2.1  ^0.40 Рассчитайте, сколько автомобилей $N_{1}$, движущихся по полосе $A$, обгоняет автомобиль $B$ за время $t =1.0~мин$, а также время $\tau_{1}$ между двумя последовательными обгонами.

За время $t$ автомобиль в полосе $B$ обгонит только те автомобили, которые находятся от него на расстоянии
$$l = (v-(v-\Delta v))t=\Delta v t. \tag{1}$$
Следовательно, число этих автомобилей равно
$$N_{1}=nl=n\Delta v t\approx 0.83. \tag{2}$$
Время между обгонами составляет
$$\tau_{1}=\frac{1}{n\Delta v}=0.02~час=72~с. \tag{3}$$

2.2  ^0.40 Рассчитайте, сколько автомобилей $N_{2}$, движущихся по полосе $C$, которые обгоняют автомобиль на полосе $B$ за время $t =1.0~мин$, а также время $\tau_{2}$ между двумя последовательными обгонами.

Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что число обгонов и время между обгонами остаются прежними, то есть
$$
N_{2}=n l=n\Delta v t \approx 0.83, \tag{4}
$$
$$
\tau_{2}=\frac{1}{n\Delta v}=0.02~час=72~с. \tag{5}
$$

2.3  ^0.80 Рассчитайте числа автомобилей $N_{3}$, движущихся по полосе $A$, и $N_{4}$, движущихся по полосе $C$, которые встречает автомобиль $B$ за время $t =1.0~мин$, а также соответствующие времена $\tau_{3}$ и $\tau_{4}$ между двумя последовательными встречами.

При движении навстречу число встречных автомобилей и время между двумя последовательными встречами рассчитываются по формулам
$$
N_{3,4}=n(v+(v\pm \Delta v))t=n(2v\pm \Delta v)t, \\
\tau_{3,4}=\frac{1}{n(2v\pm\Delta v)}, \tag{6}
$$
а численные расчеты дают следующие значения
$$N_{3}=14.2; \tau_{3}=4.2~с; \\ N_{4}=15.8; \tau_{4}=3.8~с. \tag{7} $$

2.4  ^0.60 Выразите скорости шариков $u_{1}$ и $u_{2}$ после удара через их скорости до удара $v_{1}$ и $v_{2}$, а также массы шариков.

Запишем закон сохранения импульса
$$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2} \tag{8}$$
и закон сохранения механической энергии
$$\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2}+\frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}+\frac{m_{1}u_{1}^{2}}{2}+\frac{m_{2}u_{2}^{2}}{2}. \tag{9}$$

Перепишем эти уравнения в виде
$$m_1v_1-m_1u_1=m_2u_2-m_2v_2 \\ m_1v_1^2-m_1u_1^2=m_2u_2^2-m_2v_2^2 \tag{10}$$
и, разделив второе уравнение на первое, в результате получим
$$v_1+u_1=u_2+v_2. \tag{11}$$
Из этого равенства выразим $u_2=v_1+u_1-v_2$ и подставим в уравнение закона сохранения импульса
$$(m_1+m_2)u_1=(m_1-m_2)v_1+2m_2v_2, \tag{12}$$
из которого следует
$$u_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2. \tag{13}$$
Скорость второго шарика легко получить, если поменять индексы «1» и «2» в формуле $(13)$
$$u_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2. \tag{14}$$

2.5  ^1.60 Постройте семейство графиков зависимостей параметра $\eta_{1}$ от параметра $\eta_{2}$ для всех характерных значений отношений масс шариков $\mu$.

Используя формулу $(13)$, получим явный вид зависимости между требуемыми параметрами
$$\frac{u_1}{v_1}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}+\frac{2m_2}{m_1+m_2}\frac{v_2}{v_1}=\frac{1-\frac{m_2}{m_1}}{1-\frac{m_2}{m_1}}+\frac{2\frac{m_2}{m_1}}{1+\frac{m_2}{m_1}}\frac{v_2}{v_1} \Rightarrow \\ \eta_1=\frac{1-\mu}{1+\mu}+\frac{2\mu}{1+\mu}\eta_2. \tag{15}$$
Как следует из полученного выражения, при любых значениях отношения масс $\mu$ зависимость $\eta_1(\eta_2)$ является линейной, т.е. ее графиком является прямая линия. Также не сложно заметить, что все эти прямые проходят через точку $\eta_1=1$; $\eta_2=1$. При $\mu \rightarrow 0$ коэффициент наклона стремится к нулю $\eta_1=1$, то есть график зависимости стремится к горизонтальной прямой. При $\mu \rightarrow \infty$ искомая зависимость стремится к $$\eta_1=-1+2\eta_2. \tag{16}$$
Семейство графиков этих функций показано на рисунке ниже.

2.6  ^0.40 Найдите соотношение между параметрами $\eta_{2}$ и $\mu$, при котором первый шарик увеличивает свою энергию в результате столкновения.

