A1  ^1.80 Найдите $n_{0}$, $a$, $b$ и выразите ответ через $Z_{ext}$ и $r$.

Получим уравнение, описывающее изменение концентрации электронов со временем. Оно определяется двумя процессами: генерацией пар ионов внешним ионизатором и рекомбинацией электронов с ионами. В процессе ионизации электроны и ионы образуются парами, а при рекомбинации – исчезают парами, поэтому их концентрации равны в любой момент времени:\[n(t)=n_e(t)=n_i(t).\tag{A1.1}\]Тогда уравнение, описывающее изменение концентрации электронов и ионов со временем запишется в виде:\[\frac{\mathrm dn(t)}{\mathrm dt}=Z_\mathrm{ext}-rn^2(t).\tag{A1.2}\]Нетрудно показать, что при $t\to0$ функция $\tanh bt\to0$, поэтому в силу начального условия $n(0)=0$, находим:

Подставляя в (A1.2) выражение $n_e(t)=a\tanh bt$ и разделяя переменные по независимым функциям (гиперболическим, или $1$ и $e^x$), получаем:

A2  ^0.60 Найдите установившуюся концентрацию электронов $n_{e}$, если два ионизатора будут работать одновременно.

Согласно уравнению (A1.4) установившаяся концентрация электронов при включенных внешних ионизаторах равна:\[n_{e1}=\sqrt\frac{Z_{\mathrm{ext}1}}r,\tag{A2.1}\]\[n_{e2}=\sqrt\frac{Z_{\mathrm{ext}2}}r,\tag{A2.2}\]\[n_e=\sqrt\frac{Z_{\mathrm{ext}1}+Z_{\mathrm{ext}2}}r.\tag{A2.3}\]Откуда получаем аналог теоремы Пифагора:

A3  ^1.70 Выразите силу тока в трубке $I$ через $U$, $\beta$, $L$, $S$, $Z_{ext}$, $r$, $e$, где $e$ — элементарный заряд.

В стационарном режиме запишем уравнения баланса электронов и ионов виде:\[Z_\mathrm{ext}SL=rn_en_iSL+\frac1eI_e,\tag{A3.1}\]\[Z_\mathrm{ext}SL=rn_en_iSL+\frac1eI_i.\tag{A3.2}\]Из уравнений (A3.1) и (A3.2) следует, что ионный и электронный токи равны, то есть:\[I_e=I_i.\tag{A3.3}\]В тоже время полный ток в сечении трубки равен сумме электронного и ионного токов:\[I=I_e+I_i.\tag{A3.4}\]Таким образом, по определению плотности тока имеем:\[I_e=\frac{I}{2}=en_evS=e\beta n_eES,\tag{A3.5}\]\[I_i=\frac{I}{2}=en_ivS=e\beta n_iES.\tag{A3.6}\]Подставляя (A3.5) и (A3.6) в (A3.1) или (A3.2), получаем квадратное уравнение для тока:\[Z_\mathrm{ext}SL=rSL\left[\frac I{2e\beta ES}\right]^2+\frac I{2e}.\tag{A3.7}\]Напряженность электрического поля в газе равна:\[E=\frac UL,\tag{A3.8}\]и решение квадратного уравнения (A3.7) имеет вид:\[I=\frac{e\beta^2U^2S}{rL^3}\left[-1\pm\sqrt{1+\frac{4rZ_\mathrm{ext}L^4}{\beta^2U^2}}\right].\tag{A3.9}\]Очевидно, что смысл имеет лишь положительный корень. Таким образом,

A4  ^0.70 Найдите удельное сопротивление газа $\rho_{gas}$ при малых значениях приложенного напряжения и выразите его через $\beta$, $L$, $Z_{ext}$, $r$, $e$.

При малых значениях напряжения (A3.10) упрощается и дает следующее выражение:\[I=2Ue\beta\sqrt\frac{Z_\mathrm{ext}}r\frac SL,\tag{A4.3}\]которое представляет собой закон Ома.

Используя известные соотношения:\[R=\frac UI\tag{A4.1}\]\[\text{и }R=\rho\frac LS,\tag{A4.2}\]получаем:

B1  ^2.00 Найдите $A_{1}$, $A_{2}$ и выразите их через $Z_{ext}$, $\alpha$, $e$, $L$, $S$.

