1  ^1.00 Считайте в этом пункте, что параметры задачи таковы, что подставка неподвижна. Напишите условие того, что изменение абсолютной величины скорости груза в процессе вращения гораздо меньше $V_{0}$.

Из закона сохранения энергии следует, что скорость груза в верхней точке траектории будет равна:\[V=\sqrt{V_0^2-2Rg}.\]Условие $\Delta V=V_0-V\ll V_0$ принимает вид:

2  ^2.00 Найдите минимальную начальную скорость $V_{0}^{\min}$, при которой будет проскальзывание подставки о пол в процессе вращения груза.

Обозначим горизонтальную ось $x$, а вертикальную – $y$. Поскольку при отсутствии проскальзывания подставки груз движется по окружности, он действует на подставку с силой:\[N_{x}=\dfrac{mV_0^2}{R}\sin\varphi,\quad N_{y}=-\dfrac{mV_0^2}{R}\cos\varphi.\]Таким образом, условие начала проскальзывания принимает вид:\[\left[\dfrac{\dfrac{mV_0^2}{R}\sin\varphi}{\left(Mg+\dfrac{mV_0^2}{R}\cos\varphi\right)}\right]_{\max}=\mu \]Максимум этого выражения достигается в точке:\[\dfrac{mV_0^2}{R}\cos\varphi\left(\dfrac{mV_0^2}{R}\cos\varphi+Mg\right)=-\dfrac{mV_0^2}{R}\sin\varphi\dfrac{mV_0^2}{R}\sin\varphi\implies \cos\varphi=-\dfrac{mV_0^2}{MgR}\]Откуда:\[\dfrac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{MgR}{mV_0^2}\right)^2-1}}=\mu\implies{\left(\dfrac{MgR}{mV_0^2}\right)^2}=\dfrac{1+\mu^2}{\mu^2}\implies\]

3  ^2.00

Для $V_{0} > V_{0}^{\min}$ определите: 

1. При каком угле $\varphi_{0}$ начнется проскальзывание; 
2. При каком угле $\psi$ скорость движения подставки $V$ будет максимальной.

Угол, при котором начинается проскальзывание, определяется из уравнения:\[\dfrac{\dfrac{mV_0^2}{R}\sin\varphi}{\left(Mg+\dfrac{mV_0^2}{R}\cos\varphi\right)}=\mu \]Для удобства в дальнейшем будем использовать $\xi=\dfrac{mV_0^2}{MgR}$, тогда уравнение примет вид:\[\xi\sin\varphi=\mu(1+\xi\cos\varphi)\implies \sin\varphi-\mu\cos\varphi=\dfrac{\mu}{\xi}\implies \sin(\varphi-\operatorname{arctg}\mu)=\dfrac{\mu}{\xi\sqrt{1+\mu^2}}\]У этого уравнения есть два корня на отрезке $[0,2\pi]$. Меньший из этих корней отвечает за начало проскальзывания подставки, а больший – за точку достижения максимума скорости, поскольку после её прохождения знак действующей на подставку силы изменяется с $+$ на $-$. Таким образом:

4  ^2.00

1. Определите $V_{\max}$, соответствующее углу $\psi$ из предыдущего пункта;
2. Напишите условие для угла $\theta$, при котором произойдет остановка подставки.

Найдём зависимость скорости подставки от времени после её отрыва:\[M\,\mathrm dv=\left(\dfrac{mV_0^2}{R}\sin\varphi -\mu Mg-\mu \dfrac{mV_0^2}{R}\cos\varphi\right)\,\mathrm dt\]В результате интегрирования получим:\[v(\varphi)=-\dfrac{Rg}{V_0}\left(\mu(\varphi-\varphi_0)+\dfrac{mV_0^2}{MRg}(\cos\varphi+\mu\sin\varphi-\cos\varphi_0-\mu\sin\varphi_0)\right)\]Чтобы найти $V_{\max}$, подставим в это уравнение значения $\psi$ и $\varphi_0$. Отметим, что $\cos\varphi+\mu\sin\varphi=\sqrt{1+\mu^2}\cos(\varphi-\operatorname{arctg}\mu)$, поэтому при подстановке получим:\[V_{\max}=\dfrac{\mu Rg}{V_0}\left(2\sqrt{\left(\dfrac{mV_0^2\sqrt{1+\mu^2}}{\mu MgR}\right)^2-1}-\pi+2\arcsin\left(\dfrac{\mu MgR}{mV_0^2\sqrt{1+\mu^2}}\right)\right)\]

Условие для остановки платформы – это $v(\theta)=0$. Подставляя $\varphi_0$, получим:\[0=\theta-\varphi_0+\dfrac{mV_0^2\sqrt{1+\mu^2}}{\mu MRg}(\cos(\theta-\operatorname{arctg}\mu)-\cos(\varphi_0-\operatorname{arctg}\mu))\]

5  ^3.00

Численные данные: 

$\mu=\frac{\pi}{2}-1\approx 0.57$, $g =10~м/с^{2}$, $M=10~кг$, $V_{0}= 10~м/с$, $R = 0.1~м$, $m = 0.057~кг$. 

1. Вычислите значения $\varphi_{0}$, $\psi$ и $\theta$. 
2. Вычислите $V_{\max}$. 
3. Вычислите для приведенных данных перемещение подставки за один оборот груза. 
4. В первом неисчезающем порядке по малым параметрам в задаче оцените изменение скорости груза в нижней точке траектории после первого оборота по сравнению с $V_{0}$.

Подставим численные значения в результаты предыдущих пунктов:

Уравнение на $\theta$ не решается аналитически, однако решается численно. После подстановки численных значений получим:\[\theta+\cos\theta+0.57\sin\theta=2.1408\]Решение этого уравнения:\[\theta=3.136 рад=179.7^\circ\approx180^\circ\]

Изменение скорости груза за один оборот можно оценить, исходя из того факта, что кинетическая энергия груза уменьшится за счёт работы силы трения при движении подставки:\[mV_0\Delta V=\int F_{тр}v\,\mathrm dt=-\int\limits_{\varphi_0}^\theta \mu\left( Mg+\dfrac{mV_0^2}{R}\cos\varphi\right)\cdot\dfrac{Rg}{V_0}\left(\mu(\varphi-\varphi_0)+\dfrac{mV_0^2}{MRg}(\cos\varphi+\mu\sin\varphi-\cos\varphi_0-\mu\sin\varphi_0)\right)\dfrac{R\,\mathrm d\varphi}{V_0}.\]Чтобы не загромождать и так сложные выкладки, имеет смысл подставить числа сразу, чтобы осталось только интегрирование тригонометрических функций:\[\Delta V=-0.057~\dfrac{м}{с}\cdot\int\limits_{1.036}^{2.607}(1+0.57\cos\varphi)(\varphi+\cos\varphi+0.57\sin\varphi-2.036)\,\mathrm d\varphi=-2.9~мм/c\]

Поскольку $k_2=\infty$, перемещение подставки возможно только влево. Полное перемещение – это:\[\Delta=\int v\,\mathrm dt=\int\limits_{\varphi_0}^\theta \dfrac{Rg}{V_0}\left(\mu(\varphi-\varphi_0)+\dfrac{mV_0^2}{MRg}(\cos\varphi+\mu\sin\varphi-\cos\varphi_0-\mu\sin\varphi_0)\right)\dfrac{R\,\mathrm d\varphi}{V_0}\]Подставим числа:\[\Delta=0.57~мм\cdot\int\limits_{1.57}^{3.14}(\varphi+\cos\varphi+0.57\sin\varphi-2.1408)\,\mathrm d\varphi=52~мкм\]