Под действием однородного электрического поля электрон движется с постоянным ускорением
$$a=\frac{eE}{m}, \tag{1}$$которое направлено в отрицательном направлении оси $x$, поэтому максимальное значение достигаемой координаты определяется выражением
$$x_{\max}=\frac{u_{0}^{2}}{2a}=\frac{mu_{0}^{2}}{2eE}. \tag{2}$$

При движении в однородном магнитном поле на электрон действует сила Лоренца, равная
$$F_{L}=eu_{0}B, \tag{3}$$и он совершает движение по окружности, радиус $R$ которой определяется из второго закона Ньютона
$$m\frac{u_{0}^{2}}{R}=F_{L}, \tag{4}$$откуда получаем
$$R=\frac{mu_{0}}{eB}. \tag{5}$$Очевидно, что максимальное значение координаты при этом равно
$$x_{\max}=R=\frac{mu_{0}}{eB}. \tag{6}$$

Задача проще всего решается в лабораторной системе отсчета, в которой электрон двигается по окружности с частотой, определяемой формулой $(5)$ в виде
$$\omega=\frac{u_{0}}{R}=\frac{eB}{m}. \tag{7}$$При сообщении электрону малой дополнительной скорости он перейдет на движение по окружности, близкой к первоначальной и пересекающейся с ней в двух диаметрально противоположных точках, что можно рассматривать как движение по замкнутой двумерной траектории с периодом
$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi m}{eB}. \tag{8}$$

В момент, когда координата $x$ максимальна, скорость частицы $u$ направлена вдоль оси $z$ и по закону сохранения энергии равна
$$eEx_{\max}=\frac{mu^{2}}{2}. \tag{9}$$В проекции на ось $z$ уравнение движения записывается в конечных разностях виде
$$m\frac{\Delta u_{z}}{\Delta t}=eBu_{x}, \tag{10}$$что с учетом $\Delta x=u_{x}\Delta t$ приводит к соотношению
$$m\Delta u_{z}=eB\Delta x, \tag{11}$$которое для искомого момента принимает вид
$$mu=eBx_{\max}. \tag{12}$$Решая совместно уравнения $(9)$ и $(12)$, окончательно получаем
$$x_{\max}=\frac{2mE}{eB^{2}}. \tag{13}$$

Так как магнитное поле работы не совершает, то скорость электрона остается постоянной по модулю и равной начальной
$$u=u_{0}=\operatorname{const}. \tag{14}$$Разобьем полную скорость на радиальную $u_{r}=dr/dt$ и азимутальную $u_{\varphi}=rd\varphi/dt$ составляющие. Момент импульса электрона относительно начала координат очевидно равен
$$L=mru_{\varphi}, \tag{15}$$а момент силы Лоренца относительно той же точки $$M=eBu_{r}r. \tag{16}$$Согласно уравнению моментов имеем
$$\frac{dL}{dt}=M, \tag{17}$$что с использованием $u_{r}=dr/dt$ приводит к соотношению
$$d(mru_{\varphi})=e\alpha r^{2}dr. \tag{18}$$В момент времени, когда расстояние до оси $z$ максимально, радиальная скорость обращается в ноль, а азимутальная скорость равна начальной в соответствии с формулой $(14)$, поэтому интегрирование соотношения $(18)$ приводит к уравнению
$$mr_{\max}u_{0}=e\alpha \frac{r_{\max}^{3}}{3}, \tag{19}$$из которого следует, что
$$r_{\max}=\sqrt{\frac{3m u_{0}}{e\alpha}}. \tag{20}$$

Так как электрон все время движется по окружности, то, согласно уравнению $(5)$, при нарастании магнитного поля на его орбите $B_{0}$ производная импульса меняется по закону
$$\frac{dp}{dt}=er\frac{dB_{0}}{dt}. \tag{21}$$Электрон приходит в движение за счет вихревого электрического поля, напряженность $E$ которого определяется соотношением
$$E=\frac{1}{2\pi r}\frac{d\Phi}{dt}, \tag{22}$$в которое по закону Фарадея входит поток магнитной индукции через орбиту электрона, равный
$$\Phi=\int\limits_0^r B(r)2\pi rdr. \tag{23}$$Уравнение второго закона Ньютона для ускорения электрона по орбите имеет вид
$$\frac{dp}{dt}=e E. \tag{24}$$Совместное решение уравнений $(21)-(24)$ приводит к следующему равенству для магнитного поля, которое называется циклотронным условием
$$\int\limits_0^r B(r)2\pi rdr=2\pi r^{2}B_{0}. \tag{25}$$Из формулы $(25)$ заключаем, что его выполнение возможно только в случае, когда электрон движется в области магнитного поля с индукцией $B_{0}=B_{2}$, поэтому интегрируя заданную в условии магнитную индукцию как функцию расстояния, получаем соотношение
$$B_{1}\pi r_{1}^{2}+B_{2}\pi(r^{2}-r_{1}^{2})=2\pi r^{2}B_{2}, \tag{26}$$решение которого имеет вид
$$\frac{B_{1}}{B_{2}}=1+\frac{r^{2}}{r_{1}^{2}}. \tag{27}$$Движение электрона по окружности возможно только в той области, в которой индукция равна $B_{2}$, то есть при $r_{1} < r < r_{2}$, а значит искомое отношение должно лежать в интервале
$$2< \frac{B_{1}}{B_{2}} < 1+\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}. \tag{28}$$

