В тонкостенном цилиндрическом сосуде внутреннего радиуса $R$ под поршнем находится столб воды высотой $h_1$ при температуре $t_0= 0\ ^\circ \mathrm{C}$. Поршень и дно цилиндра теплоизолированные. Мощность тепловых потерь через боковые стенки пропорциональна площади контакта и разности температур содержимого сосуда и окружающей среды $N=\alpha\cdot S \Delta t$, где $\alpha$ известная константа. Цилиндр вертикально ставят в холодильник, начальная температура в котором равна $t_1 < 0\ ^\circ \mathrm{C}$. Далее температуру в холодильнике изменяют так, что поршень цилиндра перемещается с постоянной скоростью. Лёд, образующийся в цилиндре, не мешает свободному движению поршня. Лёд не всплывает над поверхностью воды, а упирается в поршень, будучи полностью погружённым в воду, время от времени отрываясь от стенок сосуда. Удельная теплота плавления льда $\lambda$, плотности воды $\rho_{в}$, плотность льда $\rho_{л}$.

1 Определите в какую сторону и с какой скоростью $v$ перемещается поршень.

2 Найдите до какого момента времени $\tau_{max}$ будет продолжаться такое движение.

3 Установите зависимость температуры $t$ в холодильнике от времени $\tau$ в промежутке времени [$0, \tau_{max}$]. Выразите её через $h_1, t_0, t_1, v, \tau$.

4 Найдите температуру в момент времени $\tau_{max}$. Выразите через $t_0, t_1, \rho_{в}, \rho_{л}$.