Pho.rs: Вихри в сверхтекучей жидкости

A1 ^0.25 Нарисуйте линии тока. Найдите скорость $v$ в точке с радиус-вектором $\vec r$.

1 Правильные линии тока (хотя бы одна).	0.10
2 Получен ответ: $$v=\cfrac{\kappa}{r}{.} $$	0.15

A2 ^0.50 Найдите форму свободной поверхности, которая образуется вокруг вихревой нити, т.е. зависимость высоты от расстояния до оси $z(\vec r)$. Ускорение свободного падения $g$. Поверхностным натяжением можно пренебречь.

1 (***) Получено выражение: $$\operatorname{tg}\alpha=\cfrac{\kappa^2}{gr^3}{,} $$ либо эквивалентное.	0.25
2 Получен ответ: $$z=z_0-\cfrac{\kappa^2}{2gr^2}{.} $$ (Если в $\mathrm{A1.2}$ получено $v\sim 1/r$ – применяется PEP).	0.25

B1 ^0.25 Рассмотрим два одинаковых вихря, которые вначале расположены на расстоянии $r_0$ друг от друга, как показано на рис. Найдите начальные скорости вихрей и изобразите их траектории.

1 Правильные траектории.	0.15
2 Получен ответ: $$v_0=\cfrac{\kappa}{r_0}{.} $$	0.10

B2 ^0.15 Нарисуйте траектории вихрей $\mathrm A, \mathrm B$ и $\mathrm C$ (расположенного в центре).

1 Все траектории правильные.

0.15

B3 ^0.40 Найдите скорость $v(\vec r)$ вихря расположенного в точке с радиус-вектором $\vec r$.

1 (***) Получено выражение для плотности вихрей: $$\left(\cfrac{u^2\sqrt{3}}{2}\right)^{-1}{.} $$	0.20
2 Получен ответ: $$v=\cfrac{2\pi \kappa r}{u^2\sqrt{3}}{.} $$ (Если $\mathrm{B3.1}$ неверно – применяется PEP).	0.20

B4 ^0.35 Найдите зависимость расстояния $\mathrm A\mathrm B(t)$ между вихрями $\mathrm A$ и $\mathrm B$ от времени $t$. Считайте $\mathrm A\mathrm B(0)$ в начальный момент времени заданным.

1 Получен ответ: $$AB(t)=AB(0){.} $$

0.35

B5 ^0.25 Найдите сглаженную форму свободной поверхности гелия $z(\vec r)$, не учитывая решетчатую структуру

1 Получен ответ: $$z(r)=z_0+\cfrac{2\pi^2\kappa^2r^2}{3gu^4}{.} $$ (Если в $\mathrm{B3.2}$ получено $v\sim r$ – применяется PEP).

0.25

C1 ^0.30 Рассмотрим вихревую петлю в форме близкой к прямоугольнику с размерами $b\times d, b\ll d$, см. Рис выше. Укажите направление ее полного импульса $\vec P$. Найдите величину полного импульса.

1 Правильное направление импульса (стрела летит из листа ответов).	0.15
2 Правильная величина импульса: $$P=2\pi \kappa\rho bd{.} $$	0.15

C2 ^0.70 Найдите энергию этой петли $U$.

1 Интегрирование производится в пределах от $\beta a$ до $b$, где $\beta\approx 1$.

0.20

2 Первый способ: Аналогия с магнитным полем:

$$U=\cfrac{LI^2}{2}\quad\text{или}\quad L=\cfrac{\Phi}{I}{.}
$$

Второй способ: Энергия вычисляется как работа внешней силы:

$$W=\int Fdr\quad\text{и}\quad F=\cfrac{dP}{dt}{.}
$$

0.20

3 Получен ответ: $$U=2\pi \kappa^2\rho d\ln\cfrac{b}{a}{.} $$ ($\ln(b/(\beta a))$ также засчитывается).

0.30

C3 ^0.75 Предположим, что мы сдвинули длинную прямую вихревую нить на расстояние $b$ в направлении оси $x$, см. Рис. Насколько изменился полный импульс жидкости? Укажите направление изменения полного импульса жидкости. Длина нити (ограниченная стенками сосуда) равна $d$.

