Пьезоэлектрический эффект — это процесс появления электрических зарядов в твердых телах, если к ним приложено механическое напряжение (рис. 1(a)). Эффект обратимый. Это означает, что материалы, обладающие пьезоэлектрическим эффектом, также обладают обратным пьезоэлектрическим эффектом, т.е. под действием электрического поля появляются внутренние механические напряжения (рис. 1(b)).

Пьезоэлектрические материалы находят широкое применение в различных областях от промышленности до бытового применения: генерация и регистрация звука, генерация высокого напряжения, микровесы, сверхточная фокусировка оптических систем, зажигалки для сигарет, стартеры и кварцевые наручные часы.

Помимо упомянутого выше, пьезоэлектрические материалы также активно применяются в научных исследованиях. Ввиду того, что очень сильные электрические поля соответствуют совсем небольшим изменениям размеров пьезоэлектрических материалов, эти материалы стали наиболее важным средством позиционирования объектов с предельной точностью. На их основе созданы наиболее широко используемые приборы для изучения поверхностных явлений, такие, как сканирующий туннельный микроскоп (СТМ) и его разновидности. Нобелевская премия по физике 1986 года была присуждена Герду Биннингу и Генриху Рореру (Gerd Binnig и Heinrich Rohrer) за создание СТМ.

Другим достоинством пьезоэлектрических материалов является то, что они могут осуществлять взаимную трансформацию сигналов различного типа, таких, как механические, электрические и оптические. С помощью сверхнизких температур и современной электроники исследователи могут охладить механические моды до основного состояния и наблюдать квантование движения. Эксперимент по созданию такой квантовой машины, механического резонатора из нитрида алюминия, обладающего пьезоэлектрическими свойствами, был назван «Экспериментом 2010 года».

Известно много пьезоэлектрических материалов, как естественных, так и искусственных. К естественным материалам относятся кварц, кость и шелк. К искусственным материалам относятся керамики, полупроводники и полимеры. Пластинка из свинца, циркония и титана (${\rm Pb}[{ \rm Zr_x}\rm{Ti_{1-x}}]{\rm O_3}$), которую мы будем называть пьезопластинкой, является в настоящее время наиболее широко используемой пьезоэлектрической керамикой, которая проявляет сильные пьезоэлектрические свойства.

В этом эксперименте вы будете изучать свойства пьезопластинки и применения пьезоэффекта. Для конкретной пьезопластинки вы измерите ее пьезоэлектрический коэффициент с помощью резонансного метода и оцените ее температуру Кюри с применением линейной экстраполяции. Вы сделаете из пьезопластинки передатчик для генерации механических колебаний и звуковых волн в среде; вы сделаете из пьезопластинки датчик для регистрации силы звуковых волн. С помощью самодельных передатчика и датчика звука вы измерите скорости продольных и поперечных звуковых волн в алюминиевом бруске. Наконец, вы используете звуковые волны для резонансного детектирования искусственного дефекта в другом алюминиевом бруске.

Оборудование

1. Генератор сигналов
2. 5 пьезопластинок (две плоские поверхности каждой пластинки покрыты тонким слоем серебра)
3. Штангенциркуль
4. Электронные весы
5. Зажим Кельвина (зажим типа «крокодил» с плоскими концами, используется для подсоединения к пьезопластинке с двух сторон)
6. Провод BNC-крокодил*
7. Провод «банан-крокодил»*
8. Мультиметр
9. Водяная баня
10. Пластиковый пакет
11. Камень
12. Прищепка
13. Ластик
14. Рулетка
15. Пружина
16. Алюминиевый брусок в прозрачном корпусе из оргстекла
17. Черный ящик с алюминиевым бруском с дефектом

* — на крокодилы надеты резиновые колпачки, чтобы они не закорачивали стороны пьезопластинки при подключении к ней

Общие меры предосторожности

1. Перед тем, как отсоединить оборудование от сети, выключите его. Иначе вы можете повредить оборудование.
2. Не включайте водяной термостат, когда в нем нет воды. Будьте осторожны с горячей водой.
3. Не разливайте воду на электронные приборы, сетевые розетки и удлинители.
4. Не касайтесь оголенных проводов и не суйте пальцы в розетку.
5. Не пейте предоставленную для эксперимента воду и не используйте не по назначению ничего из того, что выдано для эксперимента.

