Непосредственный расчет по формуле Вина дает результат
$$\lambda_{\max S}=\frac{b}{T_S}=0.446~мкм. \tag{1}$$

В установившемся режиме мощность солнечного излучения, падающего на Землю, равна мощности теплового излучения Земли.

При записи уравнения энергетического баланса необходимо учесть, что Солнце освещает Землю с одной стороны, а Земля излучает во все стороны, поэтому следует записать
$$W\cdot \pi R^2=\sigma T_0^4\cdot 4\pi R^2. \tag{2}$$Из этого уравнения находим
$$T_0=\sqrt[4]{\frac{W}{4\sigma}}=280.3~К, \tag{3}$$а эта же температура в градусах Цельсия равна
$$t_0=7.15^{\circ}\mathrm{C}. \tag{4}$$

По формуле Вина находим, что при данной температуре максимум излучения приходится на длину волны
$$\lambda_{\max E}=\frac{b}{T_E}=10.3~мкм. \tag{5}$$

Те же геометрические соотношения, которые приводят к уравнению $(2)$, позволяют заключить, что мощность солнечного излучения, приходящаяся на единицу площади поверхности Земли
$$w=\frac{W\cdot \pi R^2}{4\pi R^2}=\frac{W}{4}=350~Вт/м^2. \tag{6}$$

Введем следующие обозначения:
$t_1$ (или $T_1$ в шкале Кельвина) — температура поверхности Земли и прилегающего непосредственно к ней нижнего слоя атмосферы; $t_2$ (или $T_2$) — температура верхнего слоя атмосферы; $w$ — плотность потока солнечного излучения, то есть энергия, падающая на единицу площади поверхности Земли в единицу времени (или излучаемая); $R_1$ — мощность теплового излучения с единицы площади Земли; $R_2$ — мощность теплового излучения с единицы площади атмосферного слоя; потоки
излучения этого слоя в сторону Земли и в космическое пространство одинаковы.

Уравнение энергетического баланса для единицы площади поверхности Земли имеет вид
$$w+R_2=R_1. \tag{7}$$Аналогичное уравнение для верхнего слоя атмосферы дает
$$KR_1=2R_2. \tag{8}$$С помощью законов теплового излучения энергетические потоки можно выразить через температуры излучающих поверхностей следующим образом
$$R_1=\sigma T_1^4, \tag{9}$$$$R_2=K\sigma T_2^4. \tag{10}$$Следовательно, из выражений $(7)$-$(10)$ с учетом формул $(2)$ и $(3)$ получаем температуру поверхности Земли в виде
$$T_1=\frac{T_0}{\sqrt[4]{1-\frac{K}{2}}}. \tag{11}$$

Для максимального парникового эффекта $K =1$, поэтому в данной модели
$$T_1=T_0\sqrt[4]{2}=333.3~К=60.2^{\circ}\mathrm{C}. \tag{12}$$Таким образом, предельное увеличение температуры вследствие парникового эффекта на «черной земле» равно
$$\Delta t_1=53.0^{\circ}\mathrm{C}. \tag{13}$$

Земля как черное тело излучает энергию
$$W_0=\int\limits_0^{\infty}r_0(\lambda,T_1)d\lambda. \tag{14}$$Поглощенную энергию можно выразить через спектральный коэффициент поглощения и спектральную плотность излучения Земли следующим образом
$$W_A=\int\limits_0^{\infty}k(\lambda)r_0(\lambda,T_1)d\lambda, \tag{15}$$тогда суммарный коэффициент поглощения земного излучения верхним слоем атмосферы рассчитывается по формуле
$$
K=\frac{W_A}{W_0}=\frac{\int\limits_0^{\infty}k(\lambda)r_0(\lambda,T_1)d\lambda}{\int\limits_0^{\infty}r_0(\lambda,T_1)d\lambda}=\frac{\sigma T_1^4\int\limits_0^{\infty}k(\lambda)\varphi(\lambda,T_1)d\lambda}{\sigma T_1^4\int\limits_0^{\infty}\varphi(\lambda,T_1)d\lambda}=\int\limits_0^{\infty}k(\lambda)\varphi(\lambda,T_1)d\lambda. \tag{16}
$$

Так как в указанном диапазоне длин волн от $5.0$ до $8.0~мкм$ водяной пар поглощает все падающее излучение, то суммарный коэффициент поглощения равен доле энергии излучения, попадающего в данный интервал. Эту долю энергии можно рассчитать, как площади под графиками, приведенными в условии задачи.

