При рассмотрении различных физических явлений крайне важным шагом является выбор подходящей системы отсчета. И хотя в большинстве случаев выбор настолько очевиден, что даже не упоминается, важно знать, какая система отсчета имеется в виду. Главная причина заключается в том, что

физические законы выполняются, когда они применяются в инерциальных системах отсчета.

Несмотря на то, что определение инерциальной системы отсчета выглядит «зацикленным», и при этом трудно реализуемым, оно задает полезное свойство:

Относительное движение двух инерциальных систем отсчета должно быть поступательно и равномерно.

Проблема возникает тогда, когда необходимо рассмотреть другие типы относительного движения систем отсчета, т.е. по крайней мере одна из них неинерциальна. В таких системах отсчета нельзя применять физические законы в том виде, в котором они обычно известны. Таким образом, нужно следовать одному из двух подходов: работать в инерциальной системе отсчета, а затем преобразовать ответ в итоговую неинерциальную систему отсчета, либо изначально работать в неинерциальной системе отсчета, предварительно сделав необходимые преобразования уравнений, описывающих физические законы.

В некоторых случаях использование неинерциальной системы отсчета попросту более осмысленно. Например, если взять Солнце в качестве инерциальной системы отсчета, то изучение потоков ветра на Земле относительно Солнца приведет к ненужному усложнению задачи. Более удобно исследовать подобные процессы в системе отсчета связанной с Землей, даже если это приведет к новому набору уравнений. Спойлер: в конце этой задачи именно это и будет сделано!

Пусть система отсчета равномерно вращается относительно некоторой инерциальной системы отсчета с угловой скоростью $\vec \omega$. Рассмотрим материальную точку массы $m$, находящуюся в положении, характеризуемом радиус-вектором $\vec r$, движущуюся со скоростью $\vec v$ и ускорением $\vec a$ в этой вращающейся системе отсчета. Пусть равнодействующая сила, с которой материальная точка взаимодействует с другими телами равна $\vec F$. Можно показать, что уравнение движения этой материально точки следующее:

$$m(\vec a + 2\,\vec\omega\times\vec v + \vec\omega\times (\vec\omega\times\vec r))=\vec F$$

После несложных преобразований:

$$m\vec a=\vec F-2m\,\vec\omega\times\vec v - m\vec\omega\times (\vec\omega\times\vec r)).\tag{1}$$

Обратите внимание, что полученное выражение похоже на второй закон Ньютона. Правда второе и третье слагаемое в правой части приходится трактовать как дополнительные силы, действующие на материальную точку. Второе слагаемое называется силой Кориолиса, а третье — центробежной силой.

Дополнительные слагаемые, конечно, «исправили» второй закон Ньютона, однако трактовка, приведенная выше, может привести к путанице в третьем законе Ньютона — т.к. введенные силы фиктивные (в самом деле, это просто математические преобразования), сила Кориолиса и центробежная сила не имеют соответствующих равных и противоположно направленных сил реакций!

Вышеупомянутые силы приводят к интересным и интуитивно непонятным эффектам, связанными с движущимися телами, если их рассматривать во вращающихся системах отсчета. В части A изучается действие этих сил по видеозаписям, снятым во вращающихся системах отсчета. В части B изучается поведение ветра.

Части A и B независимы. Их можно решать в любом порядке.

Часть А

В этой части задачи все процессы рассматриваются в системе отсчета $Oxyz$, которая вращается с угловой скоростью $\vec\omega=\omega\hat z$ относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Ось вращения проходит через центр $O$. Все ответы должны быть даны во вращающейся системе отсчета.
Для начала рассмотрим простой случай, когда на материальную точку массы $m$ не действуют внешние силы ($\vec F=0$). Пусть в момент времени $t=0$ координаты материальной точки были $x=0, y=R$ и $z=0$, а ее скорость $\vec v_0=-v_0\hat y$. В этом случае уравнение движения имеет решение:
\begin{array}{l}
x(t) = -\omega Rt\cos \omega t + (R-v_0 t)\sin\omega t \\
y(t) = (R-v_0 t)\cos \omega t + \omega Rt\sin\omega t
\end{array}

A1  ^1.00 Покажите, что решение, приведенное выше, удовлетворяет уравнению (1).

