Из соображений симметрии линии тока - круги. Из уравнения для циркуляции скорости $$v=\frac \kappa r$$
Рассмотрим тонкий круговой слой радиуса $r$. Условие равновесия для его поверхности задается уравнением $$g \frac{dz}{dr}=\frac{v^2}{r}=\frac{\kappa^2}{r^3}.$$ Данному уравнению удовлетворяет поверхность с уравнением $$z(r)=z_0-\frac{\kappa^2}{2gr^2}$$
Под действием потоков друг друга, нити будут вращаться вокруг точки, расположенной между ними. Скорость задается уравнением $$v=\kappa/r_0.$$
Рассмотрим круговую траекторию радиуса $r\gg u$ вокруг центра стакана. Циркуляция вдоль нее задается количеством вихрей внутри нее (поверхностная плотность вихрей равна $(u^2\sqrt3/2)^{-1}$): $$2 \pi r v=2 \pi \kappa \frac{\pi r^2}{u^2 \sqrt{3} / 2}.$$ Соответственно, скорость равна $$v=\frac{2 \pi \kappa r}{u^2 \sqrt{3}}$$
Данное распределение скоростей соответствует вращению вихрей как единого целого вокруг центра стакана с угловой скоростью $$\omega =\frac{2\pi \kappa}{u^2 \sqrt3}$$
Импульс петли перпендикулярен ее плоскости и прямо пропорционален ее площади. Для прямоугольной пели $$P=2\pi\kappa\rho bd$$
Чтобы создать равные плотности кинетической и магнитной энергии $$\frac{B^2}{2\mu_0}=\frac{\rho v^2}{2},$$ магнитное поле должно быть равно $$B=v\sqrt{\mu_0\rho}=\frac{\kappa\sqrt{\mu_0\rho}}{r}.$$ Это поле создается током $$I=2\pi\kappa\sqrt{\frac{\rho}{\mu_0}}.$$ Энергия петли с током может быть найдена как $$U=\frac{LI^2}{2}.$$ Индуктивность прямоугольной петли $$L=\frac{\Phi}{I}=\frac{2d}{I}\int_a^b \frac{\mu_0I}{2\pi r}dr=\frac{\mu_0d}{\pi}\ln\frac{b}{a}.$$ Отсюда получаем энергию $$U=2\pi\kappa^2\rho d\log\frac ba$$
Изменение импульса равно импульсу длинной прямоугольной петли $$P=2\pi\kappa\rho bd$$
Электрическая сила $$F=E\lambda d$$ двигает нить со скоростью $$v=\frac{F}{2 \pi \kappa \rho d}=\frac{E \lambda}{2 \pi \kappa \rho}$$ перпендикулярно $\vec{E}$.
Электрическая сила, действующая на петлю $$F=-2\pi ER_0|\lambda|t$$ постоянна и импульс жидкости линейно зависит от времени $$P=P_0+2\pi ER_0|\lambda|t=2\pi^2\rho R^2\kappa.$$ Отсюда получаем, что петля растет и радиус зависит от времени как $$R=\sqrt{R_0^2+\frac{E R_0|\lambda| t}{\pi \rho \kappa}}$$
Скорость петли $v$ может быть получена из соотношения скоростей изменения энергии и импульса $$\frac{dU}{dt}=Fv=\frac{dP}{dt}v.$$ Отсюда получаем скорость $$v=\frac{dU}{dP}\approx\frac{\kappa}{2R}\ln\frac{R}{a}=\cfrac{\kappa}{2\sqrt{R^2_0+\cfrac{ER_0|\lambda|t}{\pi\rho \kappa}}}\ln\cfrac{\sqrt{R^2_0+\cfrac{ER_0|\lambda|t}{\pi\rho \kappa}}}{a}=
\cfrac{\kappa}{2\sqrt{R^2_0+\cfrac{ER_0|\lambda|t}{\pi\rho \kappa}}}\ln\cfrac{R_0}{a}.$$Это означает, что нить движется в направлении силы, но ее скорость уменьшается.
$$E=0 \Rightarrow P=\text{const}\Rightarrow v=\text{const} \Rightarrow v(t)=v^*$$
Хорошо известный метод изображений зарядов (токов) в электростатике (магнитостатике) может быть применен для решения этой задачи. Стенка может быть заменена отраженной фиктивной нитью с другой стороны от стенки. Распределение скоростей двух нитей в верхнем полупространстве эквивалентно распределению, созданному одной нитью и стенкой. Действительно, симметрия конструкции гарантирует, что потока через плоскость симметрии нет. Таким образом, прямая нить расположенная на расстоянии $h_0$ от плоской стены и ее изображение ведут себя как пара нитей с противоположными направлениями циркуляции на расстоянии $2h_0$. Это означает, что нить будет двигаться вдоль стены со скоростю $$v=\frac{\kappa}{2h_0}$$
Скорость нити задается суперпозицией скоростей $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ и $\vec{v}_3$, созданных изображениями нитей $1$, $2$ и $3$ соответственно (см. картинку в решении $\text{E3}$). Можно получить $$v_1=\frac{\kappa}{2h_0},\quad v_2=\frac{\kappa}{2\sqrt2h_0},\quad v_3=\frac{\kappa}{2h_0}.$$ Модуль скорости нити в начальный момент времени равен $$v_0=|\vec{v}_1+\vec{v}_2+\vec{v}_3|=\sqrt2v_1-v_2=\frac{\kappa}{2\sqrt2h_0}.$$
Энергия системы нитей пропорциональна $$U_{\text{tot}}\propto \ln\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{a}-\ln\frac{x}{a}-\ln\frac{y}{a}.$$ Из закона сохранения энергии получаем, что величина $$C=\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}=\frac{2}{h_0^2}$$ постоянна при движении. Спустя большое время $y\rightarrow h_0/\sqrt2$ и скорость нити равна $$v_{\infty}=\frac{\kappa}{h_0\sqrt2}$$