1  ^1.50 Выразите неизвестное сопротивление $R_{x}$ через сопротивления $R_{1}$, $R_{2}$, $R_{0}$ при условии сбалансированности моста.

На рисунке показано направление протекания электрических токов и их обозначение. Силы токов через резисторы могут быть найдены из очевидных соотношений $$ $$

Из распределения токов, показанного на рисунке, следует, что сила тока через миллиамперметр равна $$ i=I_{1}-I_{2}=I_{0}\left(\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{0}}-\frac{R_{2}}{R_{2}+R_{x}} \right). \ (3) $$ Чтобы сила тока через миллиамперметр стала равной нулю, необходимо выполнение условия (условие сбалансированности моста) $$ \frac{R_{1}}{R_{1}+R_{0}}=\frac{R_{2}}{R_{2}+R_{x}}, $$ или $$ \frac{R_{1}}{R_{0}}=\frac{R_{2}}{R_{x}}. \ (4) $$ из которого следует формула для определения неизвестного сопротивления $$ R_{x}=R_{0}\frac{R_{2}}{R_{1}}. \ (5) $$

2  ^0.50 В реальных измерениях практически невозможно точно зафиксировать отсутствие тока через миллиамперметр, так как его чувствительность ограничена. Пусть минимальное значение силы тока, которое может зафиксировать миллиамперметр равно $i_{0}$ (то есть при $i < i_{0}$ миллиамперметр показывает ноль). Определите относительную погрешность измерения сопротивления $R_{x}$, вызванную неточностью определения нулевого значения тока через миллиамперметр. Общую силу тока в цепи $I_{0}$ считайте постоянной и известной, причем $I_{0}\gg i_{0}$.

Для определения погрешности этой формулы следует решить уравнение (3). В ходе решения можно использовать условие малости силы тока $i$. Обозначим $\frac{i}{I_{0}}=\eta$, и при проведении преобразований учтем, что $\eta \ll 1 $: $$ \frac{R_{1}}{R_{1}+R_{0}}-\frac{R_{2}}{R_{2}+R_{x}}=\eta \Rightarrow \frac{R_{2}}{R_{2}+R_{x}}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{0}}-\eta \\ \frac{R_{2}+R_{x}}{R_{2}}=\left(\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{0}}-\eta \right)^{-1}=\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}}\left(1-\eta\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right)^{-1} \approx \frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \left(1+\eta\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right) \\ 1+\frac{R_{x}}{R_{2}}=\left(1+\frac{R_{0}}{R_{1}} \right) \left(1+\eta\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right)=1+\frac{R_{0}}{R_{1}}+\eta \left(\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right)^{2} \Rightarrow R_{x}=R_{2}\frac{R_{0}}{R_{1}}+\eta\left(\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right)^{2}. $$ Перепишем последнее соотношение в виде $$ R_{x}=R_{2}\frac{R_{0}}{R_{1}}+\eta\left(\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right)^{2}=R_{2}\frac{R_{0}}{R_{1}}\left(1+\eta\frac{(R_{1}+R_{0})^{2}}{R_{1}R_{2}} \right), \ (6) $$ откуда следует, что относительная погрешность формулы (5) равна $$ \varepsilon =\eta\frac{(R_{1}+R_{0})^{2}}{R_{1}R_{2}}. \ (7) $$