A1  ^1.50 Поскольку без участка цепи между узлами $A$ и $B$ электрическая цепь состоит целиком из источников постоянного напряжения и резисторов – зависимость силы тока $I_{AB}$, текущего от узла $A$ к узлу $B$, от напряжения $U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B$ на данном участке цепи можно представить в виде, не зависящем от элемента, включенного между узлами $A$ и $B$: $$I_{AB}=\cfrac{\mathcal{E}_0-U_{AB}}{r_0}{.} $$ Определите $\mathcal{E}_0$ и $r_0$. Ответы выразите через $\mathcal{E}$ и $R$.

Если между узлами $A$ и $B$ подключить идеальный вольтметр, напряжение на нем $$ U_V = \mathcal{E}\left( \frac{6R}{6R + 4 R} - \frac{2 R}{2 R + 8 R}\right) = \frac{2}{5} \mathcal{E} = \mathcal{E}_0. $$ Если напряжение на источнике равно нулю, его можно заменить на провод с нулевым сопротивлением. Тогда схема между выводами $A$ и $B$ будет представлять собой две пары параллельно соединенных резисторов, $(2R,\, 8R)$ и $(6R,\, 4R)$, соединенных последовательно, а значит сопротивление $$ r_0 = R_{AB} = \frac{2R \cdot 8R}{2 R + 8 R} + \frac{6R \cdot 4R}{6R + 4 R} = 4R. $$ Тогда зависимость напряжения от силы тока будет иметь вид $$ U_{AB} = \mathcal{E}_0 - I_{AB} r_0, $$ откуда $$ I_{AB} = \frac{\mathcal{E}_0 - U_{AB}}{r_0}. $$ Альтернативно можно вычислить ток короткого замыкания $I_c = \mathcal{E}_0/r_0$, который будет течь через идеальный амперметр, подключенный между выводами $A$ и $B$. При таком подключении общее сопротивление цепи, к которой подключен источник $\mathcal{E}$, равно $$ r_1 = \frac{2 R \cdot 6 R}{2 R + 6 R} + \frac{8 R \cdot 4 R}{8R + 4 R} = \frac{25}{6} R. $$ Тогда полный ток через источник $\mathcal{E}$ $I_\mathcal{E} = 6\mathcal{E}/25 R$, а токи через резисторы $2R$ и $8 R$ будут равны соответственно: $$ I_1 = \frac{3}{4} I_\mathcal{E} = \frac{9\mathcal{E}}{50 R}, \quad I_2 = \frac{1}{3} I_\mathcal{E} = \frac{2\mathcal{E}}{25 R}. $$ Тогда ток короткого замыкания $$ I_c = I_{AB} = I_1 - I_2 = \frac{\mathcal{E}}{10 R}. $$ Отсюда получаем прежнее значение сопротивления $$ r_0 = \mathcal{E}_0/I_c = 4 R. $$

A2  ^0.50 Получите зависимость силы тока $I_{AB}$ от величины $\mathcal{E}$. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $R$, $U_0$ и $I_0$.

Предположим, что напряжение на нелинейном элементе меньше $U_0$, тогда это напряжение можно найти из уравнения $$ (r_0 + R) I_{AB} = \mathcal{E}_0 - U_{AB}, \quad (r_0 + R) I_0 \frac{U_{AB}}{U_0} = \mathcal{E}_0 - U_{AB}, $$ откуда $$ U_{AB} = \frac{\mathcal{E}_0 U_0}{U_0 + (r_0 + R) I_0}, \quad \mathcal{E}_0 \le U_0 + (r_0 +R) I_0. $$ Соответствующее значение тока $$ I_{AB} = \frac{\mathcal{E}_0 I_0}{U_0 + 5 R I_0}, \quad \mathcal{E}_0 \le U_0 + 5R I_0. $$ При дальнейшем увеличении напряжения источника напряжение на нелинейном элементе станет больше $U_0$, а ток через него будет равен $I_0$. Напряжение на нелинейном элементе $U_{AB} = \mathcal{E}_0 - I_0 r_0$. Подставляя выражения для $\mathcal{E}_0$ и $r_0$, получим ответ.

A3  ^0.50 Получите зависимость мощности $P_\text{н.э}$, выделяемой на нелинейном элементе, от величины $\mathcal{E}$. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $R$, $U_0$ и $I_0$.

Мощность на нелинейном элементе $P_{\text{н.э.}} = U_{н.э.} I_{AB}$. Используя результаты предыдущего пункта, получим ответ.

A4  ^0.50 Постройте качественный график зависимости $P_\text{н.э}(\mathcal{E})$. Укажите на графике все характерные точки и укажите соответствующие им значения.

При малых напряжениях график – парабола с вершиной в начале координат, при $\mathcal{E} \le \frac{5}{2} \left(U_0 + 4 R I_0 \right)$ – прямая. В точке, в которой происходит переход от квадратичной зависимости к линейной $\mathcal{E} = U_0 + 4 R I_0$, $P_{\text{н.э.}} = I_0 U_0$.

B1  ^0.80 Получите зависимость силы тока $I_C(t)$ через конденсатор от времени $t$. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $R$, $U_0$, $I_0$, $C$ и $t$.