Рассмотрим некоторый слой газа, расположенный от $x$ до $x+\mathrm dx$. Изменение количества электронов внутри слоя за малый интервал времени $\mathrm dt$ дается выражением:\[\mathrm dN_e^I=\frac{I_e(x+\mathrm dx)-I_e(x)}{e}\mathrm dt=\frac1e\frac{\mathrm dI_e(x)}{\mathrm dx}~\mathrm dx\mathrm dt.\tag{B1.1}\]Это изменение происходит вследствие двух процессов: действия внешнего ионизатора и образования электронной лавины.

В результате действия внешнего ионизатора в объеме $S\,\mathrm dx$ образуется количество электронов:\[\mathrm dN_e^\mathrm{ext}=Z_\mathrm{ext}S~\mathrm dx\mathrm dt,\tag{B1.2}\]а благодаря электронной лавине:\[\mathrm dN_e^a=\alpha N_e~\mathrm dl=n_eS~\mathrm dx~v\mathrm dt=\alpha\frac{I_e(x)}e~\mathrm dx\mathrm dt.\tag{B1.3}\]Условие баланса числа электронов в объеме записывается в виде:\[\mathrm dN^I_e=\mathrm dN_e^\mathrm{ext}+\mathrm dN_e^a,\tag{B1.4}\]откуда получается дифференциальное уравнение для силы электронного тока:\[\frac{\mathrm dI_e(x)}{\mathrm dx}=eZ_\mathrm{ext}S+\alpha I_e(x).\tag{B1.5}\]Подставляя , получаем:

B2  ^0.60 Найдите $B_{1}$, $B_{2}$ и выразите их через $Z_{ext}$, $\alpha$, $e$, $L$, $S$, $C_{1}$.

С учетом того, что ионы текут в направлении, противоположном движению электронов, для ионного тока тоже можно записать уравнение баланса числа частиц:\[\mathrm dN^I_i=\mathrm dN_i^\mathrm{ext}+\mathrm dN_i^a,\tag{B2.1}\]где\[\mathrm dN_i^I=\frac{I_i(x)-I_i(x+\mathrm dx)}{e}\mathrm dt=-\frac1e\frac{\mathrm dI_i(x)}{\mathrm dx}~\mathrm dx\mathrm dt,\tag{B2.2}\]\[\mathrm dN_i^\mathrm{ext}=Z_\mathrm{ext}S~\mathrm dx\mathrm dt,\tag{B2.3}\]\[\mathrm dN_i^a=\alpha\frac{I_e(x)}e~\mathrm dx\mathrm dt.\tag{B2.4}\]Отсюда получается дифференциальное уравнение для силы ионного тока\[-\frac{\mathrm dI_i(x)}{\mathrm dx}=eZ_\mathrm{ext}S+\alpha I_e(x).\tag{B2.5}\]Подставляя найденную ранее величину электронного тока и $I_i(x)=C_2+B_1e^{B_2x}$, находим:

B3  ^0.30 Запишите условие для тока $I_{i} (x)$ в точке $x=L$.

Так как ионы начинают движение из точки $x=L$, то должно выполняться условие:

B4  ^0.60 Запишите условие для токов $I_{i}(x)$ и $I_{e} (x)$ в точке $x=0$.

Из определения коэффициента вторичной электронной эмиссии следует, что:

B5  ^1.20 Найдите полный ток $I$ и выразите его через $Z_{ext}$, $\alpha$, $\gamma$, $e$, $L$, $S$. Считайте, что полный ток остается конечной величиной.

Используя полученные зависимости электронного и ионного токов от координаты $x$, а также условия (B3.1) и (B4.1), окончательно находим:

B6  ^0.50 Найдите $L_{cr}$ и выразите его через $Z_{ext}$, $\alpha$, $\gamma$, $e$, $L$, $S$.

При увеличении длины разрядного промежутка знаменатель в формуле (B5.1) уменьшается. В тот момент, когда он обратится в ноль, электрический ток в газе станет самоподдерживающимся и внешний ионизатор может быть отключен. Таким образом: