Logo
Logo

Дифракция

Разбалловка

a  1.00 Найдите отношение интенсивностей в центральном максимуме двух дифракционных картин, которые получены на щели: в одном случае ширина щели равна $a$, во втором случае — $b$. Считайте, что щели освещаются одинаковыми когерентными монохроматическими пучками света.

1 Записано выражение для амплитуда электрического поля в зависимости от угла $\theta$:\[E(\theta)=\int\limits_0^aCe^{i(\omega t-kx\sin\theta)}\,\mathrm dx\] 0.20
2 Интенсивность света в зависимости от угла:\[I(\theta)=CC^*a^2\left[\frac{\sin(ka\sin\theta/2)}{ka\sin\theta/2}\right]^2\] 0.40
3 Ответ $I_{0a}/I_{0b}=a^2/b^2$ 0.40
b  1.00 Найдите соотношение между интенсивностями в максимуме первого порядка дифракционных картин, которые получены на дифракционных решетках с периодом $l$ (период — расстояние между центрами двух соседних щелей), при этом в одном случае ширина щели равна $a$, а во втором случае — $(l-a)$. Считайте, что дифракционные решетки освещаются одинаковыми когерентными монохроматическими пучками света.

1 Амплитуда электрического поля для каждой из решёток соответственно:\[E_a(\theta)=\sum_m \int\limits_{m l}^{m l+a} C e^{i(\omega t-k x \sin \theta)}\,\mathrm d x\quad\text{и}\quad E_{l-a}(\theta)=\sum_m \int\limits_{m l+a}^{m l+l} C e^{i(\omega t-k x \sin \theta)}\,\mathrm d x\] 0.20
2 При сложении этих амплитуд получается исходное распределение:\[E_a(\theta)+E_{l-a}(\theta)=E_{\text {incident }}(\theta)=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text {в геометрической тени}\\E_o & \text {в направлении падения}\end{array}\right.\] 0.20
3 Отсюда в максимуме первого порядка $E_{a(1)}+E_{l-a(1)}=0\implies E_{a(1)}=-E_{l-a(1)}$ 0.30
4 $\implies I_{a(1)}=I_{l-a(1)}$ 0.30
c  2.50 Докажите, что если дифракционная решётка представляет собой последовательность одинаковых равноотстоящих щелей, то интенсивность дифрагированного света $I_\text{dif}$ (интенсивность в максимумах всех порядков, кроме нулевого) не превышает $1/4$ от интенсивности падающего на решётку света. При каком условии выполняется равенство $I_\text{dif}=I_\text{inc}/4$ (т.е. яркость дифракционной картины максимальна)?

1 Идея рассмотреть решётки из предыдущего пункта, для которых $I_{\mathrm{dif},a}=I_{\mathrm{dif},l-a}$ 0.40
2 $I_{0,a}/a^2=I_{0,l-a}/(l-a)^2$ 0.40
3 $I_{\text{dif},a}+I_{0,a}=aI_\text{indicent} /l,\quad I_{\text{dif},l-a}+I_{0,l-a}=(l-a)I_\text{indicent} /l$ 0.60
4 Промежуточный ответ $I_{\text{dif},a}=a(l-a)I_\text{indicent}/l^2$ 0.60
5 Максимум функции при $a=l/2$ 0.20
6 Максимальное значения функции $I_\text{dif max}=I_\text{indicent}/4$ 0.30
d  1.00 Найдите этот угол для дифракционной решётки, имеющей $n=2000~\text{штрихов}/\text{мм}$, если падающий на неё луч с длиной волны $\lambda_0=500~нм$ образует максимум первого порядка в направлении падения, причём этот максимум оказывается самым ярким в дифракционной картине.

1 Условие дифракционного максимума $\sin\alpha+\sin i=nm\lambda_0$ 0.40
2 Подставлено $i=\alpha, m=1 \implies 2\sin\alpha=n\lambda_0$ 0.40
3 Ответ $\alpha=30^\circ$ 0.20
e  3.00 Найдите спектральную ширину $\Delta\lambda$ и длину когерентности света, выходящего из монохроматора, освещаемого белым светом, если ширина выходной щели $d=20~мкм$, а монохроматор настроен на длину волны $\lambda_0=500~нм$. Вычислите эти величины.

1 Спектральная ширина $\Delta\lambda=2d\cos\alpha/Rn$ 0.40
2 $\Delta\lambda=0.017~нм$ 0.20
3 Распределение интенсивности двухлучевого интерферометра, освещаемого светом в узком диапазоне $[\lambda_0-\Delta\lambda/2;\lambda_0+\Delta\lambda/2]$ (соответствующем $[\nu_0-\Delta\nu/2;\nu_0+\Delta\nu/2]$):\[I=\int\limits_{\nu_0-\Delta \nu / 2}^{\nu_0+\Delta \nu / 2} 2 \frac{I_0}{\Delta \nu}\left(1+\cos \frac{2 \pi \nu}{c} L\right)\,\mathrm d \nu=I_0\left(1+\frac{\sin \frac{\pi \Delta \nu}{c} L}{\frac{\pi \Delta \nu}{c} L} \cos \frac{2 \pi \nu_0}{c} L\right)\] 1.00
4 Видность картины $V=\cfrac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=\cfrac{\left|\sin \frac{\pi \Delta v}{c} L\right|}{\frac{\pi \Delta v}{c} L}$ (где $L$ — оптический путь лучей) 0.60
5 Первое исчезновение картины при $L_c=c/\Delta \nu$ 0.40
6 Ответ $L_c=\lambda_0^2/\Delta\lambda$ 0.20
7 $L_c=1.5~см$ 0.20
f  1.50 Какую минимальную разность длин волн монохроматического света можно различить с помощью решётки из пункта d, если её длина составляет $10~см$, и свет, отразившись от зеркала, падает на CCD-матрицу с плотностью пикселей $200~\text{пикселей}/\text{мм}$.

1 Разрешающая способность в первом порядке $P=nL=200000$ 0.40
2 $\implies$ ограничение со стороны волновой оптики $\delta\lambda=0.0025~нм$ 0.20
3 Ограничение со стороны размера пикселя $\delta\lambda'=2\cdot5~мкм\cdot\cos\alpha/Rn$ 0.40
4 $\delta\lambda'=0.0043~нм$ 0.20
5 Окончательный ответ $\Delta\lambda_{min}=0.0043~нм$ 0.30