Пусть на единицы длины цилиндрического катода и анода приходится заряд, равный $\lambda$, а полная длина электродов составляет $l$. Тогда по теореме Гаусса, напряженность электрического поля в пространстве между катодом и анодом определяется уравнением
$$E2\pi rl=\frac{\lambda l}{\varepsilon_{0}}, \tag{29}$$откуда получаем
$$E=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_{0}r}. \tag{30}$$Здесь $r$ — расстояние до оси магнетрона.
Зависимость разности потенциалов от расстояния $r$ по определению записывается в виде интеграла
$$V=\int\limits_a^r Edr=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_{0}}\ln \frac{r}{a}, \tag{31}$$который в частности для $r=b$ дает
$$V_{0}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{b}{a}. \tag{32}$$Решая совместно уравнения $(31)$ и $(32)$, получаем
$$V=V_{0}\frac{\ln(r/a)}{\ln(b/a)}=57.6~В. \tag{33}$$

Рассмотрим тонкое кольцо радиуса $R$, по которому протекает ток $j$, и рассчитаем величину магнитной индукции в точке на оси кольца, отстоящей от его центра на расстоянии $z$. Разобьем кольцо на малые элементы $dl$, тогда магнитная индукция определяется следующим законом Био-Саварра
$$d\vec{B}=\frac{\mu_{0}j}{4\pi}\frac{d\vec{l} \times \vec{r}}{r^{3}}, \tag{34}$$в котором вектор $r$ проведен из точки расположения элемента тока $dl$ в точку $O$, в которой ищется магнитная индукция.
Из геометрических соотношений следует, что
$$ dl \times r =dl \cdot r, \tag{35}$$а так как результирующая магнитная индукция направлена вдоль оси кольца
$$dB_{z}=dB\sin\alpha, \tag{36}$$то, используя геометрическое соотношение $R=r\sin\alpha$, окончательно получаем
$$dB_{z}=\frac{\mu_{0}j}{4\pi}\frac{Rdl}{r^{3}}. \tag{37}$$

Учитывая, что расстояния, входящие в формулу $(37)$, являются постоянными и
$$r^{2}=R^{2}+z^{2}, \tag{38}$$то после суммирования по всем элементам кольца находим
$$B_{z}=\frac{\mu_{0}j}{2}\frac{R^{2}}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}. \tag{39}$$Рассчитаем теперь индукцию магнитного поля в центре соленоида, так как именно там расположена лампа магнетрона. Для этого рассмотрим витки, расположенные на расстоянии от центра от $z$ до $z+dz$, по которым протекает ток
$$dj=\frac{NI}{L}dz. \tag{40}$$Эти витки можно рассматривать как кольцо, магнитная индукция которого определяется формулой $(39)$, из которой получаем
$$dB=\frac{\mu_{0}NI}{2L}\frac{R^{2}}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}dz, \tag{41}$$что после интегрирования дает окончательное выражение
$$B=\frac{\mu_{0}NIR^{2}}{2L}\int\limits_{-L/2}^{L/2}\frac{dz}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}=\frac{\mu_{0}NI}{L\sqrt{1+D^{2}/L^{2}}}, \tag{42}$$где использовано выражение для диаметра $D=2R$.
Для движения электронов в магнетроне справедлива формула, аналогичная формуле $(18)$ и имеющая вид
$$d(mru_{\varphi})=e B r dr, \tag{43}$$интегрирование которой при условии постоянства магнитной индукции и $a\ll b$ дает
$$mru_{\varphi}=\frac{1}{2}eBr^{2}. \tag{44}$$С другой стороны, из закона сохранения энергии следует, что
$$\frac{m}{2}(u_{r}^{2}+u_{\varphi}^{2})=eV. \tag{45}$$В момент достижения критической величины тока магнитная индукция вблизи анода становится такой, что радиальная скорость электронов обращается в ноль, что приводит к условиям
$$u_{r}=0, r=b, V=V_{0}, \tag{46}$$что с использованием выражений $(44)$ и $(45)$ дает критическую величину магнитного поля
$$B=\sqrt{\frac{8mV_{0}}{eb^{2}}}. \tag{47}$$Используя формулу $(42)$, находим соответствующую величину тока в соленоиде
$$I_{\min}=\sqrt{\frac{8mV_{0}}{e}(1+D^{2}/L^{2})}\frac{L}{\mu_{0}Nb}=0.701~А. \tag{48}$$

Начальная энергия электронов в лампе вблизи катода определяется температурой самого катода и составляет порядка
$$E_{T}=k_{B}T. \tag{49}$$Эта энергия, очевидно, должна быть много меньше энергии электронов вблизи анода $E_{0}$, то есть
$$E_{T} \ll E_{0}$$где $E_{0}=eV_{0}$, откуда получаем искомую оценку
$$T \ll \frac{eE_{0}}{k_{B}}=8.70\cdot 10^{5}~К, \tag{51}$$что фактически означает применимость использованного приближения, так как температура катода обычно минимум на два порядка меньше.