > T_1\right) = 409.33 \cfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$$

3 × 0.10

B3 ^1.00 Постройте график зависимости удельной теплоемкости от температуры на промежутке $T \in (T_0, T_2>T_1)$. Укажите на графике все характерные значения.

1 Подписаны оси.	0.10
2 Участок с постоянной теплоёмкостью после $T_1$.	0.30
3 Монотонность первого участка графика (ставится при наличии правильного ответа для $\mathrm A5$).	0.30
4 Правильная выпуклость первого участка графика (ставится при наличии правильного ответа для $\mathrm A5$).	0.30

Теплоемкость влажных пористых тел

Разбалловка