Pho.rs: Космический мусор

A1 ^0.20 Найдите проекции угловой скорости объекта $\vec\omega$ на оси $x$ и $y$, используя тот факт, что момент импульса записывается как $\vec L=J_x\omega_x\vec e_x+J_y\omega_y\vec e_y$, где $\vec e_x$ и $\vec e_y$ — единичные векторы осей $x$ и $y$. Ответ выразите через $L=|\vec L|$, угол $\theta$, и моменты инерции $J_x, J_y$.

1 Записано выражение: $$\omega_x=\cfrac{L\cos\theta}{J_x} $$	0.10
2 Записано выражение: $$\omega_y=\cfrac{L\sin\theta}{J_y} $$	0.10

A2 ^0.40 Найдите кинетическую энергию $E_x$ вращения ступени с угловой скоростью $\omega_x$. Найдите кинетическую энергию $E_y$ вращения ступени с угловой скоростью $\omega_y$. Найдите полную кинетическую энергию вращательного движения ступени $E=E_x+E_y$ как функцию ее момента импульса $L$ и $\cos \theta$.

1 Записано выражение: $$E_x=\cfrac{J_x\omega^2_x}{2} $$	0.10
2 Записано выражение: $$E_y=\cfrac{J_y\omega^2_y}{2} $$	0.10
3 Получено выражение: $$E(\theta)=\cfrac{L^2}{2J_y}+\cfrac{L^2}{2}\left(\cfrac{1}{J_x}-\cfrac{1}{J_y}\right)\cos^2\theta $$	0.20
4 Кинетическая энергия правильно выражена НЕ через $L$, $J_x$, $J_y$ и $\theta$.	0.10

A3 ^1.20 Пусть ось $x_0$ — начальное положение оси симметрии $C_x$ ступени относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Используя законы сохранения, найдите максимальный угол $\psi$, между осью симметрии $C_x$ ступени и её первоначальным направлением $x_0$ в течение свободного вращения объекта.
Примечание: Вектор момента импульса ступени сохраняется, так как на ступень не действуют никакие внешние моменты сил.

1 Используется или следует из решения, что $L=const$.	0.20
2 Используется или следует из решения, что $E=const$.	0.20
3 Получено правильное выражение для угла $\theta$ через заданные параметры.	0.20
4 Получено, что $\theta=const$.	0.40
5 Получен ответ: $$\psi=2\theta_0 $$Если ответ получен из правильных соображений – пункты выше оцениваются автоматически.	0.20

A4 ^2.00 Пусть даны значения $L,\theta(0)=\theta_0$ и моментов инерции $J_x,J_y$. Найдите как функции времени угловую скорость вращения $\Omega(t)$ системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$ вокруг оси $y_1$, а также направление и величину угловой скорости ступени $\vec \omega_s(t)$ относительно системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$. Ответ для направления $\vec \omega_s(t)$ приведите через угол $\gamma_s(t)$, который $\vec \omega_s(t)$ составляет с осью $C_x$.
Примечание: Вектор угловой скорости может быть представлен в виде суммы $\vec\omega=\vec\omega_x+\vec\omega_y=\vec\Omega+\vec\omega_s$.

1 Записано выражение: $$\omega_s+\Omega\cos\theta=\cfrac{L\cos\theta}{J_x} $$	0.25
2 Получено выражение: $$\Omega\sin\theta=\cfrac{L\sin\theta}{J_y} $$	0.25
3 Получен ответ: $$\Omega(t)=\cfrac{L}{J_y} $$	0.50
4 Получен ответ: $$\gamma_s(t)=0 $$	0.50
5 Получен ответ: $$\omega_s(t)=\left(\cfrac{1}{J_x}-\cfrac{1}{J_y}\right)L\cos\theta_0 $$	0.50

B1 ^0.60 Считая известными начальные значения момента импульса $L$ и угла $\theta(0)=\theta_1\in(0,\pi/2)$, найдите значение $\theta_2$ угла $\theta$ в конце переходного процесса.

1 Получено выражение: $$\cos\theta_2=0 $$	0.30
2 Получен ответ: $$\theta_2=\cfrac{\pi}{2} $$Если ответ получен из правильных соображений – пункт выше оценивается автоматически.	0.30

B2 ^0.60 Пусть в начальный момент времени угловая скорость $\omega(0)=\omega_1=1\mathcal~рад/с$ составляет угол $\gamma(0)=\gamma_1=30^{\circ}\mathrm C$ с осью симметрии ступени. Вычислите значение $\omega_2$ угловой скорости $\omega$ после прохождения переходного процесса. Моменты инерции ступени равны $J_x=4200~кг\cdot м^2$ и $J_y=15000~кг\cdot м^2$.