Если рассматривать начало движения (малые времена), то для определенных значений начальной скорости можно пренебречь одной из двух фиктивных сил. И таким образом, траектория становится круговой.

A2  ^2.00

1. Какой силой из двух нужно пренебречь, чтобы получить круговую траекторию движения?
2. Покажите, что в рассматриваемые моменты времени, два выражения выше сводятся к круговой траектории движения. Найдите ее радиус и координаты центра.
3. Для каких начальных скоростей (высоких или низких) это приближение приемлемо?

В данном вам приложении создаются видео во вращающейся системе отсчета (длительность видео 1~c, частота кадров 240~fps (кадров в секунду)). Угловая скорость системы отсчета неизвестна.  Камера вращается вместе с системой отсчета. Масштаб длины в создаваемых видео также неизвестен: расстояния на кадрах можно измерять в условных единицах. Чтобы определить эти две неизвестные, можно провести следующий эксперимент: из некоторой точки, находящейся на расстоянии $R=1~у.е.$ от начала координат, запускается тело (на видео показано синим цветом) со скоростью $v_0$, направленной к началу координат. Начало координат отмечено красной точкой на видео, ось вращения проходит через него и она перпендикулярна плоскости картинки.

Тело может запускаться с помощью двух «пушек». С помощью пушки 1 можно задавать начальную скорость тела (в см/с) в диапазоне $[5;30]~см/с$ с шагом $0.1~см/с$. Пушка 2 запускает тело со случайными, неизвестными скоростями, но значения этих скоростей гораздо больше, чем те, которые задаются пушкой 1 (порядок скоростей у пушки 2 — $150~см/с$).

Видеозаписи получаются при запуске приложения RMPh22. Чтобы запустить приложение, введите пароль Coriolis (дополнительные инструкции приведены в техническом приложении). Приложение предложит выбрать номер пушки для запуска тела. Если выбрана пушка 1, то необходимо будет также задать начальную скорость. Десятичный разделитель в этом приложении — точка, а не запятая. Укажите имя файла для сохранения, расширение можно не указывать.

Приложение генерирует видео в течение нескольких минут, поэтому нужно дождаться завершения его работы. Не открывайте получаемый файл, пока приложение не закроется.

Для анализа видеозаписей предлагается использовать приложение Tracker. Инструкции по его использованию приведены в техническом приложении. Основная функция, которой нужно пользоваться, — отслеживание объектов: приложение покадрово анализирует видео и приводит зависимость координаты тела от времени. Полученные значения $(t, x, y)$ можно анализировать удобным вам способом.

Рассмотрим траектории близкие к круговым.

A3  ^1.50

1. Какую пушку нужно использовать, чтобы получить почти круговую траекторию движения? Объясните свой выбор.
2. Объясните, как, запуская тела с помощью пушек, можно собрать данные, чтобы найти угловую скорость вращения $\omega$ системы отсчета. Рекомендуется использовать Приложение 1.

A4  ^2.00 Для пяти различных начальных скоростей определите угловую скорость вращения $\omega$ системы отсчета. В своем отчете приведите необходимые величины и шаги расчетов. Получите среднее значение величины $\omega$ и ее погрешность.

Чтобы получить баллы за экспериментальные данные к отчету нужно приложить полный набор данных, которые вы используете для расчетов. Если вы строите графики, то это нужно делать либо на миллиметровке, либо на компьютере. Если вы строите графики на компьютере, приложите к отчету дополнительный pdf-файл, в котором приведены пронумерованные графики с соответствующими подписями. В отчете ссылайтесь на графики из этого файла по номеру.

A5  ^0.50 Какую пушку нужно использовать, чтобы найти коэффициент пересчета условных единиц длины в единицы длины в системе СИ? Объясните свой выбор.

