A1  ^0,20 Найдите проекции угловой скорости объекта $\vec\omega$ на оси $x$ и $y$, используя тот факт, что момент импульса записывается как $\vec L=J_x\omega_x\vec e_x+J_y\omega_y\vec e_y$, где $\vec e_x$ и $\vec e_y$ — единичные векторы осей $x$ и $y$. Ответ выразите через $L=|\vec L|$, угол $\theta$, и моменты инерции $J_x, J_y$.

A2  ^0,40 Найдите кинетическую энергию $E_x$ вращения ступени с угловой скоростью $\omega_x$. Найдите кинетическую энергию $E_y$ вращения ступени с угловой скоростью $\omega_y$. Найдите полную кинетическую энергию вращательного движения ступени $E=E_x+E_y$ как функцию ее момента импульса $L$ и $\cos \theta$.

A3  ^1,20 Пусть ось $x_0$ — начальное положение оси симметрии $C_x$ ступени относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Используя законы сохранения, найдите максимальный угол $\psi$, между осью симметрии $C_x$ ступени и её первоначальным направлением $x_0$ в течение свободного вращения объекта.
Примечание: Вектор момента импульса ступени сохраняется, так как на ступень не действуют никакие внешние моменты сил.

A4  ^2,00 Пусть даны значения $L,\theta(0)=\theta_0$ и моментов инерции $J_x,J_y$. Найдите как функции времени угловую скорость вращения $\Omega(t)$ системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$ вокруг оси $y_1$, а также направление и величину угловой скорости ступени $\vec \omega_s(t)$ относительно системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$. Ответ для направления $\vec \omega_s(t)$ приведите через угол $\gamma_s(t)$, который $\vec \omega_s(t)$ составляет с осью $C_x$.
Примечание: Вектор угловой скорости может быть представлен в виде суммы $\vec\omega=\vec\omega_x+\vec\omega_y=\vec\Omega+\vec\omega_s$.

B1  ^0,60 Считая известными начальные значения момента импульса $L$ и угла $\theta(0)=\theta_1\in(0,\pi/2)$, найдите значение $\theta_2$ угла $\theta$ в конце переходного процесса.

B2  ^0,60 Пусть в начальный момент времени угловая скорость $\omega(0)=\omega_1=1\mathcal~рад/с$ составляет угол $\gamma(0)=\gamma_1=30^{\circ}\mathrm C$ с осью симметрии ступени. Вычислите значение $\omega_2$ угловой скорости $\omega$ после прохождения переходного процесса. Моменты инерции ступени равны $J_x=4200~кг\cdot м^2$ и $J_y=15000~кг\cdot м^2$.

C1  ^1,00 Пренебрегая явлением самоиндукции, найдите магнитный момент $\vec \mu$ сферической оболочки. Приведите ответ для вектора $\vec \mu$ в виде проекций на оси $xyz$, показанных на Рисунке.

C2  ^0,30 Найдите момент сил $\vec M$, действующий на сферическую оболочку. Приведите ответ для вектора $\vec M$ в виде проекций на оси $xyz$, показанные на Рисунке.

C3  ^0,40 Магнитное поле Земли $\vec B_E$ можно считать полем точечного диполя, помещенного в центр Земли. Дипольный момент равен $\vec\mu_E$ и направлен противоположно оси $Y$. Величина магнитного поля $B$ в точке, где орбита ступени пересекает экваториальную плоскость $XZ$, равна $B_0=20\mu T$. Найдите магнитное поле $\vec B_E(u)$ в точке орбиты, характеризуемой углом $u$, как показано на Рис. Положительное направление отсчета угла $u$ совпадает с направлением движения по орбите. Ответ представьте в виде проекций $\vec B_E(u)$ на оси $XYZ$.
Примечание: Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\vec r$ можно записать как $$
\vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi}\left(\frac{3(\vec{\mu} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right).
$$

C4  ^1,30 Найдите момент сил $\vec M(u)$, действующих на ступень, которая вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости орбиты. Угловая скорость вращения ступени равна $\omega$, она коллинеарна оси $Z$. Ответ для $\vec M(u)$ приведите в виде проекций на оси $XYZ$.

C5  ^1,00 Считая изменение угловой скорости ступени за один период обращения по орбите пренебрежимо малым, найдите зависимость модуля угловой скорости $\omega(t)$ от времени.

C6  ^1,00 Найдите отношение периода орбитального движения $T$ к периоду вращения ступени ракеты $T_s$ в установившемся режиме, спустя очень большой промежуток времени.