Инструкции по работе с генератором сигналов

1. Подключите генератор к сети: воткните провод USB в блок питания и в генератор, нажмите кнопку включения на панели генератора.
2. На дисплее отображаются частота и тип волны (синус, прямоугольник или треугольник). В эксперименте необходимо использовать синусоидальный сигнал.
   
3. Амплитуда сигнала регулируется ручкой “AMPL”, частота — “ADJ”. Используйте клавиши “$\blacktriangleleft$” или “$\blacktriangleright$” для перемещения курсора по разрядам значения частоты.
   
4. Будьте аккуратны при работе с ручкой “OFFS”. С помощью этой ручки вы изменяете постоянную составляющую сигнала (смещение). Большая постоянная составляющая может вызвать искажение сигнала (на рисунке (а)). Вам рекомендуется прокалибровать постоянную составляющую перед использованием генератора сигналов: с помощью мультиметра измеряйте постоянное напряжение на выходе генератора и вращайте ручку “OFFS” до тех пор, пока постоянное напряжение не станет равным нулю.
   
5. Вам также не рекомендуется выкручивать ручку “AMPL” на максимум, чтобы избежать искажения сигнала (на рисунке (b)). Рекомендованная амплитуда сигнала на выходе — 3,0 В: с помощью мультиметра измеряйте переменное напряжение на выходе при частоте, например, 1 кГц, вращайте ручку “AMPL”, пока показания мультиметра не достигнут величины около 3,0 В.
   
6. Если Вы нажали кнопку по ошибке и не знаете, как вернуться назад, выключите и включите генератор, и последние настройки восстановятся.
   

Инструкции по работе с цифровым мультиметром

1. Гнезда “$\rm V\Omega$” и “${\rm COM}$” используются для измерения напряжения, сопротивления и ёмкости.
   
2. Гнезда “${\rm mA}$” и “${\rm COM}$” используются для измерения силы тока.
   
3. Используйте вращающийся переключатель для выбора необходимой функции и диапазона измерений.
   
4. Символом обозначен режим измерения ёмкости.
   
5. Для перехода между режимами переменного и постоянного тока используйте желтую кнопку.
   
6. Мультиметр переходит в спящий режим и очищает дисплей в случае, если он не используется более 20 минут. Поверните вращающийся переключатель в положение OFF и обратно, чтобы «разбудить» мультиметр.
   
7. Для калибровки выходного напряжения генератора сигналов с помощью мультиметра установите частоту сигнала, равную 1 кГц или ниже.
   

Инструкции по работе с водяным термостатом

1. Категорически запрещено включать термостат, если нагревательный элемент не покрыт водой.
   
2. В процессе работы термостата его корпус может стать горячим.
   
3. Недопустимо попадание воды на электронные приборы, сетевые розетки и удлинители.
   
4. Заполните термостат примерно наполовину водой. Подсоедините кабель питания и включите термостат.
   
5. Для установки требуемой температуры нажмите кнопку “Set”, и индикатор “Set” засветится. Используйте кнопки “$\wedge$“ и “$\vee$“ для увеличения (уменьшения) заданной температуры, которая указывается на дисплее. Нажмите снова кнопку “Set” для выхода из режима установки, индикатор “Set” погаснет, и вода в термостате автоматически начнет нагреваться. Если индикатор “Set” не горит, то на дисплее показываются фактические значения температуры.
   
6. При нагреве светится индикатор “Heat”. После достижения заданной температуры загорится индикатор “Keep” и нагрев прекратится.
   

