Pho.rs: Вихри в сверхтекучей жидкости

A1 ^0.25 Нарисуйте линии тока. Найдите скорость $v$ в точке с радиус-вектором $\vec r$.

Ответ:

Ответ: $$v=\frac kr$$

A2 ^0.50 Найдите форму свободной поверхности, которая образуется вокруг вихревой нити, т.е. зависимость высоты от расстояния до оси $z(\vec r)$. Ускорение свободного падения $g$. Поверхностным натяжением можно пренебречь.

Ответ: $$\tan\alpha=\frac{k^2}{gr^3}$$
$$z=[z_0]-\frac{k^2}{2gr^2}$$

B1 ^0.25 Рассмотрим два одинаковых вихря, которые вначале расположены на расстоянии $r_0$ друг от друга, как показано на рис. Найдите начальные скорости вихрей и изобразите их траектории.

Ответ:

Ответ: $$v=\kappa/r_0$$

B2 ^0.15 Нарисуйте траектории вихрей $\mathrm A, \mathrm B$ и $\mathrm C$ (расположенного в центре).

Ответ:

B3 ^0.40 Найдите скорость $v(\vec r)$ вихря расположенного в точке с радиус-вектором $\vec r$.

Ответ: $$
2 \pi r v=2 \pi \kappa \frac{\pi r^2}{u^2 \sqrt{3} / 2}
$$
$$
v=\frac{2 \pi \kappa r}{u^2 \sqrt{3}}
$$

B4 ^0.35 Найдите зависимость расстояния $\mathrm A\mathrm B(t)$ между вихрями $\mathrm A$ и $\mathrm B$ от времени $t$. Считайте $\mathrm A\mathrm B(0)$ в начальный момент времени заданным.

Ответ: $$\mathrm{AB}(t)=\mathrm{AB}(0)$$

B5 ^0.25 Найдите сглаженную форму свободной поверхности гелия $z(\vec r)$, не учитывая решетчатую структуру

Ответ: $$
z(r)=\left[z_0\right]+\frac{\omega^2 r^2}{2 g}=\left[z_0\right]+\frac{2 \pi^2 \kappa^2 r^2}{3 g u^4}
$$

C1 ^0.30 Рассмотрим вихревую петлю в форме близкой к прямоугольнику с размерами $b\times d, b\ll d$, см. Рис выше. Укажите направление ее полного импульса $\vec P$. Найдите величину полного импульса.

Ответ:

Ответ: $$P=2\pi\kappa\rho bd$$

C2 ^0.70 Найдите энергию этой петли $U$.

Ответ: $$U=2\pi\kappa^2\rho d\log\frac ba$$

C3 ^0.75 Предположим, что мы сдвинули длинную прямую вихревую нить на расстояние $b$ в направлении оси $x$, см. Рис. Насколько изменился полный импульс жидкости? Укажите направление изменения полного импульса жидкости. Длина нити (ограниченная стенками сосуда) равна $d$.

Ответ:

D1 ^0.50 Рассмотрим прямую вихревую нить, заряженную с постоянной линейной плотностью $\lambda<0$ и помещенную в однородное электрическое поле $\vec E$. Изобразите траекторию движения нити. Найдите зависимость ее скорости от времени.

Ответ:

Ответ: $$
v=\frac{F}{2 \pi \kappa \rho d}=\frac{E \lambda}{2 \pi \kappa \rho}
$$

D2 ^0.60 Нарисуйте траекторию движения центра вихревого кольца $C$. Найдите зависимость радиуса кольца от времени.

Ответ:

Ответ: $$
R=\sqrt{R_0^2+\frac{E R_0|\lambda| t}{\pi \rho \kappa}}
$$

D3 ^1.50 Найдите зависимость скорости центра кольца $v(t)$ от времени.

Ответ:

D4 ^0.25 В некоторый момент времени $t^*$, когда скорость достигает значения $v^*=v(t^*)$, электрическое поле выключают. Найдите скорость $v(t)$ вихревого кольца в моменты времени $t>t^*$.

Ответ: $$v(t)=v^*$$

E1 ^0.50 Нарисуйте траекторию прямолинейного вихря, первоначально расположенного на расстоянии $h_0$ от плоской стены. Найдите зависимость скорости от времени.

Ответ:

Ответ: $$v=\frac{\kappa}{2h_0}$$

E2 ^0.75 Чему равна начальная скорость $v_0$ вихря?

Ответ: $$v_0=\frac{\kappa}{2\sqrt 2h_0}$$

E3 ^0.50 Изобразите траекторию вихря.

Ответ:

E4 ^1.50 Чему равна скорость вихря $v_{\infty}$ спустя очень большой промежуток времени?

Ответ: $$v_{\infty}=\frac{\kappa}{h_0\sqrt2}$$

Вихри в сверхтекучей жидкости

Решение