Pho.rs: Аквариум на пружинах

Решение

1 ^?? Каким должно быть минимальное сжатие пружин, чтобы аквариум можно было наполнить водой плотностью $\rho$ до краёв? Во время заполнения аквариум считать неподвижным, а вода не просачивается в местах контакта стенки с аквариумом.

Метод 1:
Воспользуемся методом виртуальных перемещений для определения сил.
Для этого определим изменение потенциальной энергии равное работе силы тяжести. Представим, что жидкость переходит из верхнего слоя в образовавшееся пространство, тогда $A_g = -\Delta \Pi \leq -A_F$. Масса перешедшей жидкости $m = \rho a^2 \delta x$.
Для равнодействующей сил давления получаем:
\[ (2k\Delta x + k\Delta x) \delta x \geq (\rho a^2 \delta x)g \frac{a}{2} \Rightarrow k\Delta x \geq \frac{\rho g a^3}{6}\]
Для моментов сил давления относительно верхнего ребра получаем, что центр тяжести слоя жидкости опускается на $\frac{2a}{3}$:
\[ k\Delta x \delta x \geq \frac{\rho a^2 \delta x}{2}g \frac{2a}{3} \Rightarrow k\Delta x \geq \frac{\rho g a^3}{3}\]
Для моментов сил давления относительно нижнего ребра получаем, что центр тяжести слоя жидкости опускается на $\frac{a}{3}$:
\[2k\Delta x \delta x \geq \frac{\rho a^2 \delta x}{2}g \frac{a}{3} \Rightarrow k\Delta x \geq \frac{\rho g a^3}{12}\]

Метод 2:

В заполненном аквариуме на боковую стенку действует сила давления воды $ F_{P}=\frac{1}{2}\rho ga^{3}$. Для решения необходимо определить точку приложения этой силы. Поскольку по горизонтали давление воды на одном и том же уровне одинаково, очевидно, что эта точка будет находиться на срединной вертикали.
По вертикали давление распределяется линейно от нуля наверху до $\rho g a$ внизу.
Известно, что центр тяжести треугольника расположен в точке пересечения его медиан.
Используя аналогию распределения давления по вертикали в нашем случае с распределением по высоте массы полосок одинаковой ширины, на которые параллельно основанию мысленно разрезан равнобедренный треугольник, можно утверждать, что точка приложения силы находится на расстоянии $a/3$ от дна сосуда.

Метод 3:
Строгий математический рассчёт силы и моментов сил можно опровести с помощью интегрирования.
Определим давление как функцию $y$ - глубины от поверхности жидкости: $p(y) = \rho gy$.
Суммарная сила давления воды:
\[F_P = \int\limits_{0}^{a} p( y)a dy = \frac{\rho g a^3}{2}\]
Момент силы относительно верхней кромки:
\[M_{в} = \int\limits_{0}^{a} yp(y) ady = \frac{\rho g a^4}{3}\]
Момент силы относительно нижней кромки:
\[M_{н} = \int\limits_{0}^{a} (a - y)p( y) ady = \frac{\rho g a^4}{6}\]

Условия для отсутствия протечек можно записать в виде неравенств:

$3k\Delta x \ge \frac{\rho g a^3}{2}$ (условие на направление результирующей силы)
$k\Delta x\cdot a\ge \frac{\rho g a^4}{3}$ (отсутствие поворота вокруг верхнего ребра)
$2k\Delta x\cdot a\ge \frac{\rho g a^4}{6}$ (отсутствие поворота вокруг нижнего ребра)

Очевидно, неравенство $ k\Delta x\ge \frac{\rho g a^3}{3}$ наиболее жесткое.
Откуда

Ответ: $ \Delta x_{min}=\frac{\rho ga^{3}}{3k}$

2 ^?? Каким станет минимальное сжатие пружин, если их поменять местами?

Отметим, что, поскольку пружины сжимаются одинаково, суммарная сила, с которой они будут давить на стенку аквариума будет в 2 раза больше силы давления воды.
Если пружины в условии поменять местами, последние 2 условия примут вид:

$3k\Delta x \ge \frac{\rho g a^3}{2}$ (условие на направление результирующей силы)
$ 2k\Delta x\cdot a\ge \frac{1}{3}\rho g a^3$ (отсутствие поворота вокруг верхнего ребра)
$ k\Delta x\cdot a\ge \frac{1}{6}\rho g a^3$ (отсутствие поворота вокруг нижнего ребра)

Откуда $\Delta x_{min}=\frac{\rho ga^{3}}{6k}$. При этом суммарная сила, с которой пружины будут давить на стенку аквариума в точности совпадет с силой давления.

Ответ: $\Delta x_{min}=\frac{\rho ga^{3}}{6k}$