1  ^1.00 Рассчитайте, какая часть теплоты испарения воды при $t_b=100~{}^{\circ}\text{C}$ расходуется на измерение внутренней энергии. Ответ выразите в %.

Работа пара против постоянного внешнего давления при испарении единицы массы воды равна
\begin{equation}
A=P\left(v_2-\ v_1\right).
\end{equation}
Так как $v_2\gg v_1$, то можно пренебречь удельным объёмом жидкости $v_1$ по сравнению с удельным объёмом пара $v_2$. Тогда, считая водяной пар идеальным газом с уравнением состояния
\begin{equation}
Pv=\frac{RT}{{\mu }_w}
\end{equation}
для работы получим
\begin{equation}
A=P\left(v_2-\ v_1\right)\ \approx \frac{RT_b}{{\mu }_w}.
\end{equation}
Таким образом, отношение работы ко всей теплоте испарения при $T=373\ \textrm{К}$ определяется выражением
\begin{equation}
\frac{A}{r_{\textrm{в}}}\ =\frac{RT_b}{{\mu }_wr_w},
\end{equation}
а остальная доля теплоты идет на приращение внутренней энергии системы $\Delta u=\ r_w-\ A$, то есть

2  ^1.00 Вычислите удельную теплоту парообразования воды при комнатной температуре $t=20.0~{}^{\circ}\text{C}$.

При испарении одного моля воды при температуре $T$ расходуется теплота
\begin{equation}
{\mu }_wr(T)\ =\ U_2(T)\ -\ U_1(T)\ +\ PV_2=U_2(T)\ -\ U_1(T)\ +\ RT.
\end{equation}
Аналогичное выражение для температуры $T_b=373\ \textrm{К}$ имеет вид
\begin{equation}
{\mu }_wr_w\ =\ U_2(T_b)\ -\ U_1(T_b)\ +\ RT_b\ .
\end{equation}
Вычитая одно уравнение из другого, для изменения молярной теплоты испарения получим
\begin{equation}
{\mu }_w\Delta r\ =\ \Delta U_2\ -\ \Delta U_1\ +\ R\Delta T={C}_P\Delta T-\ {\mu }_wc_w\Delta T=\ {\mu }_w\left(\frac{{C}_P}{{\mu }_w}-\ c_w\right)\Delta T,
\end{equation}
где $\Delta T=T-\ T_b$ и $\Delta r=r\left(T\right)-r_w$.
Учитывая, что для водяных паров молярная теплоёмкость при постоянном давлении равна
\begin{equation}
C_P=4R,
\end{equation}
получаем удельную теплоту испарения воды.

Интересно отметить, что теплота испарения увеличилась на $\Delta r/r_w\approx 8\ \%$.

3  ^0.40 Считая известным давление насыщенного пара воды при температуре $t_b=100~{}^{\circ}\text{C}$, получите явную зависимость давления насыщенных паров воды от темпетаруры $P(T)$.

Пренебрежем удельным объемом воды по сравнению с объемом пара, применим к пару уравнение Клапейрона — Клаузиуса в виде
\begin{equation}
\frac{dP}{dT}=\frac{r}{Tv}=\ \frac{{\mu }_wr_w}{RT^2}P
\end{equation}
или
\begin{equation}
\frac{dP}{P}=\frac{{\mu }_wr_wdT}{RT^2}.
\end{equation}
Интегрируя его в предположении $r=\ r_w=\mathrm{const}$, получим

4  ^1.00 Вычислите температуру кипения воды на самой высокой вершине Казахстана — пике Хан-Тенгри. Высота пика Хан-Тенгри над уровнем моря $h\approx7000~\text{м}$. Температуру воздуха на высоте считать постоянной и равной $t_0=0~{}^{\circ}\text{C}$.

Явная зависимость температуры кипения воды от внешнего давления, как следует из уравнения выше, имеет вид
\begin{equation}
T=\cfrac{T_b}{1-\frac{RT_b}{{\mu }_wr_w}{\mathrm{ln} \frac{P}{P_0}}}\ .
\end{equation}
Согласно барометрической формуле, для изотермической атмосферы имеем
\begin{equation}
P=P_0\,{\mathrm{exp} \left(-\frac{{\mu }_{air}gh}{RT_0}\right)\ }.
\end{equation}
Объединяя, получаем зависимость температуры кипения от высоты и численное значение температуры кипения воды на высоте $h=7~\textrm{к}\textrm{м}$

5  ^0.60 При каком давлении (в атмосферах) лед будет плавиться при температруру $t=-1.00~{}^{\circ}\text{C}$?

