3.1  ^0.80 Пусть параллельный пучок света интенсивностью $I_0$ падает на плоскую поверхность под углом $\varphi$ к нормали, а коэффициент отражения от поверхности составляет $R=I_r/I_0$, где $I_r$ — интенсивность отражённого света. Найдите давление света $p_s$ на поверхность при условии, что коэффициент отражения не зависит от угла падения.

Пусть концентрация фотонов с энергией $\varepsilon$ в падающем излучении равна $n$, тогда интенсивность волны определяется соотношением
$$I_0=c\varepsilon n, \tag{1}$$где $c$ — скорость света.
Число фотонов $\Delta N$, падающих за время $\Delta t$ на площадку $\Delta S$ под углом $\varphi$ составляет
$$\Delta N=cn\Delta t \Delta S\cos\varphi. \tag{2}$$Число поглощенных фотонов за это же время составляет
$$\Delta N_a=(1-R)\Delta N, \tag{3}$$а отраженных
$$\Delta N_r=R\Delta N. \tag{4}$$Нормальная компонента импульса, передаваемая одним фотоном площадке при поглощении, равен
$$\Delta p_a=\frac{\varepsilon}{c}\cos\varphi, \tag{5}$$а при отражении
$$\Delta p_r=2\frac{\varepsilon}{c}\cos \varphi. \tag{6}$$Полный переданный площадке импульс определяется выражением
$$\Delta p=\Delta N_a\Delta p_a+\Delta N_r \Delta p_r, \tag{7}$$а искомое давление вычисляется по формуле
$$p_s=\frac{\Delta p}{\Delta S \Delta t}=\frac{I_0}{c}(1+R)\cos^2\varphi. \tag{8}$$

3.2  ^0.40 Рассчитайте давление $p_s$ солнечного излучения, интенсивность которого равна $I_s=1400~Вт/м^2$. Считайте, что свет падает перпендикулярно на: $а)$ полностью поглощающую земную поверхность; $б)$ полностью отражающую (зеркальную) поверхность.

При нормальном падении $\varphi=0$ и при полном поглощении $R = 0$ получаем
$$p_s=\frac{I_s}{c}=4.70\cdot10^{-6}~Па. \tag{9}$$и, соответственно, при полном отражении $R =1$
$$p_s=\frac{2I_s}{c}=9.40\cdot10^{-6}~Па. \tag{10}$$

3.3  ^1.00 Шар радиусом $R = 1.00~м$ освещается широким параллельным пучком солнечного света интенсивностью $I_s=1400~Вт/м^2$. Одна половина шара изготовлена из материала, который полностью отражает свет, а другая — полностью его поглощает. Обе половинки освещаются пучком симметрично. Рассчитайте момент сил давления света, действующий на шар относительно его оси симметрии, перпендикулярной пучку и лежащей в плоскости, делящей шар на зеркальную и поглощающую половинки.

Рассмотрим сечение сферической поверхности, перпендикулярное падающему потоку света. Для зеркальной части поверхности, которая полностью отражает свет, момент сил равен нулю, так как передаваемый импульс направлен строго по радиусу сферы.

Рассмотрим в сечении полоску, расположенную от центра сферы на расстояниях от $x$ до $x+dx$. Выбранная часть полностью поглощающей поверхности имеет площадь
$$dS=2\sqrt{R^2-x^2}dx, \tag{11}$$а число поглощаемых фотонов в единицу времени равно
$$\Delta N_a=\frac{I_s}{\varepsilon}dS, \tag{12}$$каждый из которых имеет импульс
$$\Delta p_a=\frac{\varepsilon}{c}. \tag{13}$$Плечо составляет величину
$$l=x, \tag{14}$$поэтому момент сил, действующий на выбранную площадку равен
$$dM=\Delta N_a \Delta p_a l=\frac{2I_s}{c}\sqrt{R^2-x^2}xdx, \tag{15}$$а полный момент сил определяется интегралом
$$M=\int\limits_0^R dM=\frac{2I_sR^3}{3c}=3.13\cdot10^{-6}~Н\cdot м. \tag{16}$$

3.4  ^3.60 Найдите максимальное расстояние $R$ от Солнца до станции.

