1  ^?? Определите в какую сторону и с какой скоростью $v$ перемещается поршень.

Пусть $N$ — мощность тепловых потерь. Благодаря ему за малое время $\Delta \tau$ кристаллизуется $\Delta m$ льда:
$$
N\Delta\tau=\Delta m\lambda
$$В жидком состоянии эта масса занимала объём $\Delta V_в$, а в твёрдом $\Delta V_л$:
$$
\Delta m = \rho_в\Delta V_в=\rho_л\Delta V_л
$$Следовательно, изменение объёма содержимого благодаря кристаллизации $\Delta m$ льда $\Delta V = \Delta V_л - \Delta V_в = \dfrac{\Delta m}{\rho_л}-\dfrac{\Delta m}{\rho_в} = \Delta m\dfrac{\rho_в-\rho_л}{\rho_в\rho_л}>0$. То есть поршень поднялся вверх. Мощность тепловых потерь через боковую поверхность цилиндра пропорциональна площади этой поверхности и разности температур воды и окружающей среды:
$$
N=\alpha\cdot h\cdot 2\pi R(t_0-t)
$$Скорость подъёма поршня
$$
v=\dfrac{\Delta h}{\Delta \tau}=\dfrac{\Delta V}{\pi R^2 \Delta \tau}=\dfrac{\Delta m(\rho_в-\rho_л)}{\Delta \tau\rho_в\rho_л\pi R^2} = \dfrac{N(\rho_в-\rho_л)}{\lambda\rho_в\rho_л\pi R^2}= \dfrac{2\alpha(\rho_в-\rho_л)}{\lambda\rho_в\rho_л R}\cdot h(t_0-t)
$$Так как скорость постоянна, используем выражение для неё в начальный момент времени $v=C\cdot h(t_0-t)=C\cdot h_1(t_0-t_1)$. Следовательно:

2  ^?? Найдите до какого момента времени $\tau_{max}$ будет продолжаться такое движение.

Равномерное движение поршня может продолжаться вплоть до кристаллизации всей воды. Максимальное изменение объёма системы
$$
\Delta V_0=\Delta m_0\dfrac{\rho_в-\rho_л}{\rho_в\rho_л}=\pi R^2h_1\dfrac{\rho_в-\rho_л}{\rho_л}
$$Искомая продолжительность процесса
$$
\tau_{max} = \dfrac{\Delta V_0}{\pi R^2 v} = \frac{\lambda \rho_в R}{2\alpha(t_0-t_1)}
$$

3  ^?? Установите зависимость температуры $t$ в холодильнике от времени $\tau$ в промежутке времени [$0, \tau_{max}$]. Выразите её через $h_1, t_0, t_1, v, \tau$.

Из условий $h(t_0-t)=h_1(t_0-t_1)$ и $h(\tau)=h_1+v\tau$ можно получить искомую зависимость

4  ^?? Найдите температуру в момент времени $\tau_{max}$. Выразите через $t_0, t_1, \rho_{в}, \rho_{л}$.

Подставим выражение для $\tau_{max}$ в закон изменения температуры и найдём её значение в конечный момент времени: