A1  ^0.40 Сначала рассмотрим находящуюся в вакууме длинную равномерно заряженную прямую нить (с линейной плотностью заряда $\lambda$). Вычислите электрическое поле $\vec{E} (\vec{r})$ этой нити.

Теорема Гаусса:\[\oint\vec E\cdot\mathrm d\vec S=q/\varepsilon_0.\]Из соображений симметрии ясно, что у электрического поля есть только радиальная составляющая. Записав теорему Гаусса для цилиндра, ось которого совпадает с заряженной нитью, получим:\[E\cdot 2\pi r\lambda l/\varepsilon_0,\]откуда:

A2  ^0.40 Потенциал $V(r)$ поля заряженной нити можно представить в виде
\begin{equation*}
V(r) = f(r) + K,
\end{equation*}где $K$ — постоянный коэффициент. Получите явный вид функции $f(r)$.

Потенциал задаётся выражением:\[V=-\int\limits_{\mathrm{ref}}^r\vec E\cdot\mathrm d\vec l=-\int\limits_{\mathrm{ref}}^rE\,\mathrm dr=- \cfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln r+\operatorname{const}.\]

A3  ^0.70 Пусть две бесконечные прямые нити, равномерно заряженные с линейными плотностями $\lambda$ и $- \lambda$, параллельны оси $z$, имеют координаты на оси $y = 0$, а на оси $x$: $x = -b$ и $x = b$, соответственно.
Вычислите для всего пространства потенциал $V(x, y,z)$ поля этих нитей. Считайте, что в начале координат потенциал $V = 0$ . Изобразите на рисунке эквипотенциальные поверхности этого поля.

Потенциал находим как суперпозицию потенциалов нитей:\[V=- \cfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln r_1+\cfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln r_2= \cfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln \cfrac{\sqrt{(b-x)^2+y^2}}{\sqrt{(b+x)^2+y^2}}=\cfrac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0} \ln \cfrac{{(b-x)^2+y^2}}{{(b+x)^2+y^2}}.\]

Условие постоянства потенциала можно представить в виде:\[\left(x-\left(\frac{1+\beta}{1-\beta}\right)\right)^2+y^2=b^2\left(\left(\frac{1+\beta}{1-\beta}\right)^2-1\right),\]где $\beta=\exp(4\pi\varepsilon_0V/\lambda)$.

A4  ^2.00 Теперь рассмотрим два одинаковых проводящих цилиндра радиуса $R = 3a$, находящихся в вакууме. Считайте, что длины $l$ обоих цилиндров одинаковы и $l \gg R$. Оси обоих цилиндров параллельны оси $z$, лежат в плоскости $(x,z)$ и на оси $x$ имеют координаты $x = -5a$ и $x = 5a$ соответственно. Между цилиндрами с помощью батареи создана разность потенциалов $V_0$ (примите, что цилиндр с координатой $x = -5a$ имеет больший потенциал). Вычислите, пренебрегая краевыми эффектами, потенциал $V$ во всех точках пространства. Считайте, что в начале координат потенциал $V = 0$.

Полученное выше уравнение очень удобно задаёт цилиндр. Таким образом, распределение потенциала можно воссоздать, если соответствующим образом выбрать положения заряженных нитей. Рассмотрим рисунок:

Подберём расстояния $l_{1,2}$ так, чтобы цилиндрическая поверхность радиуса $R$ была эквипотенциальной. Потенциал задаётся выражением:\[V=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r_1+\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r_2=-\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\left(l_1^2+R^2-2l_1R\cos\varphi\right)+\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\left(l_2^2+R^2-2l_2R\cos\varphi\right),\]где угол $\varphi$ задаёт точку в сечении цилиндра. Условие постоянства потенциала принимает вид:\[\frac{\partial V}{\partial \varphi}=0\implies- \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2l_1R\sin\varphi}{l_1^2+R^2-2l_1R\cos\varphi}+\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2l_2R\sin\varphi}{l_2^2+R^2-2l_2R\cos\varphi}=0\\\frac{l_1}{l_1^2+R^2-2l_1R\cos\varphi}=\frac{l_2}{l_2^2+R^2-2l_2R\cos\varphi}\\l_1^2l_2+R^2l_2-2l_1l_2R\cos\varphi=l_1l_2^2+R^2l_1-2l_1l_2R\cos\varphi\\l_1l_2(l_1-l_2)=R^2(l_1-l_2)\implies l_1l_2=R^2.\]Из условия задачи можно заключить:\[l_1+l_2=10a,\qquad l_1l_2=9a^2,\]откуда:\[l_{1,2}=5a\pm 4a.\]Знаки выбраны так, чтобы $l_1 > l_2$. Таким образом, потенциал всюду за пределами цилиндров задаётся выражением:\[V=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{(4a-x)^2+y^2}{(4a+x)^2+y^2}.\]Сами цилиндры (правый и левый соответственно) при этом имеют потенциалы:\[V(x=\pm 2a,y=0)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{(4a\mp2a)^2+0^2}{(4a\pm2a)^2+0^2}=\mp\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln3.\]Таким образом, разность потенциалов между цилиндрами равна:\[\Delta V=\frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0}\ln3\equiv V_0.\]Подставляя это в выражение для потенциала во всём пространстве, получим ответ:

