Так как в поре равновесное состояние с водой и паром, она заполнена насыщенными парами воды. Зная температуру и давление пара, получаем его плотность:
$$\rho_{S0} = \cfrac{\mu p_0}{RT_0}$$ Тогда масса пара:
$$m_{S0} = \rho_{S0} V = \cfrac{\mu p_0 V}{RT_0}$$

Рассмотрим малый цикл Карно, состоящий из изотермических фазовых переходов небольшой массы пара при двух близких температурах $T$ и $T+dT$ и двух адиабат. Объём пара $dV$, а объёмом жидкости можно пренебречь. КПД данного цикла:
$$\eta = \cfrac{dT}{T} = \cfrac{dpdV}{Ldm} = \cfrac{dp}{L\rho_s}$$ $$\rho_{S} = \cfrac{\mu p}{RT}$$ $$\cfrac{dT}{T} = \cfrac{RTdp}{L\mu p}$$ $$\cfrac{dp}{p} = \cfrac{\mu L}{R}\cdot\cfrac{dT}{T^2}$$ Проинтегрировав, получим ответ.

Когда вся вода испарилась, её масса $0$, а масса пара $m_{W0} + m_{S0}$, до полного испарения масса пара определяется аналогично первому пункту.
$$m_{S}\left(T\right) = \cfrac{\mu p\left(T\right) V}{RT} = \cfrac{\mu p_0 V}{RT} \cdot \exp{\left(\cfrac{\mu L}{R}\left(\cfrac{1}{T_0} - \cfrac{1}{T}\right)\right)}$$ Масса воды:
$$m_W\left(T\right) = m_{W0} + m_{S0} - m_{S}\left(T\right)= m_{W0} + \cfrac{\mu p_0 V}{RT_0} - \cfrac{\mu p_0 V}{RT} \cdot \exp{\left(\cfrac{\mu L}{R}\left(\cfrac{1}{T_0} - \cfrac{1}{T}\right)\right)}$$

Выразим массу пара при температуре $T+\Delta T$ через значение этой величины при $T$:
$$m_{S}\left(T+\Delta T\right) = \cfrac{\mu p_0 V}{R\left(T+\Delta T\right)} \cdot \exp{\left(\cfrac{\mu L}{R}\left(\cfrac{1}{T_0} - \cfrac{1}{T+\Delta T}\right)\right)} =\cfrac{m_{S}\left(T\right)T}{T+\Delta T}\cdot\exp{\left(\cfrac{\mu L}{R}\left(\cfrac{1}{T} - \cfrac{1}{T+\Delta T}\right)\right)}$$ Применим приближения:
$$\cfrac{1}{T} - \cfrac{1}{T+\Delta T}\approx\cfrac{\Delta T}{T^2}$$ $$\exp{\left(\cfrac{\mu L}{R}\left(\cfrac{1}{T} - \cfrac{1}{T+\Delta T}\right)\right)}\approx 1+\cfrac{\mu L \Delta T}{RT^2}$$ $$\cfrac{T}{T+\Delta T}\approx 1 - \cfrac{\Delta T}{T}$$ $$m_{S}\left(T+\Delta T\right) = m_{S}\left(T\right)\left(1+\cfrac{\mu L \Delta T}{RT^2}\right)\left(1 - \cfrac{\Delta T}{T}\right)$$ Получим изменение массы пара.

Теплота, необходимая для нагрева поры, складывается из трёх частей: нагрев жидкой воды, испарение части воды и нагрев пара. Определим теплоёмкость насыщенного пара $C_S$. Рассмотрим один моль пара, который нагрели на $dT$.
$$\delta Q = C_V dT + p dV = C_S dT$$ $$C_S = C_V + \cfrac{p dV}{dT} = C_V + \cfrac{d(pV) - Vdp}{dT} = C_V+R-V\cfrac{dp}{dT}$$ $$C_S = C_p - \cfrac{RT}{p} \cfrac{dp}{dT}$$ $$\cfrac{dp}{dT} = p_0\cdot\cfrac{\mu L}{RT^2}\cdot\exp{\left(\cfrac{\mu L}{R}\left(\cfrac{1}{T_0} - \cfrac{1}{T}\right)\right)} = p\cdot\cfrac{\mu L}{RT^2}$$ Таким образом, суммарная теплота на нагрев поры:
$$\delta Q = \cfrac{m_S}{\mu} \cdot C_S dt+ L\cdot dm_S + m_W c_W dt$$ Подставим величины, полученные ранее, и получим теплоёмкость:
$$C_P = \left(m_{W0} +m_{S0} - m_S (T)\right)c_W + m_{S}\left(T\right)\left(\cfrac{\mu L}{RT^2} - \cfrac{1}{T}\right)L + \cfrac{m_{S}\left(T\right)}{\mu}\cdot\left( 4R - \cfrac{\mu L}{T} \right) $$