Кинетическая энергия шарика увеличится, если модуль скорости шарика после удара станет больше модуля скорости до удара, то есть при выполнении неравенств
$$
\begin{equation*}
|\eta_1| > 1 \Rightarrow
\begin{cases}
\eta_1 > 1 \\
\eta_1 < -1. \tag{17}
\end{cases}
\end{equation*}
$$
Подставляя выражение $(15)$ для величины $\eta_1$, получим неравенства
$$
\begin{cases}
\frac{1-\mu}{1+\mu}+\frac{2\mu}{1+\mu}\eta_2 > 1 \\
\frac{1-\mu}{1+\mu}+\frac{2\mu}{1+\mu}\eta_2 < -1. \tag{18}
\end{cases}
$$
Решением этих неравенств являются следующие соотношения:
$а)$
$$\eta_2 > 1, \tag{19}$$
то есть для выполнения этого условия второй шарик должен догонять первый;
$б)$
$$\eta_{2} < -\frac{1}{\mu}, \tag{20}$$
в этом случае второй шарик должен двигаться навстречу и модуль его скорости должен превышать указанное значение.

2.7  ^0.30 Рассмотрите случай столкновения легкого шарика с тяжелым $m_{2} \gg m_{1}$. Найдите в этом предельном случае скорость первого шарика после столкновения $\tilde{u}_{1}$ и определите область значений скоростей тяжелого шарика $\eta_{2}$ до столкновения, при которых энергия легкого шарика возрастает в результате столкновения.

В предельном случае $m_2 \gg m_1$ скорость первого шарика после столкновения равна
$$\tilde{u}_1=-v_1+2v_2, \tag{21}$$
то есть скорость первого шарика изменяет знак (шарик отражается) и его модуль изменяется на удвоенную скорость второго, тяжелого шарика.
Легкий шарик увеличит свою скорость, а, следовательно, и кинетическую энергию, если:
$а)$ тяжелый шарик его догоняет (удар сзади) $v_2 > 1$;
$б)$ тяжелый шарик движется ему навстречу $v_2 < 0$.

2.8  ^0.40 Выразите максимальную скорость движения плиты $V_{0}$ через амплитуду и период ее колебаний.

Запишем закон движения плиты в традиционном виде
$$x(t)=A\cos(\omega t), \tag{22}$$
тогда зависимость скорости от времени описывается функцией
$$v(t)=-A\omega\sin(\omega t), \tag{23}$$
поэтому максимальная скорость движения платформы равна
$$V_0=A\omega=2\pi\frac{A}{T}. \tag{24}$$

2.9  ^2.70 Рассчитайте долю $\varphi$ налетающих шариков, которые после столкновения увеличат свою кинетическую энергию. Ответ выразите через $u$ и $V_{0}$. Для численной оценки отдельно рассмотрите два случая: $а)$ $u =1.5 V_{0}$; $б)$ $u= 0.50 V_{0}$.

Чтобы ответить на поставленный вопрос, достаточно рассмотреть один период колебаний платформы. Построим график зависимости координаты платформы от времени $(22)$ и нанесем на него графики зависимостей координат налетающих частиц от времени, представляющих собой
прямые линии $x=x_0-ut$.

На рисунке изображен случай $u > V_0$. Свою скорость в результате удара увеличат частицы, которые столкнутся с платформой в те моменты времени, когда платформа движется навстречу в положительном направлении оси $x$, при этом столкновения должны произойти в интервале времени от $\frac{T}{2}$ до $T$. Однако времена столкновений не являются равномерно распределенной случайной величиной, а равномерно распределены времена подлета к самой пластине, поэтому рассмотрим плоскость $x=A$, времена подлета к которой равновероятны. Проведем прямую, описывающую закон движения частицы, сталкивающуюся с платформой в момент времени $t=\frac{T}{2}$ (на рисунке — жирная линия). Обозначим $t_1$ как момент времени, когда эта частица пересекает плоскость $x=A$. Частицы, которые столкнулись с платформой после этого момента, увеличат свою скорость и энергию. Но эти частицы пересекут плоскость $x=A$ в интервале времен от $t_1$ до $T$, поэтому доля этих частиц рассчитывается как
$$\eta=\frac{T-t_1}{T}. \tag{25}$$
Момент времени $t_1$ легко найти из закона движения этой частицы
$$t_1=\frac{T}{2}-\frac{2A}{u}, \tag{26}$$
тогда доля ускорившихся частиц равна
$$\eta=\frac{T-t_1}{T}=\frac{1}{2}+\frac{2A}{uT}=\frac{1}{2}+\frac{V_0}{\pi u}. \tag{27}$$
Здесь использовано соотношение, следующее из формулы $(24)$: $\frac{2A}{T}=\frac{V_0}{\pi}$. Подставим указанное численное значение $u=1.5V_0$, получим:
$$\eta=\frac{1}{2}+\frac{1}{1.5\pi}\approx 0.71. \tag{28}$$
Несколько иная ситуация реализуется при $u < V_0$, которая показана на рисунке ниже.