1 (***) Используется результат пункта $\mathrm{C1}$.	0.30
2 Изменение импульса направлено вдоль оси $Y$.	0.10
3 Правильное направление изменения импульса (вверх в листах ответов).	0.15
4 Получен ответ: $$\Delta{P}=2\pi \kappa\rho bd{.} $$ (оценивается, если похоже на $\mathrm{C1.2}$)	0.20

D1 ^0.50 Рассмотрим прямую вихревую нить, заряженную с постоянной линейной плотностью $\lambda<0$ и помещенную в однородное электрическое поле $\vec E$. Изобразите траекторию движения нити. Найдите зависимость ее скорости от времени.

1 Траектория представляет собой прямую линию, параллельную оси $Y$.	0.10
2 Правильное направление скорости (вверх).	0.20
3 Получен ответ: $$v=\cfrac{E\|\lambda\|}{2\pi \kappa\rho}{.} $$ (Если в $\mathrm{C3.4}$ получено $\Delta{P}\sim b$ – применяется PEP).	0.20

D2 ^0.60 Нарисуйте траекторию движения центра вихревого кольца $C$. Найдите зависимость радиуса кольца от времени.

1 Траектория представляет собой прямую линию, параллельную оси $z$.	0.10
2 Правильное направление скорости (вверх).	0.15
3 (***) Получено выражение: $$P(t)=P_0+2\pi ER_0\|\lambda\|t{.} $$	0.15
4 (***) Получено выражение: $$P=2\pi^2\rho R^2\kappa{.} $$	0.15
5 Получен ответ: $$R=\sqrt{R^2_0+\cfrac{ER_0\|\lambda\|t}{\pi\rho \kappa}}{.} $$	0.05

D3 ^1.50 Найдите зависимость скорости центра кольца $v(t)$ от времени.

1 Получена пропорциональность: $$v\sim \cfrac{1+\ln(R/a)}{R}\left(\approx \cfrac{\ln(R/a)}{R}\right){.} $$	1.00
2 Получен ответ: $$v=\begin{bmatrix} \cfrac{\kappa}{2\sqrt{R^2_0+\cfrac{ER_0\|\lambda\|t}{\pi\rho \kappa}}}\left(1+\ln\cfrac{\sqrt{R^2_0+\cfrac{ER_0\|\lambda\|t}{\pi\rho \kappa}}}{a}\right)\\ \cfrac{\kappa}{2\sqrt{R^2_0+\cfrac{ER_0\|\lambda\|t}{\pi\rho \kappa}}}\left(1+\ln\cfrac{R_0}{a}\right)\\ \cfrac{\kappa}{2\sqrt{R^2_0+\cfrac{ER_0\|\lambda\|t}{\pi\rho \kappa}}}\ln\cfrac{\sqrt{R^2_0+\cfrac{ER_0\|\lambda\|t}{\pi\rho \kappa}}}{a}\\ \cfrac{\kappa}{2\sqrt{R^2_0+\cfrac{ER_0\|\lambda\|t}{\pi\rho \kappa}}}\ln\cfrac{R_0}{a} \end{bmatrix} $$ (Если в $\mathrm{D2.5}$ получено $R=\sqrt{a+bt}$ – применяется PEP).	0.50

D4 ^0.25 В некоторый момент времени $t^*$, когда скорость достигает значения $v^*=v(t^*)$, электрическое поле выключают. Найдите скорость $v(t)$ вихревого кольца в моменты времени $t>t^*$.

1 Получен ответ: $$v(t)=v^*{.} $$

0.25

E1 ^0.50 Нарисуйте траекторию прямолинейного вихря, первоначально расположенного на расстоянии $h_0$ от плоской стены. Найдите зависимость скорости от времени.

1 Изображена правильная траектория	0.15
2 Правильное направление скорости (влево).	0.10
3 Получен ответ: $$v=\cfrac{\kappa}{2h_0}{.} $$	0.25

E2 ^0.75 Чему равна начальная скорость $v_0$ вихря?

1 (***) Идея использования принципа суперпозиции и метода изображений.	0.25
2 Получен ответ: $$v=\cfrac{\kappa}{2\sqrt{2}h_0}{.} $$	0.50

E3 ^0.50 Изобразите траекторию вихря.

1 Траектория имеет правильную кривизну.	0.30
2 Правильное направление скорости (вправо и вниз).	0.20

E4 ^1.50 Чему равна скорость вихря $v_{\infty}$ спустя очень большой промежуток времени?

1 Использован закон сохранения энергии (или эквивалент).	0.50
2 Получен ответ: $$v_{\infty}=\cfrac{\kappa}{h_0\sqrt{2}}{.} $$	1.00
3 При нахождении $v_{\infty}$ допущена арифметическая ошибка.	0.50

Вихри в сверхтекучей жидкости

Разбалловка