Во всей задаче баллы за ответ не ставятся, если ответ не выражен через величины, требуемые в задании! Propagation error: при несерьёзной ошибке баллы не ставятся только в пункте, где непосредственно была совершена ошибка! |
||
A1. 3
Записано выражение для ЭДС $L\dot{I}+IR=-\cfrac{\pi{d}^2}{4}\dot{B}_z $ |
0.30 |
|
A2. 1 Ответ для $I(t)$ должен иметь вид $I(t)=I_m\cos(\omega t+\varphi)$ | 0.20 |
|
A2. 2
Правильный ответ $I(t)=\cfrac{\pi{d}^2\omega B_\mathrm m}{4\sqrt{R^2+\omega^2L^2}}\cos\left(\omega t-\cfrac{\pi}{2}-\arctan\cfrac{\omega L}{R}\right) $ |
0.30 |
|
A3. 1 Записана теорема Гаусса $S_{боков}B_{0\rho}+S_{попер}[B_{0z}(z)-B_{0z}(z+\mathrm dz)]=0$ | 0.20 |
|
A3. 2
$B_{0\rho}=-\cfrac{d}{4}\cfrac{\partial B_{0z}(z)}{\partial z} $ |
0.10 |
|
A4. 1 Аксиальная компонента силы $F_z(z,t)=\pi dI(t)B_\rho(z,t)$ | 0.10 |
|
A4. 2
Правильный ответ $F_z=\cfrac{\pi^2d^4\omega B_{0z}(z)}{16\sqrt{R^2+\omega^2L^2}}\cfrac{\partial{B_{0z}(z)}}{\partial{z}}\cdot \cos(\omega t)\cos(\omega t-\phi),\quad \phi=\operatorname{arctg}\frac {L\omega}R $ |
0.10 |
|
A5. 1 Усреднение $\overline{\cos(\omega t)\cos(\omega t-\phi)}=\cos(\phi)/2$ | 0.40 |
|
A5. 3
Правильный ответ $F_z(z)=-\cfrac{\pi^2d^4B_{0z}(z)}{32}\cfrac{\partial{B_{0z}(z)}}{\partial{z}}\cdot\cfrac{\omega^2L}{R^2+\omega^2L^2} $ |
0.20 |
|
B1. 1
Производная поля $\cfrac{\partial B_{0z}(z)}{\partial z}=-\cfrac{B_0}{H}=const $ |
0.10 |
|
B1. 2
Ответ $F_z(z)=\cfrac{\pi^2d^4B^2_0}{32H}\cdot\cfrac{\omega^2L}{R^2+\omega^2L^2}\left(1-\cfrac{z}{H}\right) $ |
0.20 |
|
B1. 3 Для потенциала записан интеграл с верными пределами | 0.10 |
|
B1. 4
$U_F(z)=\cfrac{\pi^2d^4B^2_0}{64}\cdot\cfrac{\omega^2L}{R^2+\omega^2L^2}\left(1-\cfrac{z}{H}\right)^2 $ |
0.10 |
|
B2. 1 Указано, что в равновесии $F_z=mg$ | 0.10 |
|
$h=\begin{cases} H\left(1-\cfrac{32mgH(R^2+\omega^2L^2)}{\pi^2d^4B^2_0\omega^2L}\right)\quad\text{при}\quad \cfrac{32mgH(R^2+\omega^2L^2)}{\pi^2d^4B^2_0\omega^2}<1\\ 0\quad\text{при}\quad \cfrac{32mgH(R^2+\omega^2L^2)}{\pi^2d^4B^2_0\omega^2}>1 \end{cases} $ Рассмотрено: |
||
B2. 3 2 случая | 0.40 |
|
B2. 4 1 случай | 0.20 |
|
B3. 1 Идея рассматривать потенциальную энергию | 0.10 |
|
$h_\mathrm m=\begin{cases} 0\quad \text{при}\quad \cfrac{32mgH(R^2+\omega^2L^2)}{\pi^2d^4B^2_0\omega^2L}\geq 1\\ 2H\left(1-\cfrac{32mgH(R^2+\omega^2L^2)}{\pi^2d^4B^2_0\omega^2L}\right)\quad \text{при}\quad \cfrac{1}{2}\leq \cfrac{32mgH(R^2+\omega^2L^2)}{\pi^2d^4B^2_0\omega^2L}\leq 1\\ \cfrac{\pi^2d^4B^2_0}{64mg}\cdot\cfrac{\omega^2L}{R^2+\omega^2L^2}\quad\text{при}\quad \cfrac{32mgH(R^2+\omega^2L^2)}{\pi^2d^4B^2_0\omega^2L}\leq\cfrac{1}{2} \end{cases} $ Рассмотрено: |
||
B3. 3 3 случая; | 0.40 |
|
B3. 4 2 случая; | 0.30 |
|
B3. 5 1 случай | 0.20 |
|
