1  ^?? Определите скорость перемещения поршня в начальный момент времени, сразу после включения нагревателя и теплообменника.

По условию поршень лёгкий и перемещается в сосуде без трения. Следовательно, в любой момент времени давление газа по обе стороны от поршня одинаково. Для объёмов отсеков $V_1$ и $V_2$ справедливо равенство $V_1 + V_2 = 2V_0$, где $V_0$ — начальный объём отсека. Рассмотрим процесс, происходящий с газом за малый промежуток времени $\Delta t$, и запишем первое начало термодинамики для каждого отсека:
$$\left\{\begin{array}{l}
q_1\Delta t=\frac32 \nu_1R\Delta T_1+p\Delta V, \\
-q_2\Delta t =\frac32 \nu_2R\Delta T_2-p\Delta V.\end{array}\right.$$Запишем для каждого отсека уравнение Менделеева-Клапейрона и выразим изменение температуры:
$$\left\{\begin{array}{l}
pV_1=\nu_1R T_1, \\
pV_2=\nu_2RT_2\end{array}\right. \qquad \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\nu_1R \Delta T_1=p\Delta V+V_1\Delta p, \\
\nu_2R\Delta T_2=-p\Delta V+V_2\Delta p. \end{array}\right.$$Отсюда получим, что
$$\left\{\begin{array}{l}
q_1\Delta t=\frac32 V_1\Delta p+\frac52 p\Delta V, \\
-q_2\Delta t =\frac32 V_2\Delta p-\frac52 p\Delta V.\end{array}\right.$$Сложим и вычтем друг из друга записанные выше уравнения:
$$\left\{\begin{array}{l}
(q_1-q_2)\Delta t=3 V_0\Delta p, \\
(q_1+q_2)\Delta t =\frac32 (V_1-V_2)\Delta p+5 p\Delta V.\end{array}\right. \qquad (*)$$Тогда для начального момента ($p = p_0$, $V_1 = V_2 = V_0$) получим $(q_1+q_2 )\Delta t=5p_0 \Delta V$. Отсюда, учитывая, что $\Delta V=Sv_0 \Delta t$, найдём начальную скорость поршня $v_0$:
$$v_0=\frac{q_1+q_2}{5p_0 S}.$$

2  ^?? Определите скорость перемещения поршня в момент времени, когда поршень делит объём цилиндра в отношении $2:1$, если модули мощностей $q_1$ и $q_2$ одинаковы и равны $q$.

Если $q_1 = q_2 = q$, то задача упрощается, и из первого уравнения в (*) находим, что
$p = p_0 = {\rm const}$. Из второго уравнения в (*) получим $2q\Delta t=5p_0 \Delta V$. Это означает, что скорость движения поршня постоянна и равна $v=2q/(5p_0 S)$.

3  ^?? Пусть в начальный момент времени поршень делит объём цилиндра в отношении $3:1$, а во втором (меньшем) отсеке вместо теплообменника установлен нагреватель мощности $q_2$. Определите отношение $q_2/q_1$, при котором поршень останется неподвижным.

Если отношение объёмов $V_1:V_2 = 3:1$, то $V_1=3V_0/2$, $V_2=V_0/2$. Поскольку поршень в этом пункте задачи неподвижен, объём обоих отсеков со временем не меняется. Перепишем уравнения (*), изменив знак у $q_2$ и учитывая, что в каждом отсеке происходит изохорный процесс ($\Delta V=0$):
$$\left\{\begin{array}{l}
(q_1+q_2)\Delta t =3V_0\Delta p,\\
(q_1-q_2)\Delta t=\frac32 V_0\Delta p.\end{array}\right. $$
Из полученных уравнений следует, что $$\frac{q_1+q_2}{q_1-q_2}=2 \qquad \Rightarrow\qquad \frac{q_2}{q_1} =\frac13.$$