a  ^1.00 Найдите отношение интенсивностей в центральном максимуме двух дифракционных картин, которые получены на щели: в одном случае ширина щели равна $a$, во втором случае — $b$. Считайте, что щели освещаются одинаковыми когерентными монохроматическими пучками света.

a. 1 Записано выражение для амплитуда электрического поля в зависимости от угла $\theta$:\[E(\theta)=\int\limits_0^aCe^{i(\omega t-kx\sin\theta)}\,\mathrm dx\]	0.20
a. 2 Интенсивность света в зависимости от угла:\[I(\theta)=CC^*a^2\left[\frac{\sin(ka\sin\theta/2)}{ka\sin\theta/2}\right]^2\]	0.40
a. 3 Ответ $I_{0a}/I_{0b}=a^2/b^2$	0.40

b  ^1.00 Найдите соотношение между интенсивностями в максимуме первого порядка дифракционных картин, которые получены на дифракционных решетках с периодом $l$ (период — расстояние между центрами двух соседних щелей), при этом в одном случае ширина щели равна $a$, а во втором случае — $(l-a)$. Считайте, что дифракционные решетки освещаются одинаковыми когерентными монохроматическими пучками света.

b. 1 Амплитуда электрического поля для каждой из решёток соответственно:\[E_a(\theta)=\sum_m \int\limits_{m l}^{m l+a} C e^{i(\omega t-k x \sin \theta)}\,\mathrm d x\quad\text{и}\quad E_{l-a}(\theta)=\sum_m \int\limits_{m l+a}^{m l+l} C e^{i(\omega t-k x \sin \theta)}\,\mathrm d x\]	0.20
b. 2 При сложении этих амплитуд получается исходное распределение:\[E_a(\theta)+E_{l-a}(\theta)=E_{\text {incident }}(\theta)=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text {в геометрической тени}\\E_o & \text {в направлении падения}\end{array}\right.\]	0.20
b. 3 Отсюда в максимуме первого порядка $E_{a(1)}+E_{l-a(1)}=0\implies E_{a(1)}=-E_{l-a(1)}$	0.30
b. 4 $\implies I_{a(1)}=I_{l-a(1)}$	0.30

c  ^2.50 Докажите, что если дифракционная решётка представляет собой последовательность одинаковых равноотстоящих щелей, то интенсивность дифрагированного света $I_\text{dif}$ (интенсивность в максимумах всех порядков, кроме нулевого) не превышает $1/4$ от интенсивности падающего на решётку света. При каком условии выполняется равенство $I_\text{dif}=I_\text{inc}/4$ (т.е. яркость дифракционной картины максимальна)?

c. 1 Идея рассмотреть решётки из предыдущего пункта, для которых $I_{\mathrm{dif},a}=I_{\mathrm{dif},l-a}$	0.40
c. 2 $I_{0,a}/a^2=I_{0,l-a}/(l-a)^2$	0.40
c. 3 $I_{\text{dif},a}+I_{0,a}=aI_\text{indicent} /l,\quad I_{\text{dif},l-a}+I_{0,l-a}=(l-a)I_\text{indicent} /l$	0.60
c. 4 Промежуточный ответ $I_{\text{dif},a}=a(l-a)I_\text{indicent}/l^2$	0.60
c. 5 Максимум функции при $a=l/2$	0.20
c. 6 Максимальное значения функции $I_\text{dif max}=I_\text{indicent}/4$	0.30

d  ^1.00 Найдите этот угол для дифракционной решётки, имеющей $n=2000~\text{штрихов}/\text{мм}$, если падающий на неё луч с длиной волны $\lambda_0=500~нм$ образует максимум первого порядка в направлении падения, причём этот максимум оказывается самым ярким в дифракционной картине.

d. 1 Условие дифракционного максимума $\sin\alpha+\sin i=nm\lambda_0$	0.40
d. 2 Подставлено $i=\alpha, m=1 \implies 2\sin\alpha=n\lambda_0$	0.40
d. 3 Ответ $\alpha=30^\circ$	0.20

e  ^3.00 Найдите спектральную ширину $\Delta\lambda$ и длину когерентности света, выходящего из монохроматора, освещаемого белым светом, если ширина выходной щели $d=20~мкм$, а монохроматор настроен на длину волны $\lambda_0=500~нм$. Вычислите эти величины.

e. 1 Спектральная ширина $\Delta\lambda=2d\cos\alpha/Rn$	0.40
e. 2 $\Delta\lambda=0.017~нм$	0.20
e. 3 Распределение интенсивности двухлучевого интерферометра, освещаемого светом в узком диапазоне $[\lambda_0-\Delta\lambda/2;\lambda_0+\Delta\lambda/2]$ (соответствующем $[\nu_0-\Delta\nu/2;\nu_0+\Delta\nu/2]$):\[I=\int\limits_{\nu_0-\Delta \nu / 2}^{\nu_0+\Delta \nu / 2} 2 \frac{I_0}{\Delta \nu}\left(1+\cos \frac{2 \pi \nu}{c} L\right)\,\mathrm d \nu=I_0\left(1+\frac{\sin \frac{\pi \Delta \nu}{c} L}{\frac{\pi \Delta \nu}{c} L} \cos \frac{2 \pi \nu_0}{c} L\right)\]	1.00
e. 4 Видность картины $V=\cfrac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=\cfrac{\left|\sin \frac{\pi \Delta v}{c} L\right|}{\frac{\pi \Delta v}{c} L}$ (где $L$ — оптический путь лучей)	0.60
e. 5 Первое исчезновение картины при $L_c=c/\Delta \nu$	0.40
e. 6 Ответ $L_c=\lambda_0^2/\Delta\lambda$	0.20
e. 7 $L_c=1.5~см$	0.20

f  ^1.50 Какую минимальную разность длин волн монохроматического света можно различить с помощью решётки из пункта d, если её длина составляет $10~см$, и свет, отразившись от зеркала, падает на CCD-матрицу с плотностью пикселей $200~\text{пикселей}/\text{мм}$.

f. 1 Разрешающая способность в первом порядке $P=nL=200000$	0.40
f. 2 $\implies$ ограничение со стороны волновой оптики $\delta\lambda=0.0025~нм$	0.20
f. 3 Ограничение со стороны размера пикселя $\delta\lambda'=2\cdot5~мкм\cdot\cos\alpha/Rn$	0.40
f. 4 $\delta\lambda'=0.0043~нм$	0.20
f. 5 Окончательный ответ $\Delta\lambda_{min}=0.0043~нм$	0.30