Часть A. Простейшие измерения (3.0 балла)

В этом эксперименте требуется определить размеры, массу и электрическую емкость пьезопластинки, а затем рассчитать плотность $\rho$ и относительную диэлектрическую проницаемость $\varepsilon_r$ материала, из которого она изготовлена.

Выберите одну из предоставленных вам пьезопластинок. Эксперименты частей A, B и C выполняйте только с ней.

Расчёт погрешностей производите только в тех частях, где это явно сказано.

A1  ^1.60 Измерьте штангенциркулем длину $l$, ширину $w$, и толщину $t$ выбранной пьезопластинки. С помощью предоставленных электронных весов взвесьте эту пьезопластинку. Вставив пластинку в зажим Кельвина (6) измерьте мультиметром её электроемкость $C$.

Учитывая то, что размеры пластинки неодинаковы в разных точках, проведите несколько измерений, рассчитайте средние величины и их стандартные отклонения.

Внимание: Диэлектрическая проницаемость пьезопластинки зависит от температуры (что будет рассмотрено в Части С). Поэтому подразумевается, что измерения электроемкости необходимо производить при комнатной температуре, избегая нагрева пьезопластинки руками.

A2  ^1.40 Вычислите плотность $\rho$ и диэлектрическую проницаемость $\varepsilon_r$ пьезопластинки. Используя погрешности, найденные в пункте A1, рассчитайте погрешности величин $\rho$ и $\varepsilon_r$ (диэлектрическая постоянная $\varepsilon_0=8.85\cdot10^{-12}~Ф/м$).

Часть B. Резонансный метод измерения пьезоэлектрического коэффициента (4.5 балла)

Как было описано во введении, пьезопластинка деформируется под действием электрического поля. Коэффициент пропорциональности $d$ между возникающей в пьезопластинке относительной деформацией $S$ и напряженностью электрического поля $E$ называется пьезоэлектрическим коэффициентом: $d=S/E$.

В реальности пьезопластинка анизотропна и имеет выделенное направление электрической поляризации. Для создания такой поляризации пьезопластинку нагревают до температуры, выше так называемой температуры Кюри (используется в части С), затем создают сильное постоянное электрическое поле, направленное по оси $z$ (на рисунке выше), для того, чтобы ориентировать вдоль нее дипольные моменты молекул материала пьезопластинки. После этого пьезопластинку охлаждают ниже температуры Кюри и выключают электрическое поле, тем самым пьезопластинка остается поляризованной.

Верхняя и нижняя плоские поверхности пьезопластинки покрыты тонким слоев серебра (рисунок выше) и являются электродами. Когда на электроды подаётся напряжение, между ними возникает электрическое поле $E_3$, направленное вдоль оси $z$. Введём следующие определения:
\[ d_{31} = \frac{S_1}{E_3}, \quad d_{33} = \frac{S_3}{E_3},\]где $S_1 = \Delta l / l$ и $S_2 = \Delta t / t$ относительные деформации вдоль осей $x$ (1) и $z$ (3), соответственно. Для пьезоматериалов $d_{31}$ приблизительно равно половине $d_{33}$. При подаче напряжения $V$ на электроды пьезопластинки происходит изменение всех её размеров, но больше всего изменяется её длина $l$:
\[\Delta l = l d_{31} E_3 = \frac{l}{t} d_{31} V, \quad \Delta w = \frac{w}{t} d_{31} V, \quad \Delta t = td_{33} E_3 = d_{33} V = 2d_{33} V,\]

где $l/t \gg w/t \gg 2$. Поэтому можно считать, что пьезопластинка изменяет свои размеры только в одном направлении, а деформациями вдоль осей $y$ и $z$ можно пренебречь. В дальнейшем $d_{31}$ обозначим просто $d$.

B1  ^1.00 Для приведённой эквивалентной электрической схемы получите формулы для резонансной $f_r$ и антирезонансной $f_a$ частот.

