A1  ^1.50 Поскольку без участка цепи между узлами $A$ и $B$ электрическая цепь состоит целиком из источников постоянного напряжения и резисторов — зависимость силы тока $I_{AB}$, текущего от узла $A$ к узлу $B$, от напряжения $U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B$ на данном участке цепи можно представить в виде, не зависящем от элемента, включенного между узлами $A$ и $B$:
$$I_{AB}=\cfrac{\mathcal{E}_0-U_{AB}}{r_0}{.}
$$
Определите $\mathcal{E}_0$ и $r_0$. Ответы выразите через $\mathcal{E}$ и $R$.

A1. 1 Идея рассмотреть $U_{AB}$ при нулевом токе	0.20
A1. 2 Правильная эквивалентная схема для вычисления $r_0$ или для вычисления тока короткого замыкания	0.30
A1. 3 Записан полный набор уравнений, позволяющий определить показания вольтметра.	0.20
A1. 4 Корректный метод вычисления $r_0$, либо записан полный набор уравнений, позволяющий определить показания амперметра.	0.40
A1. 5 $\mathcal{E}_0 = \dfrac{2}{5}\mathcal{E}$	0.20
A1. 6 $r_0 = 4R$	0.20

A2  ^0.50 Получите зависимость силы тока $I_{AB}$ от величины $\mathcal{E}$. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $R$, $U_0$ и $I_0$.

A2. 1 $$I_{AB} = \frac{2 \mathcal{E} I_0}{5 (U_0 + 5R I_0)}, \quad \mathcal{E} \le \frac{5}{2} \left(U_0 + 5 R I_0 \right)$$ (в этом пункте явно указывать ограничение на $\mathcal{E}$ не требуется)	0.25
A2. 2 $$I = I_0, \quad \mathcal{E} > \dfrac{5}{2} \left(U_0 + 5 R I_0 \right)$$ (засчитывается только если указано ограничение на $\mathcal{E}$)	0.25

A3  ^0.50 Получите зависимость мощности $P_\text{н.э}$, выделяемой на нелинейном элементе, от величины $\mathcal{E}$. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $R$, $U_0$ и $I_0$.

A3. 1 Использовано соотношение $P_{\text{н.э.}} = U_{\text{н.э.}} I_{AB}$	0.10
A3. 2 $$P_{\text{н.э.}} = U_0 I_0 \cfrac{4 \mathcal{E}^2}{25 (U_0 + 5 R I_0)^2}, \quad \mathcal{E} \le \frac{5}{2} \left(U_0 +5 R I_0 \right)$$	0.20
A3. 3 $$P_{н.э.} = I_0 \left( \frac{2}{5} \mathcal{E} - 5 I_0 R\right), \quad \mathcal{E} > \frac{5}{2} \left(U_0 + 5 R I_0 \right)$$	0.20

A4  ^0.50 Постройте качественный график зависимости $P_\text{н.э}(\mathcal{E})$. Укажите на графике все характерные точки и укажите соответствующие им значения.

A4. 1 Парабола при низких напряжениях.	0.10
A4. 2 Линейная зависимость при больших напряжениях.	0.10
A4. 3 Координаты точки излома $\mathcal{E} = \dfrac{5}{2}(U_0 + 5 R I_0)$, $P_{\text{н.э.}} = I_0 U_0$	2 × 0.05
A4. 4 Из графика возможно определить угловой коэффициент линейного участка.	0.10
A4. 5 Подписаны оси	0.10

B1  ^0.80 Получите зависимость силы тока $I_C(t)$ через конденсатор от времени $t$. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $R$, $U_0$, $I_0$, $C$ и $t$.

B1. 1 Обоснована линейная зависимость тока от напряжения на нелинейном элементе	0.20
B1. 2 Уравнение для $I_C$ или эквивалентное ему	0.20
B1. 3 Правильный вид зависимости $I_C$ (затухающая экспонента)	0.20
B1. 4 Правильная зависимость $$ I_C = \frac{\mathcal{E}}{R + U_0/I_0} e^{- \frac{t}{C(R + U_0/I_0)}} $$	0.20
B1. 5 Зависимость, использующая равенство $U_0=I_0R$: $$ I_C = \frac{\mathcal{E}}{2R} e^{- \frac{t}{2RC}} $$	0.10

B2  ^0.60 Какое количество теплоты $Q_\text{н.э}$ выделится на нелинейном элементе за время установления постоянного тока? Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $R$, $U_0$, $I_0$ и $C$. Найдите численное значение.

B2. 1 Закон сохранения энергии для разрядки конденсатора или корректно записанный интеграл от мощности	0.30
B2. 2 $$Q_{\text{н.э.}} = \frac{U_0}{U_0 + R I_0} \frac{C \mathcal{E}^2}{2} $$	0.20
B2. 3 Получен ответ, использующий равенство $U_0=I_0R$: $$Q=\cfrac{C\mathcal{E}^2}{4} $$	0.10
B2. 4 $$Q = 0{.}9~мДж $$	0.10

B3  ^0.60 Через какое время $\tau$ количество теплоты, выделившееся на нелинейном элементе, достигнет $80\%$ от величины $Q_\text{н.э}$? Ответ выразите через $R$, $U_0$, $I_0$, и $C$. Найдите численное значение.

