Запишем уравнения движения в проекциях на оси: \begin{align*} \ddot{x} &= 2 \omega \dot{y} + \omega^2 x; \\ \ddot{y} &= - 2 \omega \dot{x} + \omega^2 y. \end{align*} Прямое дифференцирование решений из условия дает \begin{align*} \dot{x} &= - \omega v_0 t \cos \omega t + (\omega^2 R t - v_0) \sin \omega t;\\ \ddot{x} &= (\omega^3 R t - 2 \omega v_0) \cos \omega t + \omega^2 (R + v_0 t) \sin \omega t;\\ \dot{y} &= (\omega^2 R t - v_0) \cos \omega t +\omega v_0 t \sin \omega t;\\ \ddot{y} &= \omega^2 (R + v_0 t) \cos \omega t + (- \omega^3 R t + 2 \omega v_0) \sin \omega t. \end{align*} Подставляя эти выражения в уравнения движения получим, что они действительно выполняются: \begin{multline*} (\omega^3 R t - 2 \omega v_0) \cos \omega t + \omega^2 (R + v_0 t) \sin \omega t = 2 \omega ((\omega^2 R t - v_0) \cos \omega t + \omega v_0 t \sin \omega t) + \omega^2 (-\omega Rt\cos \omega t + (R-v_0 t)\sin\omega t) = \\ = (2 \omega^3 R t - 2 \omega v_0 - \omega^3 Rt) \cos \omega t + (2 \omega^2 v_0 t + \omega^2 R - \omega^2 v_0 t) \sin \omega t. \end{multline*} \begin{multline*} \omega^2 (R + v_0 t) \cos \omega t + (- \omega^3 R t + 2 \omega v_0) \sin \omega t = - 2 \omega (- \omega v_0 t \cos \omega t + (\omega^2 R t - v_0) \sin \omega t) + \omega^2 ((R-v_0 t)\cos \omega t + \omega Rt\sin\omega t) = \\ = (2 \omega^3 R t + \omega^2 R - \omega^2 v_0 t) \cos \omega t + (- 2\omega^2 R t + 2 \omega v_0 + \omega^3 R t)\sin \omega t . \end{multline*}

1. Какой силой из двух нужно пренебречь, чтобы получить круговую траекторию движения?
2. Покажите, что в рассматриваемые моменты времени, два выражения выше сводятся к круговой траектории движения. Найдите ее радиус и координаты центра.
3. Для каких начальных скоростей (высоких или низких) это приближение приемлемо?