Пьезоэлектрический коэффициент $d$ вычисляется по следующей формуле:
\[ d = \sqrt{\cfrac{\varepsilon_0 \varepsilon_r}{128 f_r^4l^2 \rho \left[\cfrac{1}{(2\pi f_a)^2 - (2 \pi f_r)^2} + \cfrac{1}{32f_r^2} \right]}}\]Перейдем к эксперименту для определения частот $f_r$ и $f_a$, который схематически показан на рисунке ниже. Амплитуду подаваемого переменного напряжения $V$ поддерживайте постоянной, чтобы модуль импеданса определялся силой тока в цепи.

B2  ^3.50 Измерьте зависимость силы тока $I$ через пьезопластинку как функцию частоты подаваемого напряжения $f$. Постройте график зависимости $I(f)$ и определите по нему резонансную $f_r$ и антирезонансную $f_a$ частоты. Исходя из этого, рассчитайте пьезоэлектрический коэффициент $d$.

Указания:

1. Соедините вмести генератор сигналов, мультиметр и пьезопластинку, как показано на рисунке выше. Обратите внимание на то, что пьезопластинка должна быть закреплена зажимом Кельвина посередине её длины.
2. Амплитуда напряжения на выходе генератора может слегка изменяться с частотой, даже при неизменном положении ручки “АMPL”.
3. Поскольку мультиметр не фиксирует сигналы с частотой выше $40~\text{кГц}$, проводите измерения на частотах до $40~\text{кГц}$.
4. Внимание: во время эксперимента пьезопластинка не должна ничего касаться кроме зажима. Не двигайте зажим по столу, так как это вызовет изменения в показаниях мультиметра.
5. Как уже было указано в части A1, измерения должны проводиться при комнатной температуре. Избегайте нагрева пьезопластинки руками.

Часть C. Температура Кюри пьезопластинки (4.0 балла)

У большинства диэлектриков диэлектрическая проницаемость не зависит от температуры. Однако, у свинцово-цинковой керамики, из которой изготовлена пьезопластинка, статическая относительная диэлектрическая проницаемость зависит от температуры по закону: 
\[\varepsilon_r=A+\frac{B}{T-T_c}, \quad \text{при} \quad T>T_c  .\]
Здесь $A$ и $B$ — константы, не зависящие от температуры. Эта зависимость называется законом Кюри-Вейса. Параметры $B$ и $T_c$ называются, соответственно, константой Кюри и температурой Кюри в честь Пьера Кюри.

При температуре Кюри происходит фазовый переход. Выше температуры Кюри вещество находится в параэлектрической фазе, в которой элементарные диполи кристаллических ячеек вещества ориентированы хаотично. Ниже температуры Кюри элементарные диполи взаимодействуют друг с другом, создавая внутреннее поле, ориентирующее диполи. В кристалле возникает спонтанная поляризация при отсутствующем внешнем поле. Диэлектрическая проницаемость ниже температуры Кюри описывается выражением:
\[\varepsilon_r=1+\frac{B}{2(T-T_c)}, \quad \text{при} \quad T < T_c.\]Из части A вам уже известно, что $\varepsilon_r\gg 1$, поэтому в выражении выше можно пренебречь единицей и считать, что:
\[\varepsilon_r=\frac{B}{2(T-T_c)}, \quad \text{при} \quad T < T_c.\]Таким образом ёмкость пьезопластинки, полученная в части A, изменяется с температурой. Так как температура Кюри пьезопластинки больше, чем температура кипения воды, мы оценим её при помощи линейной экстраполяции.

C1  ^1.50 Измерьте ёмкость пьезопластинки при различных температурах и заполните таблицу измерений.

