A1  ^0.40 Сначала рассмотрим находящуюся в вакууме длинную равномерно заряженную прямую нить (с линейной плотностью заряда $\lambda$). Вычислите электрическое поле $\vec{E} (\vec{r})$ этой нити.

A1. 1 Из теоремы Гаусса: $E(r) = \cfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \cdot \cfrac{1}{r}$

0.40

A2  ^0.40 Потенциал $V(r)$ поля заряженной нити можно представить в виде
\begin{equation*}
V(r) = f(r) + K,
\end{equation*}где $K$ — постоянный коэффициент. Получите явный вид функции $f(r)$.

A2. 1 $V(r) = \int \limits _r^\infty E(r) dr$ или интегрирование до некоторого другого "опорного" уровня	0.10
A2. 2 $f(r) = - \cfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln r$ (или отличающаяся на константу)	0.30

A3  ^0.70 Пусть две бесконечные прямые нити, равномерно заряженные с линейными плотностями $\lambda$ и $- \lambda$, параллельны оси $z$, имеют координаты на оси $y = 0$, а на оси $x$: $x = -b$ и $x = b$, соответственно.
Вычислите для всего пространства потенциал $V(x, y,z)$ поля этих нитей. Считайте, что в начале координат потенциал $V = 0$ . Изобразите на рисунке эквипотенциальные поверхности этого поля.

A3. 1 Идея суперпозиции	0.10
A3. 2 Ответ: $V(x,y,z)= \cfrac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \ln \cfrac{(b-x)^2+y^2}{(b+x)^2 + y^2}$	0.50
A3. 3 Схематичная картинка эквипотенциальных поверхностей: цилиндры (допустимы "кривые") и плоскость $x=0$	0.10

A4  ^2.00 Теперь рассмотрим два одинаковых проводящих цилиндра радиуса $R = 3a$, находящихся в вакууме. Считайте, что длины $l$ обоих цилиндров одинаковы и $l \gg R$. Оси обоих цилиндров параллельны оси $z$, лежат в плоскости $(x,z)$ и на оси $x$ имеют координаты $x = -5a$ и $x = 5a$ соответственно. Между цилиндрами с помощью батареи создана разность потенциалов $V_0$ (примите, что цилиндр с координатой $x = -5a$ имеет больший потенциал). Вычислите, пренебрегая краевыми эффектами, потенциал $V$ во всех точках пространства. Считайте, что в начале координат потенциал $V = 0$.

A4. 1 Потенциал всюду внутри цилиндра, подключенного к "плюсу", равен $V_0/2$	0.10
A4. 2 Потенциал всюду внутри цилиндра, подключенного к "минусу", равен $-V_0/2$	0.10
A4. 3 Идея: цилиндры - эквипотенциальные поверхности, "похожие" на эквипотенциальные поверхности поля двух нитей	0.30
A4. 4 Доказано, что эквипотенциальные поверхности поля двух нитей - цилиндры. Например, их уравнение приведено к виду: $\left( x - b \cdot \cfrac{1+\beta}{1-\beta} \right) ^2 + y^2 = \left( b \cdot \sqrt{\left( \cfrac{1+\beta}{1-\beta} \right)^2 - 1} \right)^2$, где $\beta = \exp\left(\cfrac{4\pi \varepsilon_0 V}{\lambda}\right)$	0.70
A4. 5 Найдено $b=4a$	0.30
A4. 6 Найдено $\beta = \cfrac{1}{9}$ или $\lambda = \cfrac{\pi \varepsilon_0 V_0}{\ln 3}$	0.30
A4. 7 Потенциал поля снаружи цилиндров выражен через найденные $\beta$ и $\lambda$: $V(x,y,z)=\cfrac{V_0}{4 \ln 3} \cdot \ln \cfrac{(4a-x)^2 + y^2}{(4a+x)^2 + y^2}$	0.20

A5  ^0.50 Вычислите емкость $C$ системы цилиндров.

A5. 1 Ответ: $C=\cfrac{\pi \varepsilon_0 l}{\ln 3}$

0.50

A6  ^1.00 Пусть теперь пространство между цилиндрами заполнено слабо проводящей жидкостью с удельной проводимостью $\sigma$. Вычислите силу тока, протекающего между цилиндрами. Считайте, что диэлектрическая проницаемость жидкости равна диэлектрической проницаемости вакуума $\varepsilon = 1$.

A6. 1 Ответ: $I = \cfrac{V_0 \cdot \pi \sigma l}{\ln 3}$	0.50
A6. 2 Доказательство: или вычисление тока через плоскость $x=0$, или разбиение на маленькие плоские конденсаторы и использования соотношения $R=\cfrac{\varepsilon_0}{\sigma C}$	0.50

A7  ^0.50 Вычислите сопротивление $R$ системы. Вычислите $RC$ системы.

A7. 1 Ответ: $R = \cfrac{ \ln 3}{\pi \sigma l}$	0.25
A7. 2 Ответ: $RC = \cfrac{\varepsilon_0}{\sigma}$	0.25

A8  ^1.50 Вычислите магнитное поле $\vec{B}$, созданное электрическим током (смотрите пункт A6). Считайте, что магнитная проницаемость жидкости равна магнитной проницаемости вакуума $\mu = 1$.

A8. 1 Показано, что магнитное поле всюду вертикально и не зависит от координаты $z$	0.50
A8. 2 Выбран контур для применения теоремы о циркуляции. Например, симметричный прямоугольник в плоскости $x=\mathrm{const}$	0.20
A8. 3 Ответ: $B_z = \cfrac{\mu_0 V_0 \sigma}{2 \ln 3} \cdot \left( \mathrm{arctg} \cfrac{y}{4a+x} + \mathrm{arctg} \cfrac{y}{4a-x} \right)$	0.80