Logo
Logo

Прыгающее кольцо Томсона

A1  0.30 Запишите уравнение, связывающее силу тока в кольце $I(t)$ и магнитное поле в сердечнике $B_z(t)$.

Во всей задаче баллы за ответ не ставятся, если ответ не выражен через величины, требуемые в задании!
Propagation error: при несерьёзной ошибке баллы не ставятся только в пункте, где непосредственно была совершена ошибка!
A1. 3 Записано выражение для ЭДС $L\dot{I}+IR=-\cfrac{\pi{d}^2}{4}\dot{B}_z
$
0.30
A2  0.50 Получите зависимость силы вихревого тока $I(t)$ от времени при $B_z(t)=B_\mathrm m\cos\omega t$.

A2. 1 Ответ для $I(t)$ должен иметь вид $I(t)=I_m\cos(\omega t+\varphi)$ 0.20
A2. 2 Правильный ответ $I(t)=\cfrac{\pi{d}^2\omega B_\mathrm m}{4\sqrt{R^2+\omega^2L^2}}\cos\left(\omega t-\cfrac{\pi}{2}-\arctan\cfrac{\omega L}{R}\right)
$
0.30
A3  0.30 Из теоремы Гаусса найдите радиальную компоненту поля $B_{0\rho}(z)$. Далее во всех пунктах используйте полученный результат.

A3. 1 Записана теорема Гаусса $S_{боков}B_{0\rho}+S_{попер}[B_{0z}(z)-B_{0z}(z+\mathrm dz)]=0$ 0.20
A3. 2 $B_{0\rho}=-\cfrac{d}{4}\cfrac{\partial B_{0z}(z)}{\partial z}
$
0.10
A4  0.20 Найдите зависимость аксиальной компоненты силы $F_z(z,t)$, действующей на кольцо, от координаты $z$ и времени $t$.

A4. 1 Аксиальная компонента силы $F_z(z,t)=\pi dI(t)B_\rho(z,t)$ 0.10
A4. 2 Правильный ответ $F_z=\cfrac{\pi^2d^4\omega B_{0z}(z)}{16\sqrt{R^2+\omega^2L^2}}\cfrac{\partial{B_{0z}(z)}}{\partial{z}}\cdot \cos(\omega t)\cos(\omega t-\phi),\quad \phi=\operatorname{arctg}\frac {L\omega}R
$
0.10
A5  0.60 Найдите $F_z(z)$.

A5. 1 Усреднение $\overline{\cos(\omega t)\cos(\omega t-\phi)}=\cos(\phi)/2$ 0.40
A5. 3 Правильный ответ $F_z(z)=-\cfrac{\pi^2d^4B_{0z}(z)}{32}\cfrac{\partial{B_{0z}(z)}}{\partial{z}}\cdot\cfrac{\omega^2L}{R^2+\omega^2L^2}
$
0.20
B1  0.50 Найдите выражение для $F_z(z)$ в рассматриваемой геометрии и потенциал этой силы $U_F(z)$ (считайте, что он равен нулю на вершине сердечника).

B1. 1 Производная поля $\cfrac{\partial B_{0z}(z)}{\partial z}=-\cfrac{B_0}{H}=const
$
0.10
B1. 2 Ответ $F_z(z)=\cfrac{\pi^2d^4B^2_0}{32H}\cdot\cfrac{\omega^2L}{R^2+\omega^2L^2}\left(1-\cfrac{z}{H}\right)
$
0.20
B1. 3 Для потенциала записан интеграл с верными пределами 0.10
B1. 4 $U_F(z)=\cfrac{\pi^2d^4B^2_0}{64}\cdot\cfrac{\omega^2L}{R^2+\omega^2L^2}\left(1-\cfrac{z}{H}\right)^2
$
0.10
B2  0.50 На какой высоте $h$ будет парить кольцо в состоянии равновесия, если поле «включить» медленно? Выразите ответ через $m$, $g$, $R$, $L$, $\omega$, $d$, $B_0$, $H$.

