На массивную подставку массы $M$ насажена невесомая ось. К оси на невесомой нити длины $R$ прикреплен груз массы $m$, который может вращаться в вертикальной плоскости, не задевая стойки. Коэффициент трения подставки о пол зависит от направления проскальзывания: $k_{1}=\mu$, $k_{2}=\infty$. В начальный момент времени грузу придают скорость $V_{0}$, направленную как указано на рисунке ниже. $V_{0}$ достаточно велико, так что груз совершает как минимум один оборот около оси.

В данной задаче вам будет предложено исследовать движение системы в течение первого оборота груза. Считайте, что подставка никогда не отрывается от пола и не переворачивается, и нить всегда натянута в процессе движения. Будем характеризовать положение груза углом $\varphi$ (см. рисунок ниже). Считайте, что $M\gg m$.

1  ^1.00 Считайте в этом пункте, что параметры задачи таковы, что подставка неподвижна. Напишите условие того, что изменение абсолютной величины скорости груза в процессе вращения гораздо меньше $V_{0}$.

Считайте в дальнейшем, что скорость подставки всегда гораздо меньше $V_{0}$, и что изменение абсолютной величины скорости груза во время первого оборота мало по сравнению с $V_{0}$.

2  ^2.00 Найдите минимальную начальную скорость $V_{0}^{\min}$, при которой будет проскальзывание подставки о пол в процессе вращения груза.

3  ^2.00

Для $V_{0} > V_{0}^{\min}$ определите: 

1. При каком угле $\varphi_{0}$ начнется проскальзывание; 
2. При каком угле $\psi$ скорость движения подставки $V$ будет максимальной.

4  ^2.00

1. Определите $V_{\max}$, соответствующее углу $\psi$ из предыдущего пункта;
2. Напишите условие для угла $\theta$, при котором произойдет остановка подставки.

5  ^3.00

Численные данные: 

$\mu=\frac{\pi}{2}-1\approx 0.57$, $g =10~м/с^{2}$, $M=10~кг$, $V_{0}= 10~м/с$, $R = 0.1~м$, $m = 0.057~кг$. 

1. Вычислите значения $\varphi_{0}$, $\psi$ и $\theta$. 
2. Вычислите $V_{\max}$. 
3. Вычислите для приведенных данных перемещение подставки за один оборот груза. 
4. В первом неисчезающем порядке по малым параметрам в задаче оцените изменение скорости груза в нижней точке траектории после первого оборота по сравнению с $V_{0}$.

Примечание:

В процессе решения задачи Вам могут понадобиться следующие формулы:

$$\cos \varphi+\mu\sin\varphi=\sqrt{1+\mu^{2}}\cos(\varphi-\alpha), \\ \cos\varphi-\mu\sin\varphi=\sqrt{1+\mu^{2}}\cos(\varphi+\alpha), \\ \text{ где } \alpha=\operatorname{arctg\mu}=\arccos(1/\sqrt{1+\mu^{2}})=\arcsin(1/\sqrt{1+\mu^{2}}). \\ \int \cos\varphi \,d\varphi=\sin \varphi, \int \sin\varphi \,d\varphi=-\cos\varphi.$$