1 В конце переходного процесса ракета вращается вокруг оси $y$.	0.20
2 Получено выражение: $$\omega_2=\cfrac{\omega_1}{J_y}\sqrt{J^2_x\cos^2\gamma_1+J^2_y\sin^2\gamma_1} $$	0.20
3 Получен ответ: $$\omega_2\approx \cfrac{5}{9}~\text{рад/с}\approx 0{.}556~\text{рад/с} $$	0.20

C1 ^1.00 Пренебрегая явлением самоиндукции, найдите магнитный момент $\vec \mu$ сферической оболочки. Приведите ответ для вектора $\vec \mu$ в виде проекций на оси $xyz$, показанных на Рисунке.

1 Получены компоненты магнитного момента $\mu_x$ и $\mu_z$: $$\mu_x=0\qquad \mu_z=0 $$	2 × 0.10
2 Записан закон электромагнитной индукции Фарадея: $$\mathcal{E}_\text{инд}=-\dot\Phi $$	0.20
3 Найдено сопротивление $r$ участка сферы в пределах углов $\varphi$ и $\varphi+d\varphi$: $$r(d\varphi)=\cfrac{2\pi R\sin\varphi}{RDd\varphi} $$	0.20
4 Найдена сила тока $dI$, текущего в пределах углов $\varphi$ и $\varphi+d\varphi$: $$dI=-\cfrac{DR^2\dot{B}\sin\varphi d\varphi}{2\rho} $$	0.10
5 Получено выражение для вклада в магнитный момент сферы токов, текущих в пределах углов $\varphi$ и $\varphi+d\varphi$: $$d\mu=-\cfrac{\pi DR^4\dot{B}\sin^3\varphi d\varphi}{2\rho} $$	0.20
6 Получен ответ для $\mu_y$: $$\mu_y=-\cfrac{2\pi DR^4\dot{B}}{3\rho} $$	0.10

C2 ^0.30 Найдите момент сил $\vec M$, действующий на сферическую оболочку. Приведите ответ для вектора $\vec M$ в виде проекций на оси $xyz$, показанные на Рисунке.

1 Получены ответы для $M_x$, $M_y$ и $M_z$ (по $0{.}1$ балла за каждую компоненту):
$$M_x=0\qquad M_y=0\qquad M_z=\cfrac{2\pi DR^4B\dot{B}\sin\alpha}{3\rho}
$$

3 × 0.10

C3 ^0.40 Магнитное поле Земли $\vec B_E$ можно считать полем точечного диполя, помещенного в центр Земли. Дипольный момент равен $\vec\mu_E$ и направлен противоположно оси $Y$. Величина магнитного поля $B$ в точке, где орбита ступени пересекает экваториальную плоскость $XZ$, равна $B_0=20\mu T$. Найдите магнитное поле $\vec B_E(u)$ в точке орбиты, характеризуемой углом $u$, как показано на Рис. Положительное направление отсчета угла $u$ совпадает с направлением движения по орбите. Ответ представьте в виде проекций $\vec B_E(u)$ на оси $XYZ$.
Примечание: Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\vec r$ можно записать как $$
\vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi}\left(\frac{3(\vec{\mu} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right).
$$

1 Получен ответ для $B_{EZ}(u)$: $$B_{EZ}(u)=0 $$	0.10
2 Получены выражения для $B_{EX}(u)$ и $B_{EY}(u)$: $$B_{EX}(u)=-\cfrac{3\mu_0\mu_E\sin 2u}{8\pi R^3_0}\qquad B_{EX}(u)=\cfrac{\mu_0\mu_E(3\cos 2u-1)}{8\pi R^3_0} $$	2 × 0.05
3 Получено выражение для $B_0$: $$B_0=\cfrac{\mu_0\mu_E}{4\pi R^3_0} $$	0.10
4 Получены ответы для $B_{EX}(u)$ и $B_{EY}(u)$: $$B_{EX}=-\cfrac{3B_0\sin 2u}{2}\qquad B_{EY}(u)=\cfrac{B_0(3\cos 2u-1)}{2} $$	2 × 0.05

C4 ^1.30 Найдите момент сил $\vec M(u)$, действующих на ступень, которая вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости орбиты. Угловая скорость вращения ступени равна $\omega$, она коллинеарна оси $Z$. Ответ для $\vec M(u)$ приведите в виде проекций на оси $XYZ$.

C5 ^1.00 Считая изменение угловой скорости ступени за один период обращения по орбите пренебрежимо малым, найдите зависимость модуля угловой скорости $\omega(t)$ от времени.