Указания:

1. Соедините пьезопластинку с мультиметром проводом «банан-крокодил». Обращайте внимание на то, чтобы металлические половинки «крокодилов» касались разных сторон пьезопластинки. Не используйте зажим Кельвина, так как ABS пластик, из которого он сделан, размягчается при высокой температуре.
2. Поместите пьезопластинку в пластиковый пакет. Зажмите бельевой прищепкой провод и открытую сторону пакета. Внимание: одна сторона пакета уже открыта. Не рвите его. Новый вам не дадут.
3. Налейте воду в водяную баню. Опустите нижнюю часть пакета с пьезопластинкой в воду так, чтобы вода в пакет не попала. Чтобы пакет не всплывал, прижмите его камнем.
4. Включите водяную баню. Внимание: запрещается включать водяную баню без воды.
5. Внимание: будьте предельно осторожны с горячей водой. Помните, что вода при температуре выше $50^\circ\rm{C}$ может обжечь. Из соображений безопасности не выставляйте температуру бани выше $90^\circ\rm{C}$.
6. Записывайте значения ёмкости пьезопластинки, при повышении температуры в бане, а не наоборот.
7. По завершении измерений выключите водяную баню и вытащите шнур питания из розетки.
8. Подсказка: для ускорения эксперимента выставьте температуру бани $90^\circ\text{C}$, и измеряйте ёмкость пластинки при росте температуры.

C2  ^2.50 Проведите анализ полученных измерений, постройте график в подходящих координатах и определите по нему температуру Кюри.

Часть D. Измерение скорости звука в алюминии (6.5 балла)

В твёрдых телах звук может быть как поперечным, так и продольной волной. Движения частиц твёрдого тела, соответствующие этим волнам, показаны на рисунке ниже.

Продольные волны распространяются в твёрдых телах, жидкостях и газах, так как энергия переносится благодаря сжатиям и разрежениям среды.

В поперечных волнах смещение частиц среды перпендикулярно направлению распространения волны, поэтому поперечные волны не могут распространяться в жидкостях и газах.

В этой части вам предлагается измерить скорости продольных и поперечных волн в алюминиевом бруске. Начните с измерения скорости поперечных колебаний, а потом перейдите к продольным.

D1  ^0.60 Введём обозначения: $L$ — длина бруска, $u$ — скорость волны.

Напишите выражения для частот $f_n$ стоячих (резонансных) волн, расположенных вдоль длинной стороны бруска при его незакреплённых концах. Выразите скорость $u$ через $f_n$.

D2  ^1.60

Измерьте рулеткой длину $L$ алюминиевого бруска. Повторите измерения несколько раз, найдите среднюю длину и стандартное отклонение. Изменяя частоту звуковых волн, издаваемых первой пластинкой, найдите резонансные пики тока, протекающего через вторую пластинку. Постройте спектр резонансных частот по аналогии с графиком на рисунке.

Указания:

1. Следуя пунктам (2-4), соберите экспериментальную установку, показанную на рисунке выше. Обратите внимание, что корпус из оргстекла специально сконструирован для выполнения этого эксперимента.
2. Поместите алюминиевый брусок в корпус и с одного конца прижмите к нему две пьезопластинки ластиком. Пластинки не должны касаться друг друга.
3. Расположите с другой стороны бруска пружину, чтобы она прижимала брусок к пластинкам, и он не отходил от них.
4. Подключите одну пластинку к генератору, а вторую — к мультиметру. Обращайте внимание на то, чтобы металлические половинки «крокодилов» касались разных сторон пьезопластинки.
5. Помните, что пьезопластинки очень хрупкие, и новые вам не дадут!
6. Используйте диапазон частот от $0$ до $40~кГц$.

D3  ^1.40 Найдите резонансные пики силы тока для поперечных стоячих волн. Определите скорость поперечных волн в алюминии. Рассчитайте погрешности.

Внимание: вы можете получить пики, которые не имеют отношения к поперечным волнам, из-за несовершенства установки (например, неидеальности граничных условий). Вам нужно понять, какие пики не относятся к поперечным стоячим волнам при анализе результатов.

