В этой задаче мы будем исследовать систему, состоящую из двух проводящих тел, погруженных в однородную слабопроводящую жидкость. Если между этими телами приложить постоянную разность потенциалов, то в системе возникнут электрическое и магнитное поля.

A1  ^0.40 Сначала рассмотрим находящуюся в вакууме длинную равномерно заряженную прямую нить (с линейной плотностью заряда $\lambda$). Вычислите электрическое поле $\vec{E} (\vec{r})$ этой нити.

A2  ^0.40 Потенциал $V(r)$ поля заряженной нити можно представить в виде \begin{equation*} V(r) = f(r) + K, \end{equation*}где $K$ — постоянный коэффициент. Получите явный вид функции $f(r)$.

A3  ^0.70 Пусть две бесконечные прямые нити, равномерно заряженные с линейными плотностями $\lambda$ и $- \lambda$, параллельны оси $z$, имеют координаты на оси $y = 0$, а на оси $x$: $x = -b$ и $x = b$, соответственно. Вычислите для всего пространства потенциал $V(x, y,z)$ поля этих нитей. Считайте, что в начале координат потенциал $V = 0$ . Изобразите на рисунке эквипотенциальные поверхности этого поля.

Примечание: При ответе на следующие вопросы не учитывайте краевые эффекты.

A4  ^2.00 Теперь рассмотрим два одинаковых проводящих цилиндра радиуса $R = 3a$, находящихся в вакууме. Считайте, что длины $l$ обоих цилиндров одинаковы и $l \gg R$. Оси обоих цилиндров параллельны оси $z$, лежат в плоскости $(x,z)$ и на оси $x$ имеют координаты $x = -5a$ и $x = 5a$ соответственно. Между цилиндрами с помощью батареи создана разность потенциалов $V_0$ (примите, что цилиндр с координатой $x = -5a$ имеет больший потенциал). Вычислите, пренебрегая краевыми эффектами, потенциал $V$ во всех точках пространства. Считайте, что в начале координат потенциал $V = 0$.

A5  ^0.50 Вычислите емкость $C$ системы цилиндров.

A6  ^1.00 Пусть теперь пространство между цилиндрами заполнено слабо проводящей жидкостью с удельной проводимостью $\sigma$. Вычислите силу тока, протекающего между цилиндрами. Считайте, что диэлектрическая проницаемость жидкости равна диэлектрической проницаемости вакуума $\varepsilon = 1$.

A7  ^0.50 Вычислите сопротивление $R$ системы. Вычислите $RC$ системы.

A8  ^1.50 Вычислите магнитное поле $\vec{B}$, созданное электрическим током (смотрите пункт A6). Считайте, что магнитная проницаемость жидкости равна магнитной проницаемости вакуума $\mu = 1$.

Примечание: $\int \frac{a \, dx}{a^2 + x^2} = \arctan \left(\frac{x}{a} \right) + \text{const}$.