1 Производится усреднение момента силы $M_Z$.	0.15
2 Для усреднённого момента силы $\langle M_Z\rangle$ получено: $$\langle M_Z\rangle=A-B\omega{,}\quad A\neq 0{,}\quad B>0{.} $$	0.10
3 Получены правильные коэффициенты $A$ и $B$: $$\langle M_z\rangle=\cfrac{2\pi DB^2_0R^4}{3\rho}\left(\cfrac{9\pi}{T}-\cfrac{5\omega}{2}\right) $$	0.25
4 Записано соотношение: $$L_Z=J_y\omega $$	0.25
5 Получена зависимость $\omega(t)$: $$\omega(t)=\cfrac{18\pi}{5T}+\left(\omega_2-\cfrac{18\pi}{5T}\right)e^{-\delta T}{,}\quad \delta=\cfrac{5\pi DB^2_0R^4}{3J_y\rho} $$	0.25
6 Для $\omega(t)$ получено: $$\omega(t)=\omega_2e^{-\delta t}{,}\quad \delta=\cfrac{5\pi DB^2_0R^4}{3J_y\rho} $$	0.15
7 Для $\omega(t)$ получено: $$\omega(t)=\omega_2e^{-kt}{,}\quad k{>}0 $$	0.10

C6 ^1.00 Найдите отношение периода орбитального движения $T$ к периоду вращения ступени ракеты $T_s$ в установившемся режиме, спустя очень большой промежуток времени.

1 Получен ответ:
$$\cfrac{T}{T_s(\infty)}=\cfrac{9}{5}=1{.}8
$$

1.00

2 PEP для данной задачи:

Правило 1. Совершаемые ошибки влияют на баллы только в утверждениях/формулах, в которых они встречаются.

Правило 2. Правило 1 не применяется, если имеется чёткое физическое объяснение, почему полученные ошибочные результаты не могут быть верными (например, угловая скорость стремится к бесконечности в $\mathrm{C5}$ или $\mu\sim\rho$ в $\mathrm{C1}$)

Специальное правило для $\mathrm{C6}$. Очки начисляются только за точный результат (никаких угрызений совести).

1 Из решения следует понимание, что производная магнитного поля связаны как с орбитальным движением ступени, так и с её вращением: $$\dot{\vec{B}}=\dot{\vec{B}}_\text{орб}+\dot{\vec{B}}_\text{вр} $$	0.10
2 Для компоненты $\dot{B}_{z(\text{вр})}$, связанной с вращением ступени, получено: $$\dot{B}_{z(\text{вр})}=0 $$	0.10
3 Для компоненты $\dot{B}_{y(\text{вр})}$, связанной с вращением ступени, получено: $$\dot{B}_{y(\text{вр})}=(-B_X(u)\cos\beta-B_Y(u)\sin\beta)\omega $$	0.10
4 Для компоненты $\dot{B}_{x(\text{вр})}$, связанной с вращением ступени, получено: $$\dot{B}_{x(\text{вр})}=(-B_X(u)\sin\beta+B_Y(u)\cos\beta)\omega $$	0.10
5 Для компоненты $\dot{B}_{z(\text{орб})}$, связанной с орбитальным движением ступени, получено: $$\dot{B}_{z(\text{вр})}=0 $$	0.10
6 Для компоненты $\dot{B}_{y(\text{орб})}$, связанной с орбитальным движением ступени, получено: $$\dot{B}_{y(\text{вр})}=\cfrac{2\pi}{T}(-B'_X(u)\sin\beta+B'_Y(u)\cos\beta) $$	0.10
7 Для компоненты $\dot{B}_{x(\text{орб})}$, связанной с орбитальным движением ступени, получено: $$\dot{B}_{x(\text{вр})}=\cfrac{2\pi}{T}(B'_X(u)\cos\beta+B'_Y(u)\sin\beta) $$	0.10
8 Для $\dot{B}_z$ получено: $$\dot{B}_z=0 $$	0.10
9 Для $\dot{B}_y$ получено: $$\dot{B}_y=(-B_X(u)\cos\beta-B_Y(u)\sin\beta)\omega+\cfrac{2\pi}{T}(-B'_X(u)\sin\beta+B'_Y(u)\cos\beta) $$	0.10
10 Для $\dot{B}_x$ получено: $$\dot{B}_x=(-B_X(u)\sin\beta+B_Y(u)\cos\beta)\omega+\cfrac{2\pi}{T}(B'_X(u)\cos\beta+B'_Y(u)\sin\beta) $$	0.10
11 Получены ответы для $M_X$ и $M_Y$ (по $0{.}1$ балла за каждое): $$M_X=0\qquad M_y=0 $$	2 × 0.10
12 Получен ответ для $M_Z$: $$M_Z=\cfrac{2\pi DB^2_0R^4}{3\rho}\left(\cfrac{3\pi}{T}(3-\cos 2u)-\cfrac{\omega}{2}(5-3\cos 2u)\right) $$	0.10

Космический мусор

Разбалловка