a  ^1.00 Найдите отношение интенсивностей в центральном максимуме двух дифракционных картин, которые получены на щели: в одном случае ширина щели равна $a$, во втором случае — $b$. Считайте, что щели освещаются одинаковыми когерентными монохроматическими пучками света.

Угловое распределение амплитуды электрического поля задаётся выражением:\[E(\theta)=\int_0^aCe^{i(\omega t-kx\sin\theta}~\mathrm dx,\]где $k$ — модуль волнового вектора, а $\theta$ — угол дифракции. Распределение интенсивности света в этом случае:\[I(\theta)=E(\theta)E^*(\theta)=CC^*a^2\left[\frac{\sin(ka\sin~\theta/2)}{ka\sin~\theta/2}\right]^2,\]откуда\[\frac{I_{0\:a}}{I_{0\:b}}=\frac{a^2}{b^2}.\]

b  ^1.00 Найдите соотношение между интенсивностями в максимуме первого порядка дифракционных картин, которые получены на дифракционных решетках с периодом $l$ (период — расстояние между центрами двух соседних щелей), при этом в одном случае ширина щели равна $a$, а во втором случае — $(l-a)$. Считайте, что дифракционные решетки освещаются одинаковыми когерентными монохроматическими пучками света.

c  ^2.50 Докажите, что если дифракционная решётка представляет собой последовательность одинаковых равноотстоящих щелей, то интенсивность дифрагированного света $I_\text{dif}$ (интенсивность в максимумах всех порядков, кроме нулевого) не превышает $1/4$ от интенсивности падающего на решётку света. При каком условии выполняется равенство $I_\text{dif}=I_\text{inc}/4$ (т.е. яркость дифракционной картины максимальна)?

d  ^1.00 Найдите этот угол для дифракционной решётки, имеющей $n=2000~\text{штрихов}/\text{мм}$, если падающий на неё луч с длиной волны $\lambda_0=500~нм$ образует максимум первого порядка в направлении падения, причём этот максимум оказывается самым ярким в дифракционной картине.

Проблема рассматриваемых решёток состоит в том, что они амплитудные, поэтому главный дифракционный максимум накладывается на максимум $\theta=0$. Чтобы избежать этого, в решётке должны происходить периодические изменения фазы падающей волны. На практике обычно используются отражательные решётки, поверхность борозд в которой наклонена под некоторым углом к плоскости решётки.\[\sin i+\sin\alpha=nm\lambda_0.\]Для $m=1$ и $i=\alpha$ (максимум интенсивности) получим:\[2\sin\alpha=n\lambda_0\implies\alpha=30^\circ.\]

e  ^3.00 Найдите спектральную ширину $\Delta\lambda$ и длину когерентности света, выходящего из монохроматора, освещаемого белым светом, если ширина выходной щели $d=20~мкм$, а монохроматор настроен на длину волны $\lambda_0=500~нм$. Вычислите эти величины.

Спектральная ширина:\[\Delta\lambda=\frac d{D_\alpha R/2}=2d\cos\alpha/Rn=17~пм.\]Длина когерентности равна длине оптического пути, после прохождения которого уже не наблюдается дифракционная картина. Распределение интенсивности в двулучевом интерферометре, освещаемом в диапазоне $[\lambda_0-\Delta\lambda/2,\lambda_0+\Delta\lambda/2]$ и $[\nu_0-\Delta\nu/2,\nu_0+\Delta\nu/2]$, имеет вид:\[I=\int\limits_{\nu_0-\Delta\nu/2}^{\nu_0+\Delta\nu/2}2\frac{I_0}{\Delta\nu}\left(1+\cos\frac{2\pi\nu}cL\right)~\mathrm d\nu=2\frac{I_0}{\Delta\nu}\left.\left(\nu+\frac{\sin~\frac{2\pi\nu}cL}{\frac{2\pi}cL}\right)\right|_{\nu_0-\Delta\nu/2}^{\nu_0+\Delta\nu/2}\\\implies I=2I_0\left(1+\frac{\sin~\frac{\pi\Delta\nu}cL}{\frac{\pi\Delta\nu}cL}\cos\frac{2\pi\nu_0}cL\right).\]Видность дифракционной картины\[V=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}=\frac{\left|\frac{\pi\Delta\nu}cL\sin\right|}{\frac{\pi\Delta\nu}cL}.\]Здесь $L$ — разность оптических путей интерферирующих волн. Первое исчезновение дифракционной картины происходит при:\[V=0\implies\frac{\pi\Delta\nu}cL_c=\pi\implies L_c=\frac c{\Delta\nu}=\frac{\lambda_0^2}{\Delta\lambda}.\]

f  ^1.50 Какую минимальную разность длин волн монохроматического света можно различить с помощью решётки из пункта d, если её длина составляет $10~см$, и свет, отразившись от зеркала, падает на CCD-матрицу с плотностью пикселей $200~\text{пикселей}/\text{мм}$.

Разрешающая способность в первом порядке:\[P=\frac\lambda{\delta\lambda}=N=nL=2\cdot10^5.\]Следовательно, наименьший диапазон, различимый дифракционной решёткой, равен $\delta\lambda=2.5~пм$. При этом наименьший различимый диапазон из-за конечного размера пикселя будет равен:\[\delta\lambda'=2\cdot5~мкм\cdot\frac{\cos\alpha}{Rn}=4.3~пм.\]Таким образом, минимальный различимый спектральный диапазон у данного спектрометра равен $4.3~пм$.