Если напряжение на нелинейном элементе меньше $U_0$, он ведет себя как резистор с сопротивлением $r_0 = U_0/I_0 = 500~Ом = R$. Поэтому в этом случае напряжение на нелинейном элементе должно быть равно напряжению на резисторе. Тогда начальное напряжение на нелинейном элементе равно $\mathcal{E}/2 = 3~В< U_0$, поэтому мы везде можем пользоваться линейной зависимостью тока от напряжения. Тогда заряд конденсатора и ток через него связаны соотношением (которое получается из уравнения Кирхгофа) $$ I (R + r_0) + qC = \mathcal{E}. $$ Продифференцировав его по времени и учитывая, что $\dot{q} = I$, получим $$ \dot{I} = -\frac{I}{C (R + r_0)}, \quad I(t) = I(0) e^{- \frac{t}{C(R + r_0)}}. $$ В начальный момент времени конденсатор не заряжен, поэтому $I(0) = \mathcal{E}/(R + r_0)$. Тогда ток через конденсатор

B2  ^0.60 Какое количество теплоты $Q_\text{н.э}$ выделится на нелинейном элементе за время установления постоянного тока? Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $R$, $U_0$, $I_0$ и $C$. Найдите численное значение.

При зарядке конденсатора через источник проходит заряд $q = C\mathcal{E}$, и он совершает работу $A_{ист} = q \mathcal{E} = C \mathcal{E}^2$. Эта работа идет на увеличение энергии конденсатора и на выделившееся тепло: $$ A_{ист} = \frac{C \mathcal{E}^2}{2} + Q, $$ поэтому в цепи выделяется тепло $Q = C \mathcal{E}^2/2$. Оно делится между резистором и нелинейным элементом пропорционально их сопротивлениям (поскольку при рассматриваемых напряжениях нелинейный элемент ведет себя как резистор)

$$ Q_{\text{н.э.}} = \frac{r_0}{r_0 + R} \frac{C \mathcal{E}^2}{2} = \frac{U_0}{U_0 + R I_0} \frac{C \mathcal{E}^2}{2} = 0.9~мДж $$

B3  ^0.60 Через какое время $\tau$ количество теплоты, выделившееся на нелинейном элементе, достигнет $80\%$ от величины $Q_\text{н.э}$? Ответ выразите через $R$, $U_0$, $I_0$, и $C$. Найдите численное значение.

Мощность на нелинейном элементе в зависимости от времени имеет вид $$ P = I_C^2 U_0/I_0 = A e^{- 2t/t_0}, \quad A = \frac{\mathcal{E}^2 U_0 I_0}{(R I_0 + U_0)^2}, \quad t_0 = C(R + U_0/I_0). $$ Тогда за время $t$ на нелинейном элементе выделяется тепло $$ Q(t) = \int_0 ^t P(t) dt = A \frac{t_0}{2} \left( 1 - e^{- 2t/t_0}\right) = Q_{\text{н.э.}} \left( 1 - e^{- 2t/t_0}\right). $$ В момент времени, когда $Q = 0.8 Q_{\text{н.э.}}$, $e^{-2t/t_0} = 0.2$,

B4  ^1.50 Получите зависимость силы тока $I_C(t)$ через конденсатор от времени $t$. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $R$, $U_0$, $I_0$, $C$ и $t$.

Теперь начальное напряжение на нелинейном элементе больше $U_0$, а значит ток через нелинейный элемент (равный току через конденсатор), равен $I_C = I_0$. Этот ток будет оставаться постоянным, пока напряжение на конденсаторе не упадет до значения $U_0$. До этого момента заряд конденсатора зависит от времени как $q = I_0 t$, а значит напряжение на нелинейном элементе $$ U_{\text{н.э.}} = \mathcal{E} - R I_0 -I_0 t/C. $$ Эта зависимость справедлива, пока $U_{\text{н.э.}} \ge U_0$, то есть $$ t \le t_1 = \frac{C}{I_0} (\mathcal{E} - U_0 - R I_0 ). $$ Далее ток будет экспоненциально затухать, как при обычной зарядке конденсатора: $$ I = I_0 \exp\left(- \dfrac{t- t_1}{C(R + U_0/I_0)}\right). $$

B5  ^1.50 Какое количество теплоты $Q_\text{н.э}$ выделится на нелинейном элементе за время установления постоянного тока? Найдите численное значения с точностью не меньше $1\%$.

Пока ток остается постоянным, мощность на нелинейном элементе $$ P = I_0 U_{\text{н.э.}} = I_0 (\mathcal{E} - R I_0 -I_0 t/C). $$ Тогда за время $t_1$ выделится тепло $$ Q_1 = \int_0^{t_1} dt I_0 (\mathcal{E} - R I_0 -I_0 t/C) = I_0 (\mathcal{E} - R I_0) t_1 - I_0 ^2t_1^2/2C, $$ $$ Q_1 = C(\mathcal{E} - R I_0)(\mathcal{E} -U_0- R I_0) - C(\mathcal{E}-U_0 - R I_0)^2/2 = \frac{C}{2} \left( (\mathcal{E} - I_0 R)^2 - U_0^2\right) = 1.2~мДж $$ Далее зависимость мощности от времени имеет вид ($t' = t - t_1$) $$ P = \frac{U_0}{I_0} I_0^2 e^{- 2t'/t_0}, \quad t_0 = C (R + U_0/I_0) $$ а значит полное выделившееся тепло $$ Q_2 = \int_0 ^\infty dt' U_0 I_0 e^{- 2t'/t_0} = \frac{1}{2} U_0 I_0 t_0 = \frac{1}{2} U_0 I_0 C (R + U_0/I_0) = 2.5~мДж $$