B3. 1 Найдена зависимость выделившегося тепла от времени или заряда конденсатора	0.30
B3. 2 $$ t = \frac{\ln 5}{2} C \left(R + \frac{U_0}{I_0}\right) $$	0.20
B3. 3 Ответ, использующий равенство $U_0=I_0R$: $$t=\cfrac{\ln{5}}{2}\cdot 2RC $$	0.10
B3. 4 $$ t = 0.0804~с $$	0.10

B4  ^1.50 Получите зависимость силы тока $I_C(t)$ через конденсатор от времени $t$. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $R$, $U_0$, $I_0$, $C$ и $t$.

B4. 1 Обосновано, что в начальный момент времени $I_C = I_0$	0.30
B4. 2 Найдено $U_{н.э.} (t)$ в диапазоне времен, для которых $I_C = I_0$	0.30
B4. 3 Найдено время $t_1= C(\mathcal{E} - U_0 - R I_0 )/I_0$, через которое сила тока начнет уменьшаться	0.30
B4. 4 С учётом равенства $U_0=I_0R$ найдено время $t=C(\mathcal{E}-2U_0)/I_0$, через которое сила тока начнёт уменьшаться.	0.20
B4. 5 Правильный вид зависимости $I_C(t)$ при $t \ge t_1$	0.30
B4. 6 $$I_C = I_0 \exp\left(- \dfrac{t- C(\mathcal{E}-U_0 - R I_0)/I_0}{C(R + U_0/I_0)}\right), \quad t >\frac{C}{I_0} (\mathcal{E} -U_0- R I_0 )$$	0.30
B4. 7 С учётом равенства $U_0=I_0R$ получен ответ: $$I_C=I_0\exp\left(-\cfrac{t-C(\mathcal{E}-2U_0)/I_0}{2RC}\right){,}\quad t>C(\mathcal{E}-2U_0)/I_0 $$	0.20

B5  ^1.50 Какое количество теплоты $Q_\text{н.э}$ выделится на нелинейном элементе за время установления постоянного тока? Найдите численное значения с точностью не меньше $1\%$.

B5. 1 M1 Выражение для мощности на нелинейном элементе на участке с $I = I_0$	0.20
B5. 2 M1 Мощность на участке с $I = I_0$ корректно проинтегрирована	0.20
B5. 3 M1 $$ Q_1 = \frac{C}{2} \left( (\mathcal{E} - I_0 R)^2 - U_0^2\right) = 1.2~мДж $$ (окончательная формула через исходные данные или численное значение)	0.20
B5. 4 M1 Выражение для мощности на участке, где ток через нелинейный элемент затухает	0.20
B5. 5 M1 Мощность на участке с затухающим током корректно проинтегрирована	0.20
B5. 6 M1 $$ Q_2 = \frac{1}{2} U_0 I_0 C (R + U_0/I_0) = 2.5~мДж $$ (окончательная формула через исходные данные или численное значение)	0.20
B5. 7 M2 Корректно записан закон сохранения энергии для участка, для которого $I = I_0$	0.30
B5. 8 M2 Получено выражение или численное значение $Q_1$	0.30
B5. 9 M2 Корректно записан закон сохранения энергии для участка, когда ток уменьшается	0.30
B5. 10 M2 Получено выражение или численное значение $Q_2$	0.30
B5. 11 M3 Количество теплоты $Q_\text{н.э}$ равно площади под графиком $U_\text{н.э}(q)$.	0.20
B5. 12 M3 Указано, что зависимость $U_\text{н.э}(q)$ имеет два линейных участка.	0.20
B5. 13 M3 Начальное напряжение на нелинейном элементе составляет $7U_0/5$.	0.20
B5. 14 M3 К моменту перехода нелинейного элемента в режим резистора через него протекает заряд $q=2CU_0/5$.	0.20
B5. 15 M3 Получено выражение или численное значение $Q_1$.	0.20
B5. 16 M3 Получено выражение или численное значение $Q_2$.	0.20
B5. 17 M4 Записано выражение для $Q_\text{н.э}$: $$Q_\text{н.э}=\cfrac{C\mathcal{E}^2}{2}-Q_R $$	0.20
B5. 18 M4 Указано, что количество теплоты $Q_R$ равно площади под графиком $U_R(q)$.	0.20
B5. 19 M4 Указано, что зависимость $U_R(q)$ имеет два линейных участка.	0.20
B5. 20 M4 К моменту перехода нелинейного элемента в режим резистора через него протекает заряд $q=2CU_0/5$.	0.20
B5. 21 M4 Получено выражение или численное значение $Q_{R1}$.	0.20
B5. 22 M4 Получено выражение или численное значение $Q_{R2}$.	0.20
B5. 23 $$ Q = 3.7~мДж $$	0.30