Pho.rs: Кремниевый фотоумножитель

A1 ^0.40

Для установившегося режима найдите:

напряжение $V_r$ на нагрузке $r$;
напряжение $V_0$ на каждой ячейке и паразитной емкости $C_0$;
напряжения $V_1$ на слоях гашения каждой ячейки.

A1. 1 Обоснование ответов.	0.10
A1. 2 Правильные ответы: $$V_r = 0$$$$V_0 = V_{op}$$$$V_1 = 0$$	3 × 0.10

A2 ^0.80

Найдите:

изменение заряда $\Delta{q}_0$ конденсатора $C_0$. Ответ выразите через $C_0$ и $\Delta{V}$;
изменения зарядов $\Delta{q}_{1a}$ и $\Delta{q}_{2a}$ конденсаторов $C_1$ и $C_2$ соответственно каждой из активных ячеек. Ответы выразите через $C_1$, $C_2$, $V_{ov}$ и $\Delta{V}$;
изменения зарядов $\Delta{q}_{1p}$ и $\Delta{q}_{2p}$ конденсаторов $C_1$ и $C_2$ соответственно каждой из пассивных ячеек. Ответы выразите через $C_{cell}$ и $\Delta{V}$.

A2. 1 Правильный ответ на изменение заряда на $C_0$. $$\Delta q_0 = C_0\Delta V$$	0.10
A2. 2 Правильные ответы для зарядов в активной ячейке: $$\Delta q_{1a} = C_1(V_{ov} + \Delta V)$$$$\Delta q_{2a} = -C_2 V_{ov}$$	2 × 0.25
A2. 3 Правильные ответы для зарядов в пассивной ячейке: $$\Delta q_{1p} = \Delta q_{2p} = C_{cell} \Delta V$$	2 × 0.10

A3 ^0.70 Найдите изменение напряжения $\Delta{V}$ на ячейках и конденсаторе $C_0$ по завершении лавинного процесса . Ответ выразите в общем виде через $V_{ov}$, $n$, $N$, $C_1$, $C_2$, $C_0$.

A3. 1 Верное уравнение, из которого можно получить $\Delta V$, например, закон сохранения заряда: $$n C_1(V_{ov} + \Delta V) + C_0\Delta V + (N-n)C_{cell} \Delta V = 0$$	0.40
A3. 2 Ответ, выраженный через требуемые величины: $$\Delta V = -\cfrac{ nC_1 V_{ov}}{nC_1 + C_0 + (N-n)\cfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}}$$	0.30

A4 ^0.60 Оцените амплитуду теплового шума на нагрузке $r=50~\text{Ом}$ при комнатной температуре, если полоса пропускания осциллографа составляет $1~\text{ГГц}=10^9~\text{Гц}$. Используя данные из условия задачи и полученную вами формулу из A3 найдите численное значение $\Delta{V}$ при попадании света на одну ячейку. Cделайте вывод о том, можно ли различить сигнал от одной ячейки на фоне теплового шума сопротивления нагрузки.

A4. 1 Посчитана амплитуда теплового шума: $$V_{noise} = 2.88\cdot10^{-5} \text{В}$$	0.10
A4. 2 M1 $\Delta V$ выражено через данные величины: $$\Delta V = -\cfrac{(k+1)(1-p)\cfrac{n}{N}V_{ov}}{1 + \cfrac{kn}{N}(1-p)}$$	0.20
A4. 3 M2 Верно посчитаны промежуточные значения: $$C_0 = 2\text{пФ}$$ $$C_1 = 2.16\cdot10^{-3}\text{пФ}$$ $$C_2 = 4.32\cdot10^{-4}\text{пФ}$$	0.20
A4. 4 Численное значение: $$\Delta V = -2.16\cdot10^{-4} \text{В}$$	0.10
A4. 5 Верный вывод: сигнал можно различить.	0.20

B1 ^0.80 Найдите коэффициент умножения $M$ для ТФУ с параметрами из условия задачи. Выразите ответ через $N$, $C_1$, $C_2$, $C_0$, $e$, $V_{ov}$ и приведите численное значение.

B1. 1 Верное выражение для $Q$ через $\Delta V$: $$Q = - C_0 \Delta V - (N - 1)C_{cell} \Delta V + C_2 V_{ov}$$	0.30
B1. 2 Верный ответ, выраженный через нужные величины: $$M =\left( \left(C_0 + (N-1)\cfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}\right)\cfrac{ C_1 V_{ov}}{C_1 + C_0 + (N-1)\cfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}} + C_2 V_{ov}\right)\cdot\cfrac{1}{e}$$	0.30
B1. 3 Численный ответ: $$M = 32.4\cdot10^3$$	0.20

C1 ^0.40 Рассмотрим импульс, регистрируемый осциллографом после попадания света на одну ячейку. Будем считать, что длительность импульса достаточно мала, чтобы пренебречь током, протекающим через сопротивление утечки $R$, но достаточно большое, чтобы лавинный процесс завершился, и все ключи $K_i$ разомкнуты. В этом приближении можно заменить цепь на эквивалентную последовательную $RLC$ цепь. Укажите ее параметры.

C1. 1 Сопротивление равно $r$.	0.15
C1. 2 Индуктивность равна $L$.	0.10
C1. 3 Ёмкость равна $C_{det}$.	0.15

C2 ^0.30 Оцените добротность полученной $RLC$ цепи. Возникнут ли в этой цепи колебания?

C2. 1 Добротность: $$Q = \cfrac{1}{R}\sqrt{\cfrac{L}{C}} = 0.14$$	0.20
C2. 2 Верный ответ на вопрос: колебания не возникнут.	0.10

C3 ^0.30 Качественно изобразите график зависимости напряжения на нагрузке от времени после попадания света на одну из ячеек. Первоначально схема находилась в установившемся режиме. Характерные значения указывать не обязательно.