Расчет, проведенный по $4$ точкам, дает следующие значения для коэффициентов поглощения
$$t_1=0^{\circ}\mathrm{C}: \quad K_0=0.092, \tag{17}$$$$t_1=50^{\circ}\mathrm{C}: \quad K_{50}=0.158. \tag{18}$$

Из вида предложенной зависимости $K(t_1)=K_0(1+\alpha t_1)$ следует, что
$$K_0=0.092, \tag{19}$$$$\alpha=\frac{1}{t_{50}}\left(\frac{K_{50}}{K_0}-1\right)=0.014~К^{-1}. \tag{20}$$

При температуре $t_1=5.4^{\circ}\mathrm{C}$ коэффициент поглощения верхнего слоя атмосферы равен
$$K(t_0)=K_0(1+\alpha t_0)=0.101. \tag{21}$$Так как коэффициент поглощения мал, то формулу $(12)$ для установившейся температуры можно упростить
$$T_1=\frac{T_0}{\sqrt[4]{1-\frac{K}{2}}}\approx T_0\left(1+\frac{K}{8}\right), \tag{22}$$тогда увеличение температуры равно
$$\Delta t_1=T_0\frac{K(t_0)}{8}=3.55^{\circ}\mathrm{C}. \tag{23}$$

Для точного ответа на поставленный вопрос необходимо решить уравнение
$$T_1=\frac{T_0}{\sqrt[4]{1-\frac{K(T_1)}{2}}}. \tag{24}$$Однако, относительное изменение абсолютной температуры мало, поэтому представим искомую температуру в виде
$$T_1=T_0+\Delta t, \tag{25}$$из которого находим значение изменения температуры при условии $\Delta t \ll T_0$
$$
\Delta t=\frac{T_0\frac{K_0(1+\alpha t_0)}{8}}{1-T_0\frac{\alpha K_0}{8}}=\frac{\Delta t_1}{1-T_0\frac{\alpha K_0}{8}}\approx 3.73^{\circ}\mathrm{C}. \tag{26}
$$

Рассчитаем коэффициент поглощения, обусловленный углекислым газом. Для проведения оценок можно считать, что температура воздуха мало отличается от $0^{\circ}\mathrm{C}$. Для этого учтем, что: 1) в диапазоне от $2.5$ до $3.0~мкм$ энергия теплового излучения земли пренебрежимо мала; 2) в диапазоне от $6.5~мкм$ до $7.0~мкм$ все поглощено водяным паром; 3) в диапазоне от $16~мкм$ до $18~мкм$ доля энергии излучения равна (расчет по графику для $t=0^{\circ}\mathrm{C}$) $\Phi = 0.08$. Поэтому дополнительный коэффициент поглощения из-за наличия углекислого газа равен
$$K_2=0.04. \tag{27}$$Так как поглощение углекислого газа и водяного пара лежат в разных спектральных диапазонах, то суммарный коэффициент поглощения равен сумме коэффициентов поглощения водой и углекислым газом. Тогда изменение установившейся температуры поверхности (при учете поглощения углекислым газом) возрастает на величину
$$\Delta t_1=T_0\frac{K_2}{8}\approx 1.4^{\circ}\mathrm{C}. \tag{28}$$

Для расчета коэффициента поглощения при увеличении концентрации воспользуемся очевидным рассуждением: при наличии нескольких поглощающих слоев суммарное пропускание равно произведению коэффициентов пропускания отдельных слоев, поэтому
$$1-k_1=(1-k_0)^2. \tag{29}$$Отсюда следует, что при увеличении концентрации в два раза спектральный коэффициент поглощения возрастет от $0.50$ до
$$k_1=2k_0-k^2_0=0.75. \tag{30}$$Поэтому суммарный коэффициент поглощения станет равным
$$K_2=k\Phi=0.06. \tag{31}$$т.е. возрастет на $\Delta K_2=0.02$. Следовательно, дополнительное возрастание температуры составит всего
$$\Delta t_1^{'}=T_0\frac{\Delta K_2}{8}\approx 0.7^{\circ}\mathrm{C}. \tag{32}$$