В начальной точке покоя станции массой $m$ с парусом площадью $S$, находящемся на расстоянии $R_0$ от Солнца массой $M_S$ гравитационная сила в точности уравновешивается силой давления света, что приводит к уравнению
$$G\frac{M_S m}{R_0^2}=\frac{2n_0\varepsilon}{c}S, \tag{17}$$где $G$ — гравитационная постоянная, $n_0$ — концентрация фотонов солнечного излучения с энергией $\varepsilon$ в точке нахождения станции.
Ввиду сферически симметричного расширения, концентрация фотонов изменяется с расстоянием от Солнца $r$ по закону
$$n(r)=n_0\left(\frac{R_0}{r}\right). \tag{18}$$Начальный импульс фотонов до столкновения с парусом равен
$$p_0=\frac{\varepsilon}{c}, \tag{19}$$а конечный составляет
$$p=\frac{\varepsilon}{c}\frac{c-V}{c+V}. \tag{20}$$Это соотношение легко получается из кинематики и представляет собой формулу для эффекта Доплера. Кроме того, импульс фотона после отражения от зеркала несложно получить из законов сохранения импульса и энергии, рассмотрев абсолютно упругое столкновение фотона с движущимся массивным зеркалом.
Таким образом изменение импульса фотона передается зеркалу и равно
$$\Delta p=p-p_0=\frac{2\varepsilon}{c+V}, \tag{21}$$а количество фотонов, падающих в единицу времени $\Delta t$ на парус, составляет
$$\frac{\Delta N}{\Delta t}=n(r)S(c-V). \tag{22}$$Отсюда сила, действующая на станцию со стороны света, определяется выражением
$$f=\Delta p\frac{\Delta N}{\Delta t}=2n_0\varepsilon S\left(\frac{R_0}{r}\right)^2\frac{c-V}{c+V}=G\frac{M_S m}{r^2}\frac{c-V}{c+V}. \tag{23}$$На станцию также действует сила гравитационного притяжения со стороны Солнца равная
$$f_g=G\frac{M_S m}{r^2}, \tag{24}$$а значит движение станции в радиальном направлении описывается вторым законом Ньютона в виде
$$m\frac{dV}{dt}=f-f_g=-2G\frac{M_S m}{r^2}\frac{V}{c+V}. \tag{25}$$Принимая во внимание, что для малого перемещения
$$dr=Vdt, \tag{26}$$из выражения $(25)$ получаем дифференциальное уравнение
$$(c+V)dV=-2GM_S\frac{dr}{r^2}, \tag{27}$$которое легко интегрируется и дает при условии остановки станции
$$cV_0+\frac{1}{2}V_0^2=2GM_S\left(\frac{1}{R_0}-\frac{1}{R}\right). \tag{28}$$Решая уравнение $(28)$, находим искомое расстояние
$$R=\frac{R_0}{1-\frac{(cV_0+1/2V_0^2)R_0}{2GM_S}}, \tag{29}$$которое при условии движения Земли по орбите
$$GM_S=V_E^2 r_E, \tag{30}$$а также соотношения $V \ll c$, дает окончательный ответ
$$R=\frac{R_0}{1-\frac{cV_0R_0}{2V_E^2 r_E}}=9.93\cdot 10^{10}~м. \tag{31}$$

3.5  ^0.40 Определите минимальное значение скорости $V_0=V_{\min}$, при котором станция сможет улететь сколько угодно далеко от Солнца.

Из формулы $(31)$ следует, что станция сможет уйти на бесконечность $R \rightarrow \infty$, только если знаменатель выражения обратится в ноль, откуда следует
$$V_{\min}=\frac{2V_E^2r_E}{cR_0}=18.1~м/с. \tag{32}$$

3.6  ^2.00 Определите характерное время $\tau$, за которое расстояние до Солнца $R$ уменьшится на относительную величину $\mu=\frac{\delta R}{R}=10^{-4}$.

