В данной задаче изучаются электрические цепи, содержащие нелинейный элемент, вольтамперная характеристике которой приведена на рис.1.

Вольтамперная характеристика нелинейного элемента описывается двумя участками:

1. $I=I_0\cdot(U/U_0)$ при $U\leq U_0$, где $I_0=10~\text{мА}$ и $U_0=5~\text{В}$. 
2. $I=I_0=const$ при $U\geq U_0$. 

Часть A. Цепь постоянного тока (3.0 балла)

A1  ^1.50 Поскольку без участка цепи между узлами $A$ и $B$ электрическая цепь состоит целиком из источников постоянного напряжения и резисторов — зависимость силы тока $I_{AB}$, текущего от узла $A$ к узлу $B$, от напряжения $U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B$ на данном участке цепи можно представить в виде, не зависящем от элемента, включенного между узлами $A$ и $B$:
$$I_{AB}=\cfrac{\mathcal{E}_0-U_{AB}}{r_0}{.}
$$
Определите $\mathcal{E}_0$ и $r_0$. Ответы выразите через $\mathcal{E}$ и $R$.

A2  ^0.50 Получите зависимость силы тока $I_{AB}$ от величины $\mathcal{E}$. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $R$, $U_0$ и $I_0$.

A3  ^0.50 Получите зависимость мощности $P_\text{н.э}$, выделяемой на нелинейном элементе, от величины $\mathcal{E}$. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $R$, $U_0$ и $I_0$.

A4  ^0.50 Постройте качественный график зависимости $P_\text{н.э}(\mathcal{E})$. Укажите на графике все характерные точки и укажите соответствующие им значения.

Часть B. Электрическая цепь, содержащая конденсатор (5.0 балла)

Пусть ЭДС источника равна $\mathcal{E} = 6~\text{В}$.

B1  ^0.80 Получите зависимость силы тока $I_C(t)$ через конденсатор от времени $t$. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $R$, $U_0$, $I_0$, $C$ и $t$.

B2  ^0.60 Какое количество теплоты $Q_\text{н.э}$ выделится на нелинейном элементе за время установления постоянного тока? Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $R$, $U_0$, $I_0$ и $C$. Найдите численное значение.

B3  ^0.60 Через какое время $\tau$ количество теплоты, выделившееся на нелинейном элементе, достигнет $80\%$ от величины $Q_\text{н.э}$? Ответ выразите через $R$, $U_0$, $I_0$, и $C$. Найдите численное значение.

Теперь ЭДС источника равна $\mathcal{E} =12~\text{В}$.

B4  ^1.50 Получите зависимость силы тока $I_C(t)$ через конденсатор от времени $t$. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $R$, $U_0$, $I_0$, $C$ и $t$.

B5  ^1.50 Какое количество теплоты $Q_\text{н.э}$ выделится на нелинейном элементе за время установления постоянного тока? Найдите численное значения с точностью не меньше $1\%$.