Как следует из уравнения Клапейрона-Клаузиуса вблизи $0~{}^\circ\mathrm{C}$
\begin{equation}
\frac{dP}{dT}=\frac{r_w}{T_0\left(\frac{1}{{\rho }_w}-\frac{1}{{\rho }_i}\right)}.
\end{equation}
Отсюда получаем, что для понижения температуры плавления льда на 1 ${}^{0}$С давление следует увеличить на
\begin{equation}
\Delta P=\frac{dP}{dT}\Delta T=139~\text{атм},
\end{equation}
то есть давление должно составить $P=140~\text{атм}$.

6  ^0.60 Известно, что кристаллики льда начинают разрушаться, если вдоль какого-либо направления кристалла приложить силу, создающую давление $P>P_{cr}\approx 1000~\text{атм}$. Поэтому снег в морозную погоду хрустит при ходьбе. Оцените максимальную температуру воздуха $t_{max}$, при которой сне все еще хрустит при ходьбе.

Для того, чтобы кристаллики льда разрушались при ходьбе, а не плавились под действием давления $P_{cr}$, температура на улице должна быть ниже
\begin{equation}
t_{max}=\frac{P_{cr}}{(dP/dT)}\approx -7.21~{}^\circ\mathrm{C},
\end{equation}
в котором производная $(dP/dT)$ определяется выражением из предыдущего пункта.

7  ^1.00 В сосуде находится один моль насыщенного пара при температуре $t_b=100~{}^{\circ}\text{C}$. Пар нагревается и одновременно меняется его объем так, что он все время остается насыщенным. Найдите молярную теплоемкость пара в таком процессе.

Так как для одного моля пара $PV = RT$, то
\begin{equation}
d(PV)=PdV+VdP=RdT,
\end{equation}
таким образом элементарная работа пара при изменении объёма равна
\begin{equation}
PdV=RdT-VdP.
\end{equation}
Из первого начала термодинамики следует, что подведённая к пару теплота имеет вид
\begin{equation}
\delta Q=dU+\delta A=C_VdT+RdT-VdP\ =C_PdT\ -\ VdP\ .
\end{equation}
Учитывая, что из уравнения Клапейрона-Клаузиуса $dP/dT=r_w{\mu }_w/(T_bV)$, получаем теплоёмкость пара
\begin{equation}
C=\frac{\delta Q}{dT}=C_P-\frac{VdP}{dT}={C}_P-\frac{{\mu }_wr_w}{T_b}=-75.7~\text{Дж}/(\mathrm{моль}\cdot \text{К}).
\end{equation}
Таким образом, теплоту от пара надо отводить, чтобы он не перегревался в результате расширения. Интересно отметить, что удельная теплоёмкость в таком процессе оказалась практически равной удельной теплоёмкости воды со знаком минус $c\ =\ C_P/{\mu }_w\ -{\ r}_w/T_b\ =-4.21~\text{Дж}/(\text{г}\cdot \text{К})$.

8  ^1.20 Рассчитайте по этим данным удельную теплоту $r$ испарения тетрахлорметана, если известно, что давление насыщенных паров воды при температуре пограничного кипения $P_w(t^*)=196~\text{мм. рт. ст.}$