Если выбрать правильную пушку, можно заметить, что скорость тела за время измерений значительно меняется. Поэтому измерения начальной скорости тела в $у.е./с$ будут очень шумными и содержать значительную погрешность (не делайте так). Чтобы получить полный балл, нужно придумать метод получше.
Подсказка: можно использовать решение уравнения (1).

A6  ^1.00 Опишите метод, с помощью которого можно найти коэффициент пересчета $у.е./см$.

A7  ^2.00 Для пяти различных начальных скоростей определите коэффициент пересчета $у.е./см$. В своем отчете приведите необходимые величины и шаги расчетов. Приведите графики, если это необходимо. Получите среднее значение коэффициента пересчета и его погрешность.

Часть B

Ветер — это общее название для любого движения воздуха в нижних слоях атмосферы. Мы можем моделировать его поведение, используя гидродинамику вместе с термодинамическими уравнениями и законами сохранения. Однако в некоторых случаях мы можем использовать простую механическую модель ветра. Заметим, что в этой задаче размер рассматриваемого объема воздуха не важен, поэтому удобнее использовать ускорения, а не силы. В этой части используются следующие предположения:

• Поток воздуха стационарный, то есть не меняется со временем, а также плоский (мы не рассматриваем вертикальное движение).

Нужно учитывать четыре силы:

• Сила, создаваемая за счет разности давлений, которая создает ускорение$\vec{a}_p = - \frac{1}{\rho} \mathrm{grad} P $.Здесь $\mathrm{grad}P$ — градиент давления. Направление градиента в некоторой точке можно описать геометрически как направление линии, вдоль которой атмосферное давление возрастает наиболее быстро. Если давление меняется только в радиальном направлении$\mathrm{grad} P = \dfrac{dP}{dr} \hat{e}_r$, где $\hat{e}_r$ — единичный вектор в радиальном направлении.
• Сила трения о поверхность Земли, создающая ускорение $\vec{a}_f = -k \vec{v}$.
• Горизонтальная центробежная сила, создающая ускорение $\vec{a}_{cf} = \omega^2 \vec{r}$, где $\omega$ — угловая скорость объема воздуха по отношению к заданной точке, $\vec{r}$ — радиус-вектор, задающий положение объема воздуха по отношению к заданной точке.
• Сила Кориолиса, создающая ускорение $\vec{a}_c = 2 \vec{\Omega}\times \vec{v}_r$, где $\vec{\Omega}$ — угловая скорость Земли, $\vec{v}_r$ — скорость ветра относительно Земли. В этой части мы будем пренебрегать зависимостью эффектов от широты, чтобы упростить вычисление сил. 

В первых пунктах мы не будем рассматривать вращение выбранного объема воздуха в горизонтальной плоскости, поэтому не будем учитывать центробежную силу.

B1  ^1.00 Выразите условие стационарности и сделайте схематический рисунок, показывающий направления трех ускорений.

B2  ^1.00 Получите соотношение между силой трения и силой Кориолиса, выраженное через угол $\alpha$ между направлением скорости и направлением ускорения, создаваемого градиентом давления. Получите из этого соотношения коэффициент трения $k$.

На картах, которые находится в папке \textbf{Maps1} изображены изобары (линии постоянного атмосферного давления), а также направления ветра (белые линии), рассматриваемое на уровне земли. Разность давлений между между двумя соседними изобарами $\Delta P = 2~мбар$. Имя каждого файла — широта, отвечающая отмеченной точке.

B3  ^2.00 Используйте карты, которые приведены в папке \textbf{Maps1}, чтобы измерить угол $\alpha$ вблизи поверхности Земли, и вычислить для каждого из них коэффициент $k$.

Примечание: Каждое изображение можно легко открыть в программе Tracker, использованной в предыдущей части, и использовать транспортир для измерения углов.  По всем деталям использования этой программы обращайтесь к технической инструкции. 

Некоторые из использованных ранее карт изображают участки земли (на этих картах отмечены человеческие поселения), а некоторые — участки морей или океанов.

B4  ^0.50 Используя исследованные изображения, сделайте вывод о соотношении между коэффициентами трения над поверхностью земли и над водой.

