Угловое распределение амплитуды электрического поля задаётся выражением:\[E(\theta)=\int_0^aCe^{i(\omega t-kx\sin\theta}~\mathrm dx,\]где $k$ — модуль волнового вектора, а $\theta$ — угол дифракции. Распределение интенсивности света в этом случае:\[I(\theta)=E(\theta)E^*(\theta)=CC^*a^2\left[\frac{\sin(ka\sin~\theta/2)}{ka\sin~\theta/2}\right]^2,\]откуда\[\frac{I_{0\:a}}{I_{0\:b}}=\frac{a^2}{b^2}.\]
\[\implies I_{dif\:a}=\frac{a(l-a)}{l^2}I_{inc}.\]Максимум этого выражения достигается при $a=l/2$ и равен $I_{dif\:max}=I_{inc}/4$.
Проблема рассматриваемых решёток состоит в том, что они амплитудные, поэтому главный дифракционный максимум накладывается на максимум $\theta=0$. Чтобы избежать этого, в решётке должны происходить периодические изменения фазы падающей волны. На практике обычно используются отражательные решётки, поверхность борозд в которой наклонена под некоторым углом к плоскости решётки.\[\sin i+\sin\alpha=nm\lambda_0.\]Для $m=1$ и $i=\alpha$ (максимум интенсивности) получим:\[2\sin\alpha=n\lambda_0\implies\alpha=30^\circ.\]
Спектральная ширина:\[\Delta\lambda=\frac d{D_\alpha R/2}=2d\cos\alpha/Rn=17~пм.\]Длина когерентности равна длине оптического пути, после прохождения которого уже не наблюдается дифракционная картина. Распределение интенсивности в двулучевом интерферометре, освещаемом в диапазоне $[\lambda_0-\Delta\lambda/2,\lambda_0+\Delta\lambda/2]$ и $[\nu_0-\Delta\nu/2,\nu_0+\Delta\nu/2]$, имеет вид:\[I=\int\limits_{\nu_0-\Delta\nu/2}^{\nu_0+\Delta\nu/2}2\frac{I_0}{\Delta\nu}\left(1+\cos\frac{2\pi\nu}cL\right)~\mathrm d\nu=2\frac{I_0}{\Delta\nu}\left.\left(\nu+\frac{\sin~\frac{2\pi\nu}cL}{\frac{2\pi}cL}\right)\right|_{\nu_0-\Delta\nu/2}^{\nu_0+\Delta\nu/2}\\\implies I=2I_0\left(1+\frac{\sin~\frac{\pi\Delta\nu}cL}{\frac{\pi\Delta\nu}cL}\cos\frac{2\pi\nu_0}cL\right).\]Видность дифракционной картины\[V=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}=\frac{\left|\frac{\pi\Delta\nu}cL\sin\right|}{\frac{\pi\Delta\nu}cL}.\]Здесь $L$ — разность оптических путей интерферирующих волн. Первое исчезновение дифракционной картины происходит при:\[V=0\implies\frac{\pi\Delta\nu}cL_c=\pi\implies L_c=\frac c{\Delta\nu}=\frac{\lambda_0^2}{\Delta\lambda}.\]
Разрешающая способность в первом порядке:\[P=\frac\lambda{\delta\lambda}=N=nL=2\cdot10^5.\]Следовательно, наименьший диапазон, различимый дифракционной решёткой, равен $\delta\lambda=2.5~пм$. При этом наименьший различимый диапазон из-за конечного размера пикселя будет равен:\[\delta\lambda'=2\cdot5~мкм\cdot\frac{\cos\alpha}{Rn}=4.3~пм.\]Таким образом, минимальный различимый спектральный диапазон у данного спектрометра равен $4.3~пм$.