Если пренебречь центробежной силой, получим круговые траектории. Действительно, тогда действующая на частицу сила Кориолиса будет все время перпендикулярна скорости и постоянна по модулю (поскольку сама скорость постоянна по модулю). А значит вектор скорости вращается с постоянной угловой скоростью, а сама частица движется по окружности. Движение под действием силы Кориолиса аналогично движению заряженной частицы в магнитном поле. Для того, чтобы приближение работало, слагаемое вида $\omega^2 x$ должно быть много меньше слагаемых вида $ 2 \omega \dot{y}$. Заменяя переменные на их характерные значения $x \sim y \sim R$, $\dot{y} \sim v_0$, получим условие применимости приближения в виде $$ \frac{\omega R}{v_0} \ll 1. $$ В частности, при заданных $R$ и $\omega$ приближение лучше работает при больших значениях $v_0$. Приближение достаточно хорошо работает на временах, достаточно близких к времени начала движения. Поэтому мы требуем, чтобы рассматриваемые времена были много меньше характерного движения $R/v_0$, что задает дополнительное условие $$ \frac{v_0 t}{R} \ll 1. $$ Запишем эти два условия как $$ \frac{\omega R}{v_0} = \varepsilon \alpha, \quad \frac{v_0t }{R} =\varepsilon \beta, $$ где $\varepsilon \ll 1$, а $\alpha$ и $\beta$ – безразмерные параметры порядка единицы или меньше. Тогда уравнения движения можно переписать через приведенные выше параметры как \begin{align*} x(\beta) &= \frac{v_0}{\omega} \left[ - \varepsilon^2 \alpha \beta \sin (\varepsilon ^2 \alpha \beta) + \varepsilon \alpha (\sin (\varepsilon^2 \alpha \beta) - \varepsilon^2 \alpha \beta \cos (\varepsilon^2 \alpha \beta))\right];\\ y(\beta) &= \frac{v_0}{\omega} \left[ - \varepsilon^2 \alpha \beta \cos(\varepsilon ^2 \alpha \beta) + \varepsilon \alpha (\cos (\varepsilon^2 \alpha \beta) + \varepsilon^2 \alpha \beta \sin (\varepsilon^2 \alpha \beta))\right]. \end{align*} Разложим эти выражения по степеням $\varepsilon$ таким образом, чтобы сохранить зависимость от времени (то есть от параметра $\beta$). Для этого нам потребуется разложение до четвертого порядка для $x$ и до второго порядка для $y$: $$ x(\beta) \approx - \frac{v_0}{\omega} \varepsilon^4 \alpha^2 \beta^2; \quad y(\beta) \approx \frac{v_0}{\omega} (\varepsilon \alpha - \varepsilon^2 \alpha \beta). $$ Это разложение также можно приблизить с помощью тригонометрических функций: \begin{align*} x(\beta) &\approx - \frac{v_0}{\omega} \sin^2 (\varepsilon^2 \alpha \beta) = -\frac{v_0}{2\omega}\left( 1 - \cos (2 \varepsilon^2 \alpha \beta)\right);\\ y(\beta) &\approx \frac{v_0}{\omega} \varepsilon \alpha - \frac{v_0}{2\omega} \sin (2 \varepsilon^2 \alpha \beta). \end{align*} Эти уравнения описывают окружность радиуса $\dfrac{v_0}{2 \omega}$ с центром в точке $\left( - \dfrac{v_0}{2 \omega}, R \right)$. Точечная масса движется по окружности с угловой скоростью $2 \omega$. Этот результат согласуется с тем, что можно получить, решая уравнения движения без центробежной силы.

1. Какую пушку нужно использовать, чтобы получить почти круговую траекторию движения? Объясните свой выбор.
2. Объясните, как, запуская тела с помощью пушек, можно собрать данные, чтобы найти угловую скорость вращения $\omega$ системы отсчета. Рекомендуется использовать Приложение 1.

Согласно предыдущему вопросу, желательно иметь как можно большую скорость начального движения $v_0$, чтобы траектории были близки к круговым. Поэтому мы выберем пушку 2 в этой части эксперимента. Для этой пушки мы не знаем ни скорости снаряда при запуске, ни коэффициента пропорциональности между условными единицами и метрами. Однако мы можем обойти эту проблему, заметив, что единицы измерения длины не влияют на результат измерения $\omega$. Из предыдущего вопроса мы знаем, что $\omega = \dfrac{v_0}{2 r}$, где $r$ – радиус круговой траектории, $v_0$ – скорость движения точечной массы вдоль траектории. Поэтому, если мы будем измерять $v_0$ в $у.е./с$, а $r$ в у.е. (оба измерения можно сделать с помощью приложения Tracker), мы получим значение $\omega$ в $с^{-1}$. Обработку данных можно проводить весьма разными способами. Опишем один из них. Получим с помощью Tracker таблицу значений координат снаряда $x_n$, $y_n$ в моменты времени $t_n$. Для каждого момента времени вычислим значение угла $\phi_n$, который скорость образует с отрицательным направлением оси $y$. Поскольку эти углы на видимом участке траектории острые, их можно вычислить по формуле $$ \varphi_n = \arctan \frac{\Delta x}{\Delta y} = \arctan \frac{x_{n-1} - x_{n+1}}{ y_{n-1} -y_{n+1}}. $$ Для того, чтобы увеличить точность вычисления производной, берем разность координат в двух соседних симметрично расположенных точках (при этом значения угла в первой и последней точках не вычисляются). Снаряд движется по окружности некоторого радиуса с угловой скоростью $2 \omega$, поэтому зависимость угла от времени имеет вид $\varphi = 2 \omega t$. Построив график $\varphi (t)$ или с помощью МНК, определим значение $\omega$ как коэффициент наклона графика. Заметим, что хотя погрешность отдельных точек может быть достаточно большой, погрешность самой угловой скорости существенно уменьшается за счет большого числа используемых точек.