Если прижать пьезопластинки к бруску другим образом, можно измерить скорость продольных колебаний. Расположите пластинки относительно бруска так, как показано на рисунке. Колебания вдоль длинной стороны пьезопластинки будут передаваться бруску, генерируя его продольные колебания

В части B упоминалось, что, хотя колебания пьезопластинки происходят преимущественно вдоль её длинной стороны, пластинка колеблется также и вдоль других направлений. Эти колебания могут передаваться бруску и приводить к появлению дополнительных резонансных пиков в спектре. Обратите внимание, что колебания вдоль других направлений будут возбуждать только поперечные волны. Таким образом, дополнительные резонансные пики не будут совпадать с резонансными пиками от продольных стоячих волн.

D4  ^1.50 Изменяя частоту звуковых волн, возбуждаемых первой пластинкой, найдите резонансные пики тока, протекающего через вторую пластинку. Постройте спектр резонансных частот.

Указания:

1. Следуя пунктам 2-5 ниже, соберите экспериментальную установку, показанную на рисунке выше. Обратите внимание, что корпус из оргстекла специально сконструирован для выполнения этого эксперимента.
   
2. Расположите две пьезопластинки в щелях корпуса.
   
3. Прижмите ластиком пластинки к алюминиевому бруску.
   
4. Поместите в противоположный конец держателя пружину, чтобы брусок не отходил от пластинок.
   
5. Подсоедините одну пьезопластинку к генератору, а другую — к мультиметру. Обращайте внимание на то, чтобы металлические половинки «крокодилов» касались разных сторон пьезопластинки.
   
6. Правильное соприкосновение бруска и пьезопластинок предельно важно. Убедитесь, что пластинки соприкасаются с бруском всей стороной, а не в одной точке или частично.
   
7. Если вы получаете слишком много резонансных пиков, вы можете уменьшить амплитуду генератора и/или слегка ослабить прижатие пьезопластинок к бруску, чтобы уменьшить генерацию поперечных волн. Также вы можете убрать пружину, если контакт между бруском и пластинками достаточно хорош и без неё.
   
8. Используйте диапазон частот от $0$ до $40~кГц$.
   

D5  ^1.40 Сравнив полученный спектр со спектром из пункта D2, определите резонансные пики от поперечных волн. Отметьте резонансные пики, соответствующие продольным волнам, и найдите их скорость. Рассчитайте погрешности.

Часть E. Определение дефекта в алюминиевом бруске (2.0 балла)

После того, как вы определили скорость продольных волн в части D, вам предлагается определить местоположение искусственно созданного дефекта (глубокого плоского надпила) во втором алюминиевом бруске, расположенном в чёрном ящике.

Звуковые волны активно используются для обнаружения скрытых трещин, полостей и других внутренних неоднородностей в металлах, композитных материалах, пластиках и керамике. Промышленное ультразвуковое тестирование проводится путём подачи короткого импульса частотой в несколько мегагерц и амплитудой в несколько сотен вольт на пьезоэлемент, который преобразует его в ультразвуковые колебания образца, и анализа усиленного полученного от него сигнала на предмет отражения от неоднородностей. Этот метод слишком сложен для нашей установки. Вместо этого в качестве демонстрации, мы воспользуемся уже знакомым методом резонанса для определения местоположения глубокого плоского надпила в бруске. В отличие от части D звуковые волны будут отражаться от места надпила, а не от дальнего конца бруска. Таким образом, расположение резонансных пиков на спектре будет отличаться от спектра из части D, что позволит определить местоположение надпила.

Используйте для этой части продольные стоячие волны.

E1  ^1.20 Изменяя частоту звуковых волн, создаваемых первой пластинкой, найдите резонансные пики тока, протекающего через вторую пластинку. Постройте спектр резонансных частот.

E2  ^0.80 На построенном графике отметьте резонансные пики, соответствующие продольным стоячим волнам, и найдите расстояние от надпила до края бруска, к которому прижимаются пьезопластинки.