В этом случае «граница» $t_1$ между частицами ускорившимися и затормозившимися определяется прямой, которая является касательной к графику закона движения платформы, как показано на рисунке ниже.

При касании графиков двух функций в момент времени $t_2$ совпадают значения как самих функций, так и их производных, то есть скоростей движения платформы и шарика, поэтому
$$-A \omega\sin(\omega t_2)=-u, \tag{29}$$
откуда находим
$$
t_2=\frac{1}{\omega} \arcsin\frac{u}{A\omega}=\frac{T}{2\pi}\arcsin\frac{u}{V_0}. \tag{30}
$$
$$
x_2=A\cos\omega t_2=A\sqrt{1-\sin^2\omega t_2}=A\sqrt{1-\frac{u^2}{V_0^2}}. \tag{31}
$$
Эти выражения позволяют определить время подлета к плоскости $x=A$
$$
t_1=t_2-\frac{A-x_2}{u}=\frac{T}{2\pi}\left(\arcsin\frac{u}{V_0}-\frac{V_0}{u}\left(1-\sqrt{1-\frac{u^2}{V_0^2}}\right)\right). \tag{32}
$$
Отношение этого времени к периоду колебаний определяет долю частиц, которые столкнутся с платформой, догоняя ее, поэтому их энергия уменьшится:
$$
1-\eta=\frac{1}{2\pi}\left(\arcsin\frac{u}{V_0}-\frac{V_0}{u}\left(1-\sqrt{1-\frac{u^2}{V_0^2}}\right)\right)\approx 0.04, \tag{33}
$$
следовательно, доля частиц, энергия которых увеличиться после удара, равна
$$\eta \approx 0.96. \tag{34}$$

2.10  ^0.20 Выразите значение модуля скорости движения плиты $V$ через амплитуду и период ее колебаний.

За один период колебаний платформа проходит путь $4A$, поэтому модуль ее скорости равен
$$V=\frac{4A}{T}. \tag{35}$$

2.11  ^2.20 Рассчитайте, во сколько раз изменится средняя энергия налетающих шариков $\varepsilon =\frac{E}{E_{0}}$, где $E_{0}$ — кинетическая энергия шариков до столкновения, $E$ — средняя энергия шариков после столкновения с колеблющейся плитой. Для численной оценки отдельно рассмотрите два случая: $а)$ $u =1.5 V$; $б)$ $u= 0.50 V$.

При скорости шарика больше скорости платформы доля шариков, увеличивших свою энергию в следствие удара, рассчитывается по формуле, аналогичной формуле $(27)$:
$$\eta=\frac{T-t_1}{T}=\frac{1}{2}+\frac{2A}{uT}=\frac{1}{2}+\frac{V}{2u}, \tag{36}$$
а соответствующий рисунок показан ниже.

Так как модуль скорости платформы принимается постоянным, то модуль скорости частиц после удара станет равным
$$ u_{+}=u+2V. \tag{37}$$
Скорости частиц, которые столкнуться с платформой в интервале времени от $0$ до $t_1$, будут равны
$$u_{-}=u-2V. \tag{38}$$
Таким образом, средняя энергия частиц после удара станет равной
$$
E=\eta\frac{mu_{+}^{2}}{2}+(1-\eta)\frac{mu_{-}^{2}}{2}=\frac{m}{2}\left(\left(\frac{1}{2}+\frac{V}{2u}\right)(u+2V)^{2}+\left(\frac{1}{2}-\frac{V}{2u}\right)(u-2V)^{2}\right)= \\
=\frac{mu^{2}}{4}\left(\left(1+\frac{V}{u}\right)\left(1+2\frac{V}{u}\right)^{2}+\left(1-\frac{V}{u}\right)\left(1-2\frac{V}{u}\right)^{2}\right)=\frac{mu^{2}}{2}\left(1+8\left(\frac{V}{u}\right)^{2}\right), \ (39)
$$
а, следовательно, увеличение средней энергии равно
$$\varepsilon=1+8\left(\frac{V}{u}\right)^{2} \approx 4.6. \tag{40}$$
Если, скорость частиц меньше скорости платформы, то все частицы столкнутся с платформой на встречном движении, поэтому все частицы увеличат свою скорость и энергию. После столкновения скорости частиц станут равными $u_{+} = u + 2V$, а их энергия
$$E=\frac{m}{2}(u+2V)^{2}=\frac{mu^{2}}{2}\left(1+2\frac{V}{u}\right)^{2}, \tag{41}$$
а, следовательно, отношение энергий частиц после и до столкновения равно
$$\varepsilon=\left(1+2\frac{V}{u}\right)^{2}=25.0. \tag{42}$$