Суммарная масса воды в поре должна сравняться с массой насыщенного пара.
$$m_{W0} + \cfrac{\mu p_0 V}{RT_0} = \cfrac{\mu p_0 V}{RT_1} \cdot \exp{\left(\cfrac{\mu L}{R}\left(\cfrac{1}{T_0} - \cfrac{1}{T_1}\right)\right)}$$ Поделив на объём получаем:
$$\delta \rho_W + \cfrac{\mu p_0}{RT_0} = \cfrac{\mu p_0}{RT_1} \cdot \exp{\left(\cfrac{\mu L}{R}\left(\cfrac{1}{T_0} - \cfrac{1}{T_1}\right)\right)}$$ Численно решая это уравнение получим $T_1$.

Часть теплоёмкости, связанная с испарением воды, для 1 кубического метра поры.
$$c_{V3} \left(T\right)= \cfrac{L \mu p_0}{RT^2} \cdot \exp{\left(\cfrac{\mu L}{R}\left(\cfrac{1}{T_0} - \cfrac{1}{T}\right)\right)}\cdot\left(\cfrac{\mu L}{RT} - 1\right)$$ $$c_{V3} \left(T_0\right) = 3031\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$ $$c_{V3} \left((T_0 + T_1)/2\right) = 33338\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$ $$c_{V3} \left(T \rightarrow T_1\right) = 160846\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$ Эта величина монотонно растёт при повышении температуры.\\
Теплоёмкость жидкой воды на 1 кубический метр поры:
$$c_{V1}\left(T\right) = \left(\delta \rho_W + \cfrac{\mu p_0}{RT_0} - \cfrac{\mu p_0}{RT} \cdot \exp{\left(\cfrac{\mu L}{R}\left(\cfrac{1}{T_0} - \cfrac{1}{T}\right)\right)}\right)c_W$$ $$c_{V1}\left(T_0\right) = 11970\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$ $$c_{V1}\left((T_0 + T_1)/2\right) = 10308\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$ $$c_{V1}\left(T \rightarrow T_1\right) = 0\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$ Теплоёмкость пара на 1 кубический метр поры:
$$c_{V2}\left(T\right) = \cfrac{p_0}{T} \cdot \exp{\left(\cfrac{\mu L}{R}\left(\cfrac{1}{T_0} - \cfrac{1}{T}\right)\right)}\left(4 - \cfrac{\mu L}{RT}\right)$$ $$c_{V2}\left(T_0\right) = -147.3\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$ $$c_{V2}\left((T_0 + T_1)/2\right) = -1866\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$ $$c_{V2}\left(T \rightarrow T_1\right) = -9977\cfrac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \cdot \text{К}}$$ При $T_0$ и $(T_0 + T_1)/2$ наибольший вклад вносят испарение и нагрев воды, при $T \rightarrow T_1$ - испарение воды и нагрев пара.

Средняя плотность поры:
$$\rho_{P} = \cfrac{V\delta\rho_w + \cfrac{\mu p_0 V}{RT_0}}{V} = \delta\rho_w + \cfrac{\mu p_0}{RT_0} = 2.8753\cfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$$ Для первых двух случаев мы вычислили численные значения на единицу объёма, поделим на плотность для определения удельных значений.
При температурах больше $T_1$ в поре находится только пар, который нагревается изохорно, поэтому теплоёмкость:$$c_P\left(T > T_1\right) = \cfrac{C_V}{\mu}$$

Рассмотрим $V$ тела. Теплоёмкость этого куска:
$$m(V)c(T) = \left(1-\xi\right)V\rho_S C_S + \xi V \rho_P c_P(T)$$ $$m(V) = \left(\xi \rho_P + \left(1 - \xi\right) \rho_S\right) V$$ Тогда удельная теплоёмкость тела:
$$c(T) = \cfrac{\left(1-\xi\right)\rho_S C_S + \xi \rho_P c_P(T)}{\xi \rho_P + \left(1 - \xi\right) \rho_S}$$

Воспользуемся значениями полученными в пункте A7.