C3. 1 Верный участок роста напряжения: верная выпуклость и конечный коэффициент наклона.	0.15
C3. 2 Верный участок уменьшения напряжения: нет колебаний, затухание по экспоненте.	0.15

C4 ^0.20 Сравните максимальное по модулю значение напряжения на нагрузке $|V_{max}|$ после попадания света на одну из ячеек и найденную ранее величину $|\Delta{V}|$ . Какая из этих величин больше? Обведите в листе ответов правильное соотношение.

C4. 1 $$|V_{max}| < |\Delta V|$$

0.20

D1 ^1.00 Найдите приближенную зависимость напряжения на слое гашения ячейки от времени после попадания света на нее (в первоначальных условиях установившегося режима). Воспользуйтесь тем, что в условиях данной задачи $\Delta{V}\ll{V_{ov}}$, $R\gg{r}$. Считайте, что прошло достаточно много времени, и напряжение на внешней нагрузке практически равно нулю. Выразите ответ через $V_{ov}$, $R$, $C_1$, $C_2$, $t$.

D1. 1 Верная эквивалентная RC-цепь.	0.50
D1. 2 Верный ответ:$$V_1 = V_{ov}\cdot e^{-\cfrac{t}{R(C_1 + C_2)}}$$	0.50

D2 ^0.50 Найдите изменение напряжения $\Delta{V}$ на конденсаторе $C_0$ при попадании света на одну ($n=1$) из невосстановленных ячеек, напряжение на слое гашения которой равнялось $V_1<V_{ov}$. Считайте, что до попадания света на эту ячейку напряжение на всех ячейках и паразитной емкости соответствовало установившемуся режиму. Выразите $\Delta{V}$ через $V_{ov}$, $V_1$, $N$, $C_1$, $C_2$, $C_0$.

D2. 1 Есть верные уравнения для нахождения $\Delta V$ или использована аналогия с частью А.	0.30
D2. 2 Верный ответ через требуемые величины: $$\Delta V = -\cfrac{ C_1( V_{ov} - V_1)}{C_1 + C_0 + (N-1)\cfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}}$$	0.20

E1 ^0.30 Пусть $p(t)$ — вероятность того, что в течение времени $t$ ячейка не сработала ни разу. Найдите $p(t + dt)$, выразите ответ через $p(t)$, $dt$, $T$. Считайте, что $dt \ll T$.

E1. 1 Верный ответ:
$$p(t+dt) = p(t) \cdot\left(1 - \cfrac{dt}{T}\right)$$

0.30

E2 ^0.20 Найдите вероятность того, ячейка не сработает ни разу в течение времени $t$. Ответ выразите через $t$, $T$.

E2. 1 Уравнение: $$\cfrac{dp}{p} = -\cfrac{dt}{T}$$	0.10
E2. 2 Верный ответ: $$p(t) = e^{-\cfrac{t}{T}}$$	0.10

E3 ^0.20 Пусть ячейка сработала в момент времени $t = 0$. Найдите вероятность того, что в следующий раз она сработает в интервал времен от $t$ до $t + dt$.

E3. 1 Верный ответ:
$$p(t, t+dt) = e^{-\cfrac{t}{T}} \cdot \cfrac{dt}{T}$$

0.20

E4 ^0.40 Найдите среднюю амплитуду импульсов фотоответа $\mu$. Считайте, что разные ячейки создают импульсы независимо друг от друга.

E4. 1 Верно записан интеграл для нахождения $\mu$: $$\mu = \int\limits_0^{+\infty} V(t)\cdot p(t) \cdot \cfrac{dt}{T} = \int\limits_0^{+\infty} \left(1 - e^{-\cfrac{t}{\tau}}\right)\cdot e^{-\cfrac{t}{T}} \cdot \cfrac{dt}{T}$$	0.20
E4. 2 Верный ответ: $$\mu = \cfrac{T}{T + \tau}$$	0.20

E5 ^0.60 Найдите среднеквадратичное отклонение амплитуды импульсов фотоответа $\sigma$. Ответ выразите через $\tau$ , $T$.

Указание: среднеквадратичное отклонение можно вычислить по формуле $\sigma=\sqrt{\mu(V^2)-\mu^2(V)}$, где $\mu(V^2)$ — среднее значение квадрата амплитуды, $\mu^2(V)$ — квадрат среднего значения амплитуды.

E5. 1 Верный интеграл для нахождения среднего квадрата амплитуды: $$\mu(V^2) = \int\limits_0^{+\infty} V^2(t)\cdot p(t) \cdot \cfrac{dt}{T} = \int\limits_0^{+\infty} \left(1 - e^{-\cfrac{t}{\tau}}\right)^2\cdot e^{-\cfrac{t}{T}} \cdot \cfrac{dt}{T}$$	0.20
E5. 2 Верное значение среднего квадрата амплитуды: $$\mu(V^2) = 1 - \cfrac{2}{\cfrac{T}{\tau}+1} + \cfrac{1}{\cfrac{2T}{\tau}+1}$$	0.20
E5. 3 Верный ответ: $$\sigma = \cfrac{T}{T+\tau}\cdot\sqrt{\cfrac{\tau}{2T + \tau}}$$	0.20

E6 ^0.30

Найдите $SNR$ амплитуд импульсов фотоответа под воздействием равномерной фоновой засветки в случаях:

$\tau=0$;
$\tau\gg{T}$;
$\tau=T$.

E6. 1 Верный ответы:
$$SNR(\tau = 0) = \infty$$
$$SNR(\tau \gg T) = 1$$
$$SNR(\tau = T) = \sqrt{3}$$

3 × 0.10

Кремниевый фотоумножитель

Разбалловка