B2. 1 Указано, что в равновесии $F_z=mg$ 0.10
$h=\begin{cases}
H\left(1-\cfrac{32mgH(R^2+\omega^2L^2)}{\pi^2d^4B^2_0\omega^2L}\right)\quad\text{при}\quad \cfrac{32mgH(R^2+\omega^2L^2)}{\pi^2d^4B^2_0\omega^2}<1\\
0\quad\text{при}\quad \cfrac{32mgH(R^2+\omega^2L^2)}{\pi^2d^4B^2_0\omega^2}>1
\end{cases}
$
Рассмотрено:
B2. 3 2 случая 0.40
B2. 4 1 случай 0.20
B3  0.50 На какую высоту $h_\mathrm m$ подскочит кольцо, если поле «включить» быстро? Выразите ответ через $m$, $g$, $R$, $L$, $\omega$, $d$, $B_0$, $H$.

B3. 1 Идея рассматривать потенциальную энергию 0.10
$h_\mathrm m=\begin{cases}
0\quad \text{при}\quad \cfrac{32mgH(R^2+\omega^2L^2)}{\pi^2d^4B^2_0\omega^2L}\geq 1\\
2H\left(1-\cfrac{32mgH(R^2+\omega^2L^2)}{\pi^2d^4B^2_0\omega^2L}\right)\quad \text{при}\quad \cfrac{1}{2}\leq \cfrac{32mgH(R^2+\omega^2L^2)}{\pi^2d^4B^2_0\omega^2L}\leq 1\\
\cfrac{\pi^2d^4B^2_0}{64mg}\cdot\cfrac{\omega^2L}{R^2+\omega^2L^2}\quad\text{при}\quad \cfrac{32mgH(R^2+\omega^2L^2)}{\pi^2d^4B^2_0\omega^2L}\leq\cfrac{1}{2}
\end{cases}
$
Рассмотрено:
B3. 3 3 случая; 0.40
B3. 4 2 случая; 0.30
B3. 5 1 случай 0.20
B4  0.80 Найдите, на какую высоту $h_\mathrm m$ в общем случае подскочит кольцо при быстром включении поля, если при медленном включении оно левитирует на высоте $h$.
Вычислите $h_\mathrm m$, если $h=18 \text{см};8 \text{см}$. Ответы приведите с двумя значащими цифрами.

$h_\mathrm m=\begin{cases}
2h\quad\text{при}\quad 0\geq h\leq \cfrac{H}{2}\\
\cfrac{H^2}{2(H-h)}\quad\text{при}\quad h\geq\cfrac{H}{2}
\end{cases}
$
Рассмотрено:
B4. 2 2 случая; 0.60
B4. 3 1 случай 0.30
B4. 4 $h_\mathrm m(18 см)=\cfrac{H^2}{2(H-h_1)}=100 \text{см}$ 0.10
B4. 5 $h_\mathrm m(8 см)=2h_2=16 \text{см}$ 0.10
C1  0.50 Найдите дополнительную среднюю силу Ампера $F_z(v_z,z)$, возникающую из-за движения кольца.

C1. 1 Дополнительный поток $
\Delta \dot{\Phi} = \cfrac{\pi d^2}{4}\cfrac{\partial B}{\partial z} \dot{z}$
0.20
C1. 2 Дополнительный ток $\Delta I = \cfrac{\pi d^2}{4R}\cfrac{\partial B}{\partial z} \dot{z}$ 0.10
C1. 3 Неусреднённая дополнительная сила $
\Delta F = -\cfrac{\pi^2 d^4}{16R}\left(\cfrac{\partial B}{\partial z}\right)^2 \dot{z}.
$
0.10
C1. 4 Ответ $F_z(v_z)=-\cfrac{\pi^2d^4B_0^2v_z}{32RH^2}$ 0.10
C2  1.00 Найдите декремент затухания $\delta$. Выразите ответ через $R$, $L$, $\omega$, $g$, $H$, $h_\mathrm m$. Вычислите $\delta$ с двумя значащими цифрами.

C2. 1 Декремент затухания выражен через известные параметры колебаний (например, $\gamma$ и $\omega_0$) 0.20
C2. 2 Параметры колебаний выражены через величины, требуемые в условии 0.30
C2. 3 Ответ $\delta=\pi\frac{R^2+L^2\omega^2}{LR\omega^2}\sqrt\frac{2g}{2H-h_\mathrm m}$ 0.40
C2. 4 Численный ответ $\delta \approx 0.32$ 0.10
D1  0.80 Найдите сопротивление $R_n$ стопки из $n$ контактирующих колец. Найдите удельную силу $F_n/nmg$, действующую на каждое из колец в стопке при $z=0$. На какой высоте $h_n$ при этом левитирует стопка? Кольца можно считать очень тонкими, поэтому индуктивность стопки колец равна индуктивности одного кольца. Ответы выразите через $n$, $H$, $R$, $L$, $\omega$.

D1. 1 Масса $m\to nm$, индуктивность $L\to L$, сопротивление $R\to\cfrac{R}{n}
$
3 × 0.10
D1. 2 Утверждение $F\propto L/(R^2+\omega^2 L)$ 0.10
D1. 3 Сила на единицу массы $\cfrac{F_n}{nmg}=\cfrac{R^2+\omega^2L^2}{R^2/n+n\omega^2L^2}\left[1-\cfrac zH\right]$ 0.10
D1. 4 Условие равновесия $\cfrac{R^2+\omega^2L^2}{R^2/n+n\omega^2L^2}\left[1-\cfrac {h_n}H\right]=1$ 0.10
D1. 5 Ответ $h_n=H\left(1-\cfrac{R^2/n+n\omega^2L^2}{R^2+\omega^2L^2}\right)
$
0.20
D2  0.50 При каком числе колец $n_\mathrm{opt}$ удельная сила будет наибольшей? Вычислите его для рассматриваемого в задаче кольца.

D2. 1 Минимум функции вещественной переменной при $n=\cfrac{R}{\omega L}$ 0.20
D2. 2 Сравнение $\lfloor n\rfloor$ и $\lceil n\rceil$ явным вычислением 0.20
D2. 4 Ответ $n_\mathrm{opt}=3
$
0.10
D3  0.50 При каком максимальном числе колец $n_\mathrm{max}$ стопка колец ещё будет левитировать? Вычислите его для рассматриваемого в задаче кольца.

D3. 1 Ответ формульный $n_\mathrm{max}=\bigg\lfloor\cfrac{R^2}{\omega^2L^2}\bigg\rfloor
$
0.30
D3. 2 Число $n_\mathrm{max}=10$ 0.20
E1  0.70 Найдите, как зависит средняя мощность $R\overline{i^2}$ токов Фуко, возникающих в катушке, от координаты $z$. Ответ выразите через $z$, $H$, $R$, $L$, $\omega$, $g$ и $h$.

E1. 1 Средняя мощность $\langle P\rangle=R\langle I^2\rangle$ 0.10
E1. 2 Усреднение квадрата косинуса 0.20
E1. 3 Ответ $R\overline{i^2}=\frac{gH^2mR}{L(H-h)}\left[1-\frac zH\right]^2
$
0.40
E2  1.30 Найдите численно полные Джоулевы потери $Q$ в кольце за время его разгона. Приведите ответ с двумя значащими цифрами.

E2. 1 Угловая частота колебаний $\omega_0=\sqrt{10g/H}$ 0.30
E2. 2 Время взлёта $t_0=\cfrac1{\omega_0}\arccos\left[\cfrac hH-1\right]$ 0.20
E2. 3 Зависимость мощности от времени $P(t) = \cfrac{gH^2mR}{L(H-h)}\left(1-\cfrac{h}{H}\left(1-\cos(\omega_0 t)\right)\right)^2$ 0.20
E2. 4 Интеграл записан 0.20
E2. 5 Интеграл правильно взят 0.30
E2. 6 Число $Q=22.1 Дж$ 0.10
E3  0.30 Найдите численно механическую энергию $E$, переданную кольцу за время его разгона. Приведите ответ с двумя значащими цифрами.

E3. 1 Формула для $E=\cfrac{mgH^2}{2(H-h)}$ 0.20
E3. 2 Число $E=0.29 Дж$ 0.10
E4  0.20 Найдите численно КПД $\eta$ Томсоновского индукционного ускорителя. Приведите ответ с двумя значащими цифрами.

E4. 1 Выражение для КПД $\eta=\frac{E}{E+Q}$ 0.10
E4. 2 $\eta=1.3\text%$ 0.10