A5  ^0.50 Вычислите емкость $C$ системы цилиндров.

Связь напряжения и заряда:\[V_0=\frac{q}{l\pi\varepsilon_0}\ln3,\]откуда:

A6  ^1.00 Пусть теперь пространство между цилиндрами заполнено слабо проводящей жидкостью с удельной проводимостью $\sigma$. Вычислите силу тока, протекающего между цилиндрами. Считайте, что диэлектрическая проницаемость жидкости равна диэлектрической проницаемости вакуума $\varepsilon = 1$.

Цилиндры создают электрическое поле:\[E_x=\frac{V_0}{2\ln3}\left(\frac{4a+x}{(4a+x)^2+y^2}+\frac{4a-x}{(4a-x)^2+y^2}\right),\\E_y=\frac{V_0}{2\ln3}\left(\frac{y}{(4a+x)^2+y^2}-\frac{y}{(4a-x)^2+y^2}\right).\]Объёмная плотность тока:\[\vec j=\sigma\vec E.\]Чтобы найти полную силу тока, удобно посчитать поток объёмной плотности через плоскость $x=0$, поскольку там равна нулю её $y$-компонента. Итого:\[I=\int\vec j\cdot\mathrm d\vec S=\int\sigma E_xl\,\mathrm dy=\sigma l\frac{8aV_0}{2\ln3}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm dy}{(4a)^2+y^2}=\frac{V_0\pi\sigma l}{\ln3}.\]

A7  ^0.50 Вычислите сопротивление $R$ системы. Вычислите $RC$ системы.

Сопротивление определяется как:

Отсюда:

A8  ^1.50 Вычислите магнитное поле $\vec{B}$, созданное электрическим током (смотрите пункт A6). Считайте, что магнитная проницаемость жидкости равна магнитной проницаемости вакуума $\mu = 1$.

Поскольку система довольно симметрична, воспользуемся теоремой о циркуляции. Также, поскольку у тока нет $z$-компоненты, то и у магнитного поля её не будет.

На рисунке 4 показаны токи, текущие от одного цилиндра к другому. Для теоремы о циркуляции выберем симметричный относительно оси $x$ контур в плоскости $x=\operatorname{const}$, стороны которого параллельны осям $y$ и $z$. Поток плотности тока через контур:\[I=\int\vec j\cdot\mathrm d\vec S=\int J_xl\,\mathrm dy=\frac{V_0\sigma l}{2\ln3}\int\limits_{-y}^{y}\left(\frac{4a+x}{(4a+x)^2+y^2}+\frac{4a-x}{(4a-x)^2+y^2}\right)\,\mathrm dy=\\=\frac{V_0\sigma l}{\ln3}\left(\operatorname{arctg}\frac{y}{4a+x}+\operatorname{arctg}\frac{y}{4a-x}\right).\]Теорема о циркуляции:\[\oint\vec B\cdot\mathrm d\vec l=\mu_0I\\2B_zl=\frac{\mu_0V_0\sigma l}{\ln3}\left(\operatorname{arctg}\frac{y}{4a+x}+\operatorname{arctg}\frac{y}{4a-x}\right)\\B_z=\frac{\mu_0V_0\sigma}{2\ln3}\left(\operatorname{arctg}\frac{y}{4a+x}+\operatorname{arctg}\frac{y}{4a-x}\right)\implies\]