$h_\mathrm m=\begin{cases} 2h\quad\text{при}\quad 0\geq h\leq \cfrac{H}{2}\\ \cfrac{H^2}{2(H-h)}\quad\text{при}\quad h\geq\cfrac{H}{2} \end{cases} $ Рассмотрено: |
||
B4. 2 2 случая; | 0.60 |
|
B4. 3 1 случай | 0.30 |
|
B4. 4 $h_\mathrm m(18~см)=\cfrac{H^2}{2(H-h_1)}=100~\text{см}$ | 0.10 |
|
B4. 5 $h_\mathrm m(8 см)=2h_2=16~\text{см}$ | 0.10 |
|
C1. 1
Дополнительный поток $ \Delta \dot{\Phi} = \cfrac{\pi d^2}{4}\cfrac{\partial B}{\partial z} \dot{z}$ |
0.20 |
|
C1. 2 Дополнительный ток $\Delta I = \cfrac{\pi d^2}{4R}\cfrac{\partial B}{\partial z} \dot{z}$ | 0.10 |
|
C1. 3
Неусреднённая дополнительная сила $ \Delta F = -\cfrac{\pi^2 d^4}{16R}\left(\cfrac{\partial B}{\partial z}\right)^2 \dot{z}. $ |
0.10 |
|
C1. 4 Ответ $F_z(v_z)=-\cfrac{\pi^2d^4B_0^2v_z}{32RH^2}$ | 0.10 |
|
C2. 1 Декремент затухания выражен через известные параметры колебаний (например, $\gamma$ и $\omega_0$) | 0.20 |
|
C2. 2 Параметры колебаний выражены через величины, требуемые в условии | 0.30 |
|
C2. 3 Ответ $\delta=\pi\frac{R^2+L^2\omega^2}{LR\omega^2}\sqrt\frac{2g}{2H-h_\mathrm m}$ | 0.40 |
|
C2. 4 Численный ответ $\delta \approx 0.32$ | 0.10 |
|
D1. 1
Масса $m\to nm$, индуктивность $L\to L$, сопротивление $R\to\cfrac{R}{n} $ |
3 × 0.10 |
|
D1. 2 Утверждение $F\propto L/(R^2+\omega^2 L)$ | 0.10 |
|
D1. 3 Сила на единицу массы $\cfrac{F_n}{nmg}=\cfrac{R^2+\omega^2L^2}{R^2/n+n\omega^2L^2}\left[1-\cfrac zH\right]$ | 0.10 |
|
D1. 4 Условие равновесия $\cfrac{R^2+\omega^2L^2}{R^2/n+n\omega^2L^2}\left[1-\cfrac {h_n}H\right]=1$ | 0.10 |
|
D1. 5
Ответ $h_n=H\left(1-\cfrac{R^2/n+n\omega^2L^2}{R^2+\omega^2L^2}\right) $ |
0.20 |
|
D2. 1 Минимум функции вещественной переменной при $n=\cfrac{R}{\omega L}$ | 0.20 |
|
D2. 2 Сравнение $\lfloor n\rfloor$ и $\lceil n\rceil$ явным вычислением | 0.20 |
|
D2. 4
Ответ $n_\mathrm{opt}=3 $ |
0.10 |
|
D3. 1
Ответ формульный $n_\mathrm{max}=\bigg\lfloor\cfrac{R^2}{\omega^2L^2}\bigg\rfloor $ |
0.30 |
|
D3. 2 Число $n_\mathrm{max}=10$ | 0.20 |
|
E1. 1 Средняя мощность $\langle P\rangle=R\langle I^2\rangle$ | 0.10 |
|
E1. 2 Усреднение квадрата косинуса | 0.20 |
|
E1. 3
Ответ $R\overline{i^2}=\frac{gH^2mR}{L(H-h)}\left[1-\frac zH\right]^2 $ |
0.40 |
|
E2. 1 Угловая частота колебаний $\omega_0=\sqrt{10g/H}$ | 0.30 |
|
E2. 2 Время взлёта $t_0=\cfrac1{\omega_0}\arccos\left[\cfrac hH-1\right]$ | 0.20 |
|
E2. 3 Зависимость мощности от времени $P(t) = \cfrac{gH^2mR}{L(H-h)}\left(1-\cfrac{h}{H}\left(1-\cos(\omega_0 t)\right)\right)^2$ | 0.20 |
|
E2. 4 Интеграл записан | 0.20 |
|
E2. 5 Интеграл правильно взят | 0.30 |
|
E2. 6 Число $Q=22.1~Дж$ | 0.10 |
|
E3. 1 Формула для $E=\cfrac{mgH^2}{2(H-h)}$ | 0.20 |
|
E3. 2 Число $E=0.29~Дж$ | 0.10 |
|
E4. 1 Выражение для КПД $\eta=\frac{E}{E+Q}$ | 0.10 |
|
E4. 2 $\eta=1.3\text%$ | 0.10 |
|