| 1 Выражение для потенциальной энергии, например $E_p(\alpha) = Mg \cdot y_{\text{c.m.}(0,0)} \times 4 + Mg \cdot \Delta y \times 2$ | 0.25 |
|
| 2 $y_{\text{c.m.}(0,0)} = -\frac{\sqrt{3} l }{3} \sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)$ | 0.25 |
|
| 3 $\Delta y = -\sqrt{3} l \cos \alpha$ | 0.25 |
|
| 4 Ответ: $E_p(\alpha) = -\frac{2}{3} M g l \left( 4\sqrt{3}\cos \alpha + 3\sin \alpha\right)$ | 0.25 |
|
| 1 Условие равновесия: $\frac{dE_p(\alpha)}{d\alpha} = 0$ | 0.25 |
|
| 2 Ответ: $\alpha_E = \tan^{-1} \frac{\sqrt{3}}{4}$ | 0.25 |
|
| 1 Правильный вид энергии: $E = \frac{K}{2} \left( \alpha \right)^2 + \frac{I}{2} \left( \Delta \dot{\alpha} \right)^2$ | 0.25 |
|
| 2 $\Delta E_p \approx \frac{\sqrt{57}}{3} M g l \left(\Delta \alpha\right)^2$ | 0.50 |
|
| 3 Получена энергия вращения пластин: $E_k^{rot} = \frac{1}{6} M l^2 \left(\Delta \dot{\alpha} \right)^2$ | 0.25 |
|
| 4 Найдены координаты центра масс треугольника $(m,n)$: $x_{\text{cm }(m,n)} = \frac{1}{\sqrt{3}} l \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{6} \right) + m \cdot 2 l \cos \alpha + n \cdot 2 l \cos \alpha \cdot \cos \pi/3$ $y_{\text{cm }(m,n)} = -\frac{1}{\sqrt{3}} l \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) - n \cdot 2 l \cos \alpha \cdot \sin \pi/3$ | 0.25 |
|
| 5 Получено выражение для скорости центра масс треугольника $(m, n)$: $v_{\text{cm }(m,n)}^2 = \frac{(12m + 6n+7)^2 + 27}{228} l^2 (\Delta \dot{\alpha}^2)$ | 0.50 |
|
| 6 Получена полная кинетическая энергия: $E = \frac{347}{114} M l^2 (\Delta \dot{\alpha})^2$ | 0.50 |
|
| 7 Ответ: $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{38 \sqrt{57}}{347} \frac{g}{l}}$ | 0.25 |
|
| 1 Получена координата $y$ центра масс треугольника $(m, n)$: $y_{\text{cm } (m,n)} = - l \left( \sqrt{3} n \cos \alpha + \frac{1}{3} \sin \alpha + \frac{1}{3} \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha \right) \right)$ | 0.50 |
|
| 2 Записана сумма: $E_p = - M g l \sum_{m,n=0}^{N-1} \left( \sqrt{3} n \cos \alpha + \frac{1}{3} \sin \alpha + \frac{1}{3} \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha \right) \right)$ | 0.25 |
|
| 3 Правильно выполнено суммирование: $E_p = - \frac{N^2}{3} M g l \left( \frac{\sqrt{3} (3N-2)}{2} \cos \alpha + \frac{3}{2} \sin \alpha \right)$ | 0.50 |
|
| 4 Ответ: $\alpha_E' = \arctan \frac{\sqrt{3}}{3N-2} $ | 0.25 |
|
| 1 $\gamma_1 = 3$ | 0.25 |
|
| 2 $E_{\text{cm}\,(m,n)} = \frac{M \dot{\alpha}^2}{2} \left( \dot{x}_{\text{cm}}^2 + \dot{y}_{\text{cm}} \right)^2$ | 0.25 |
|
| 3 Получены правильные $x_{\text{cm}}$ и $y_{\text{cm}}$ | 0.25 |
|
| 4 Сделан вывод, что кинетическая энергия одного треугольника порядка $1$ | 0.25 |
|
| 5 $\gamma_2 = 2$ | 0.25 |
|
| 6 $\gamma_3 = 0.5$ | 0.25 |
|
| 1 Ответ: $C(N-1, N-1)$ | 0.50 |
|
| 1 Получена производная $E_p$ при $\alpha_m = \frac{\pi}{3}$: $\Delta E_p = \frac{3}{4} (N-1) N^2 M g l \Delta \alpha$ | 0.50 |
|
| 2 Получено смещение $x_C$: $\Delta x_C = \frac{\sqrt{3}}{2} (3N-2) l \Delta \alpha$ | 0.25 |
|
| 3 Получено смещение $y_C$: $\Delta y_C = \frac{1}{2} (3N-2) l \Delta \alpha$ | 0.25 |
|
| 4 Получено смещение точки $C$: $\Delta r = (3N - 2) l \Delta \alpha$ | 0.50 |
|
| 5 Ответ: $F_{\min} = \frac{3 N^2 (N-1)}{4 (3N-2)} Mg$ | 0.50 |
|
| 6 Ответ: $\theta_{F_{\min}} = \frac{5\pi}{6}$ | 0.50 |
|