Типичный пример графика $\varphi (t)$ имеет вид

Снимем зависимости для 5 разных запусков снаряда. Полученные значения угловой скорости представлены в таблице ниже. Погрешность рассчитывалась с помощью МНК. Окончательный ответ получим как среднее от этих результатов. Точное (заложенное в программу) значение $\omega = \pi/2 = 1.571~\text{с}^{-1}$. Видим, что все экспериментальные значения несколько завышены.

Как и раньше, получим зависимость координат снаряда от времени для заданного значения $v_0$. Однако теперь не будем считать траекторию круговой. Поскольку зависимость $x(t)$ имеет вид $$ x = - \omega R t \cos \omega t + (R - v_0 t) \sin \omega t, $$ зависимость величины $- x - \omega R t \cos \omega t + R \sin \omega t$ от $t \sin \omega t$ линейна, причем коэффициент наклона равен $v_0$, измеренной в $у.е./\text{с}$, поскольку нам известны значения $x$ и $R = 1$ в у.е. С другой стороны, нам известно значение $v_0$ в $см/с$. Сравнивая эти две величины, получим соотношение между у.е. и см.

Ниже приведен типичный график (при $v = 5 ~см/с$) зависимости и таблица измерений для различных скоростей от 5 см/с до 30 см/с с шагом 5 см/с.

Оцененные по МНК погрешности скорости все время меньше единицы последнего разряда. При этом по графикам видно, что при малых скоростях разброс точек возрастает, поэтому в качестве окончательного ответа разумно выбрать значения, полученные при больших значениях скорости, а погрешность оценить по разбросу этих значений.

Сила, вызванная градиентом давлений, действует перпендикулярно изобарам. Сила трения направлена против скорости движения, а сила Кориолиса – перпендикулярна скорости. При этом в стационарном случае суммарное ускорение, создаваемое этими силами, должно быть равно нулю: $$ \vec{a}_p + \vec{a} _f + \vec{a}_c = 0. $$

Ответ:

Из треугольника ускорений получим соотношение $$ \tan \alpha = \frac{a_c}{a_f} = \frac{2 \Omega v \sin \phi}{k v} = \frac{2 \Omega \sin \varphi}{k}. $$ Отсюда получим

На рисунке приведен пример измерения угла с помощью транспортира в программе Tracker. Результаты измерений приведены в таблице ниже.

Пример построения для определения радиуса кривизны изобары. Результаты измерений приведены в таблице.

В первом файле кривизна небольшая, поэтому в первом приближении их можно заменить на прямые. В файле 2 у изобар значительная кривизна, ей нельзя пренебречь. Геострофическое приближение работает при $Ro \ll 1$.

Пример использования Tracker для измерения:

Измерения по карте дают расстояние от глаза урагана до отмеченной точки $R \approx 140~км$. Отсюда мы получим значение

Из определения числа Россби следует, что когда оно велико, сила Кориолиса мала по сравнению с силой градиента давления. Поэтому геострофическое приближение неприменимо. Сила градиента давления в основном компенсируется центробежной силой, которая в геострофическом приближении не учитывается. Мы можем предложить новое приближение, в котором мы пренебрегаем силой Кориолиса и учитываем только баланс сил градиента давления и центробежной силы, мы также не учитываем силу трения о земную поверхность. Тогда мы получим новое уравнение движения

Примечание: это приближение называется циклотронным и оно применяется при моделировании торнадо (для которых $Ro \sim 10^3$, за счет малого радиуса и большой скорости) и внутренней части тропических циклонов.