Давайте используем сделанные наблюдения для того, чтобы получить закон, который в метеорологии называется законом Бейс-Балло. Представьте, что вы стоите спиной к ветру (он толкает вас вперед).

B5  ^0.50 Где по отношению к вам находится область с наибольшим давлением?

На больших высотах, где поверхность Земли уже не влияет на динамику атмосферы,
изобары практически прямые, и создаваемая градиентом давления сила, компенсируется силой Кориолиса, заставляя воздух двигаться вдоль изобар. Мы сейчас рассматриваем приближение, в котором радиус кривизны изобары бесконечен, поэтому изобары можно считать параллельными на расстоянии много больше, чем расстояние между ними. В этом приближении можно пренебречь центробежными силами. Этот случай называется геострофическим ветром. Приближение геострофического ветра — одно из самых важных в физике атмосферы.

B6  ^0.50 С учетом всего, что обсуждалось в этой части задачи, объясните, почему метеорологи иногда используют данные, полученные на уровне выше поверхности земли (примерно на $600~м$).

Точность использованного выше приближения можно охарактеризовать с помощью числа Роcсби. Малость этого числа означает, что геострофическое приближение применимо. Число Россби можно вычислить по формуле $\mathrm{Ro} = \dfrac{U}{f L}$. Здесь $U$ — характерная величина скорости в системе, в качестве которой мы будем использовать скорость ветрa, $L$ — характерный размер системы, в качестве которого мы будем использовать радиус кривизны изобары в данной точке, $f = 2 \Omega \sin \phi$. Для того, чтобы вычислить радиус кривизны в данной точке, приблизьте изобару в ее окрестности дугой окружности и используйте методы из приложения 1. В качестве другого способа можно рассмотреть касательные к изобаре и продолжить нормали к ним до пересечения в центре кривизны. Откалибруйте линейку в Tracker используя расстояния, обозначенные на карте.

B7  ^2.00 Используя карты, приведенные в папке \textbf{Maps2} и информацию из следующей таблицы, оцените порядок величины числа Россби в обозначенных красных точках. Используя описание геострофического приближения, определите, применимо ли оно для полученных чисел Россби или нет. Получите общее условие на числа Россби, при которых можно использовать геострофическое приближение.

На картах давлений, подобных тем, которые мы использовали, области высокого атмосферного давления обозначаются буквой $H$ и называются антициклонами, а области низкого давления обозначаются $L$ и называют циклонами. Эти области можно сравнить с горами и долинами, так что изобары рядом с циклонами и антициклонами представляют собой замкнутые линии, аналогично уровням постоянной высоты на топографических картах.

B8  ^0.50 Определите направление движения (по часовой стрелке или против) для циклонов в южном полушарии. Объясните ваш ответ!

Тропические циклоны — одно из вызывающих наибольшее беспокойство атмосферных явлений, особенно в связи с изменением климата. В зависимости от региона, их называют ураганами, тайфунами и т.д. В папке \textbf{Maps3} вы можете найти карту, на которой показан ураган.
Центр вращения урагана называется «глазом». Цель этого задания — проанализировать применимость геострофического приближения для изучения тропических циклонов и, если потребуется, заменить его на более подходящее приближение.

Широта урагана $\phi \approx 33^\circ$. Для того, чтобы измерить радиус урагана, используем следующее приближение. Откалибруйте линейку в Tracker по ширине (расстояние от самой левой до самой правой точек) острова Гаити (Hispaniola Island, на котором расположены Доминиканская Республика и Порт-о-Пренс), которая равна примерно $650~км$.

B9  ^1.00 Оцените число Россби для урагана, принимая за характерную скорость значение, указанное на изображении, а за характерное расстояние — расстояние от отмеченной точки до «глаза» урагана.

B10  ^1.00 Сравните число Россби для урагана со значениями, полученными в \textbf{B6} и прокомментируйте применимость геострофического приближения. Если потребуется, используйте определение числа Россби и условие баланса сил, чтобы получить лучшее приближение для потока на достаточно большой высоте, на которой можно пренебречь трением о поверхность земли.

