Часть А. Несамостоятельный газовый разряд

В этой части задачи будем изучать несамостоятельный газовый разряд, для поддержания которого необходимо постоянное присутствие внешнего ионизатора, т.е. устройства, которое в единице объема газа в единицу времени однородно по всему объему создает $Z_{ext}$ пар однократно ионизированных атомов и электронов.
При включении внешнего ионизатора число пар электронов и ионов начинает расти. Неограниченному увеличению концентрации электронов и ионов в газе препятствует процесс их рекомбинации, при котором свободный электрон соединяется с ионом и образуется нейтральный атом. Число рекомбинаций в единице объема в единицу времени $Z_{rec}$ дается формулой
$$
Z_{rec}=rn_{e} n_{i},
$$
где $r$ — постоянная, называемая коэффициентом рекомбинации, а $n_{e}$ и $n_{i}$ — концентрации электронов и ионов соответственно.
Пусть в момент $t=0$ включается внешний ионизатор. Начальная концентрация электронов и ионов в газе равна нулю. Тогда зависимость концентрации электронов $n_{e}(t)$ от времени $t$ выражается формулой
$$
n_{e} (t)=n_{0}+a \tanh⁡ bt,
$$
где $n_{0}$, $a$, $b$ — некоторые постоянные, а $\tanh ⁡x$ — гиперболический тангенс.

A1  ^1.80 Найдите $n_{0}$, $a$, $b$ и выразите ответ через $Z_{ext}$ и $r$.

Предположим, что имеется два внешних ионизатора. Известно, что при включении одного из них в газе устанавливается концентрация электронов, равная $n_{e1}=12 \cdot 10^{10}~см^{-3}$. При включении другого внешнего ионизатора в газе устанавливается концентрация электронов, равная $n_{e2}=16 \cdot 10^{10}~см^{-3}$.

A2  ^0.60 Найдите установившуюся концентрацию электронов $n_{e}$, если два ионизатора будут работать одновременно.

Внимание! В дальнейшем считайте, что внешний ионизатор действует в течение достаточно длительного промежутка времени, так что все процессы являются стационарными и не зависят от времени. Собственным электрическим полем носителей заряда полностью пренебрегайте.

Пусть газ находится в трубке между двумя параллельными проводящими пластинами площади $S$, расположенными на расстоянии $L \ll \sqrt{S}$ друг от друга. Приложим к пластинам напряжение $U$, при этом между ними образуется электрическое поле. Считайте, что концентрация обоих носителей в трубке практически везде одинакова.
Пусть в электрическом поле электроны (обозначенные индексом $e$) и ионы (обозначенные индексом $i$) приобретают одинаковую скорость упорядоченного движения, равную
$$
v=\beta E,
$$
где $E$ — напряженность электрического поля, а $\beta$ — так называемая подвижность.

A3  ^1.70 Выразите силу тока в трубке $I$ через $U$, $\beta$, $L$, $S$, $Z_{ext}$, $r$, $e$, где $e$ — элементарный заряд.

A4  ^0.70 Найдите удельное сопротивление газа $\rho_{gas}$ при малых значениях приложенного напряжения и выразите его через $\beta$, $L$, $Z_{ext}$, $r$, $e$.

Часть B. Самостоятельный газовый разряд

Изучим процесс зажигания самостоятельного газового разряда, при котором ток в трубке становится самоподдерживающимся.

Внимание! В дальнейшем считайте, что внешний ионизатор продолжает действовать с тем же  $Z_{ext}$, электрическое поле всюду однородно, а рекомбинацией можно полностью пренебречь. Собственным электрическим полем носителей заряда полностью пренебрегайте.

Для самостоятельного газового разряда важны два процесса, не рассмотренных выше. Первый процесс — вторичная электронная эмиссия, а второй — образование электронной лавины. Вторичная электронная эмиссия возникает в тот момент, когда ионы ударяют по отрицательному электроду, называемому катодом, и выбивают из него электроны, которые затем движутся к положительному электроду, называемому анодом. Отношение числа выбитых в единицу времени электронов $\dot{N}_{e}$ к числу ионов $\dot{N}_{i }$, попадающих на катод в единицу времени, называется коэффициентом вторичной электронной эмиссии $\gamma=\dot{N}_{e}/\dot{N}_{i}$.
Образование электронной лавины происходит следующим образом. Электрическое поле ускоряет свободные электроны, которые ионизируют атомы при столкновении с ними. В результате число свободных электронов растет при их движении к аноду. Этот процесс характеризуется коэффициентом Таунсенда $\alpha$, который описывает увеличение числа электронов $dN_{e}$ на единицу длины пути $dl$, то есть
$$
\frac{dN_{e}}{dl}=\alpha N_{e}.
$$
Полный ток $I$ в любом сечении трубки с газом складывается из ионного $I_{i} (x)$ и электронного токов $I_{e} (x)$, которые в стационарном режиме зависят от координаты $x$, показанной на рисунке.

Изменение электронного тока $I_{e} (x)$ вдоль оси $x$ описывается формулой
$$
I_{e} (x)=C_{1} e^{A_{1} x}+A_{2},
$$
где $A_{1}$, $A_{2}$, $C_{1}$ — некоторые постоянные.

B1  ^2.00 Найдите $A_{1}$, $A_{2}$ и выразите их через $Z_{ext}$, $\alpha$, $e$, $L$, $S$.

Изменение ионного тока $I_{i} (x)$ вдоль оси $x$ описывается формулой
$$
I_{i} (x)=C_{2}+B_{1} e^{B_{2} x},
$$
где $B_{1}$, $B_{2}$, $C_{2}$ — некоторые постоянные.

B2  ^0.60 Найдите $B_{1}$, $B_{2}$ и выразите их через $Z_{ext}$, $\alpha$, $e$, $L$, $S$, $C_{1}$.

B3  ^0.30 Запишите условие для тока $I_{i} (x)$ в точке $x=L$.

B4  ^0.60 Запишите условие для токов $I_{i}(x)$ и $I_{e} (x)$ в точке $x=0$.

B5  ^1.20 Найдите полный ток $I$ и выразите его через $Z_{ext}$, $\alpha$, $\gamma$, $e$, $L$, $S$. Считайте, что полный ток остается конечной величиной.

Пусть коэффициент Таунсенда $\alpha$ постоянен. При длине разрядного промежутка, большей некоторого критического значения $L>L_{cr}$, внешний ионизатор может быть отключен, т.е. разряд становится самостоятельным.

B6  ^0.50 Найдите $L_{cr}$ и выразите его через $Z_{ext}$, $\alpha$, $\gamma$, $e$, $L$, $S$.