Жидкость вскипает, когда давление её насыщенных паров в образующихся внутри пузырьках достигает атмосферного давления $P_0$. На границе жидкостей полное давление пара в образовавшемся при кипении пузыре складывается из парциальных давлений насыщенных паров тетрахлорметана и воды при $t^*$
\begin{equation}
P_0=P\left(t^*\right)+P_w(t^*).
\end{equation}
Отсюда следует, что давление насыщенного пара тетрахлорметана при температуре пограничного кипения
\begin{equation}
P^*=P\left(t^*\right)=P_0-P_w\left(t^*\right).
\end{equation}
Из уравнения Клапейрона — Клаузиуса для тетрахлорметана следует, что
\begin{equation}
\frac{dP}{P}=\frac{\mu rdT}{RT^2}.
\end{equation}
После интегрирования в пределах от $T=t+273.15=349.8K$ до $T^*=t^*+273.15=339.15K$ находим
\begin{equation}
\ln(P_0/P^*)=r\mu \mathit{\Delta}T/RTT^*,
\end{equation}
а значит теплота испарения тетрахлорметана равна
\begin{equation}
r=\frac{RTT^*\ln(P_0/P^*)}{\mu (T-T^*)}\approx 180~\text{Дж/г}.
\end{equation}
Для справки: табличное значение \textit{r} = 195 Дж/г.

9  ^1.00 Найдите массу остающейся в сосуде жидкости к моменту полного выкипания другой жидкости при таком пограничном кипении.

Отношение скоростей испарения из пограничного слоя равно, очевидно, отношению масс паров тетрахлометана и воды в образующихся при кипении пузырьках, которое, в свою очередь, равно отношению плотностей паров жидкостей
\begin{equation}
\frac{m}{m_w}=\frac{\rho }{{\rho }_w}=\frac{P^*\mu }{P_w(t^*){\mu }_w}\approx 25.
\end{equation}
Таким образом, тетрахлорметан испаряется в 25 раз быстрее (по массе), чем вода. Это означает, что к моменту испарения тетрахлорметана, воды испарится всего
\begin{equation}
\Delta m=\frac{\rho V}{2}\frac{m_w}{m}=3.25\mathrm{г}.
\end{equation}
Соответственно, количество воды, оставшейся после испарения всего тетрахлорметана, составит
\begin{equation}
M_w={\rho }_wV/2-\Delta m=46.7~\mathrm{г}.
\end{equation}

10  ^2.20 Оцените температуру $t_x$ закипания жидкостей на границе вода-фторкетон, если известно давление насыщенных паров воды при температуре объемного кипения фторкетона $P_w(t_f)=89.0~\text{мм. рт. ст.}$

Пусть пограничное кипение возникает при некоторой температуре $t_x$, тогда давление насыщенных паров фторкетона $P$ и давление насыщенных паров воды $P_w$ при этой температуре должно равняться внешнему атмосферному давлению, то есть
\begin{equation}
P_0=P(t_x)+P_w(t_x).
\end{equation}
Таким образом, давление насыщенного пара фторкетона при температуре пограничного кипения понижается на величину давления насыщенных паров воды при этой температуре
\begin{equation}
P(t_x)=P_0-P_w(t_x).
\end{equation}
Из уравнения Клапейрона—Клаузиуса (в приближении малости объёма жидкости и идеальности паров) следует, что наклон линии фазового равновесия $P(T)$ при температуре объёмного кипения фторкетона
\begin{equation}
\alpha_f=\frac{dP}{dT}=\frac{r\mu P_0}{RT^2_f}.
\end{equation}
Для воды при этой же температуре аналогичная производная более, чем в 6 раз меньше
\begin{equation}
\alpha_w=\frac{dP}{dT}=\frac{{\mu }_wr_wP_w(t_f)}{RT^2_f}.
\end{equation}
Так как $\alpha_f/\alpha_w\approx 6.30$, то понижение давления и соответственно температуры кипения относительно тех же величин для фторкетона невелико, поэтому можно воспользоваться линейным приближением вблизи $t_f$
\begin{equation}
P_0-P\left(t_x\right)=\alpha_f\Delta T=P_w\left(t_x\right)=P_w\left(t_f\right)-\alpha_w \Delta T,
\end{equation}
где $\Delta T=T_f-T_x$, откуда понижение температуры кипения
\begin{equation}
\Delta T=\frac{P_w(t_f)}{\alpha_f+\alpha_w}.
\end{equation}
Окончательно, температура для пограничного кипения определяется как
\begin{equation}
t_x=t_f-\Delta T=46.3~{}^\circ\mathrm{C}.
\end{equation}
Для справки: эксперимент даёт $t_x=(46\pm 1)~{}^\circ\mathrm{C}$.