Карты, используемые в этой части, получены с Windy.com.

Приложение 1

Пусть задан набор точек $(x_i,\, y_i)$, лежащих на кривой, которую предполагается приблизить окружностью. Мы хотим определить радиус этой окружности. Для этого мы предлагаем два метода.

Первый метод: геометрический

По трем заданным точкам на плоскости, можно следующим способом построить проходящую через них окружность:

1. Выберем пару точек из этих трех. Построим срединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. 
2. Выберем другую пару точек. Построим для них срединный перпендикуляр.
3. Найдем точку пересечения срединных перпендикуляров. Эта точка будет центром искомой окружности.
4. Построим окружность с центром в найденной точке, проходящую через любую из трех точек.

Радиус окружности задается расстоянием от центра до любой точки на окружности. 

Для того, чтобы использовать этот метод, вам может потребоваться следующее утверждение: произведение угловых коэффициентов двух перпендикулярных прямых равно $-1$.

Второй метод: аналитический

Если на плоскости задана кривая $y(x)$, ее радиус кривизны в некоторой точке $y_0$ можно вычислить по формуле
$$
R = \left| \frac{(1 + y^{\prime 2}(x_0))^{3/2}}{y''(x_0)}\right|.
$$
Для кривой, которая описывается дискретным набором точек $(x_i,\, y_i)$, мы можем приблизить первую и вторую производные численно.
\begin{align*}
y'(x_i) &\approx \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{x_{i+1}- x_{i-1}},\\
y''(x_i) &\approx \frac{y'(x_{i+1}) - y'(x_{i-1})}{x_{i+1}- x_{i-1}}.
\end{align*}

Инструкция по работе с приложениями

Приложение Tracker:

Здесь будут вкратце представлены основные функции, которые понадобятся при решении задачи. После запуска программы откройте (File→Open file…) видео в формате .avi, которое необходимо проанализировать.

• Нажмите кнопку, выделенную красным, чтобы выставить калибровочную палочку (calibration stick). Палочка используется в качестве эталона длины. Положение её концов и её длину вы можете установить вручную.
• Нажмите кнопку, выделенную синим, чтобы изменить положение начала координат и наклон осей координат, которые будут использоваться при измерении.
• Нажмите кнопку, выделенную зелёным, чтобы использовать функцию отслеживания. В всплывающем окне нажмите New и выберите Point mass. Затем, зажав комбинацию Ctrl+Shift, нажмите на объект, движение которого вы хотите отслеживать. В новом всплывающем окне нажмите Search и подождите, пока данные будут сняты.
• В программе появится таблица с данными. Чтобы экспортировать её для дальнейшей обработки, нажмите File→Export→Data. Оставьте настройки по умолчанию и введите название файла. Он будет сохранён в формате .txt в папку C:\software. Чтобы продолжить работу с данными, откройте Excel, выберите Открыть другие книги, затем найдите сохранённый файл и импортируйте его в Excel, сохраняя в процессе все настройки по умолчанию.

Также вам нужно будет открывать изображения и проводить измерения на них.

• Нажмите кнопку, выделенную фиолетовым, чтобы активировать измерительные инструменты. Вы можете добавлять на рисунок линейки (rulers) и транспортиры (protractors). Примечание: если инструмент плохо виден на фоне рисунка, нажмите по нему правой кнопкой мыши, чтобы изменить цвет или отобразить инструмент жирнее. Вы также можете увеличивать размеры инструментов по вашему усмотрению.

Приложение RMPh22:

• Запустите программу. Откроется пустое терминальное окно. Через несколько секунд в отдельном окне откроется само приложение.
• В открывшемся окне введите пароль, указанный в тексте задачи, и нажмите OK.
• Введите необходимые параметры эксперимента и запустите симуляцию.
• Подождите закрытия терминального окна (это может занять до нескольких минут), после чего откройте получившееся видео в приложении Tracker. Видео сохраняются в папку C:\software.