Масса пылинка определяется выражением
$$m=\rho\frac{4}{3}\pi a^3, \tag{33}$$а площадь ее поперечного сечения составляет
$$S=\pi a^2. \tag{34}$$Определим эффективную силу, действующую на частицу в результате поглощения света. Чтобы свести ее к давлению света, перейдем в систему отсчета, связанную с частицей. В этой системе отсчета на частицу действует давление света, вычисляемое по формуле $(9)$, но ее направление не совпадает с радиальным ввиду аберрации света, а именно составляет с ним малый угол $V/c$. Таким образом, в тангенциальном направлении траектории частицы появляется сила, обусловленная поглощением фотонов, равная
$$F=-V\frac{I_s}{c^2}S, \tag{35}$$которая создает момент относительно центра притяжения, равный
$$M=-FR. \tag{36}$$Так как движение пылинки является практически круговым, то ее скорость можно записать так
$$V=\sqrt{\frac{GM_S}{R}}, \tag{37}$$а момент импульса относительно притягивающего центра
$$L=mVR. \tag{38}$$Собирая совместно уравнения $(33)$-$(38)$, получаем
$$\frac{dL}{dt}=M, \tag{39}$$откуда окончательно находим искомое время в следующем виде
$$\tau=\frac{2\mu\rho ac^2}{3I_s}=1.27\cdot 10^{10}~с. \tag{40}$$При выводе мы пренебрегли изменением интенсивности излучения Солнца с расстоянием, так как радиус орбиты уменьшился незначительно и соответствующие поправки являются малыми более высокого порядка.

Примечание: последовательное объяснение эффекта Пойнтинга-Робертсона основано на следующей трактовке. В системе отсчета, связанной с частицей, она поглощает солнечное излучение, которое распространяется под малым углом к радиальному направлению, а затем переизлучает накопленную энергию изотропно во всех направлениях. В системе отсчета, связанной с Солнцем, первичное излучение Солнца распространяется в радиальном направлении, а переизлучение самой частицы уже не является изотропным. В первом случае появление момента силы торможения объясняется аберрацией солнечного излучения, а во втором — эффектом Доплера для переизлучения самой частицы. 

3.7  ^1.00 Найдите величину действующей на микрочастицу силы.

Рассчитаем силу, действующую на первую собирающую линзу, которая равна полному изменению импульса фотонов, падающих на линзу в единицу времени. Очевидно, что импульс изменяется из-за преломления света в стекле, то есть меняется его направление, но не модуль.
Рассмотрим все лучи, проходящие через кольцо на линзе, расположенное от ее центра на расстояниях от $r$ до $r+dr$.

Площадь этого кольца равна
$$dS=2\pi rDr. \tag{41}$$Изменение продольного импульса фотонов, проходящих в единицу времени через данное кольцо равно
$$dp_{||}=\frac{I}{c}(1-\cos\theta)dS, \tag{42}$$где угол преломления равен
$$\sin\theta=\frac{r}{F}, \tag{43}$$так как все лучи сходятся в фокусе линзы.
Интегрируя полученное выражение по всей поверхности линзы получаем
$$F_{||}=\int\limits_0^R dp_{||}=\frac{\pi I}{c}\left(R^2-\frac{2}{3F}\left[F^3-\left(F^2-R^2\right)^{3/2} \right] \right)\approx \frac{\pi IR^4}{4cF^2}=2.64\cdot10^{-17}~Н. \tag{44}$$Так как фокусы линзы $

3.8  ^0.80 Найдите величину действующей на микрочастицу поперечной к лучу силы.

Рассмотрим все лучи, проходящие через элемент полукольца на линзе, расположенный от ее центра на расстояниях от $r$ до $r+rd$, а также отсекаемый азимутальными углами от $\beta$ до $\beta+d\beta$. Площадь этого элемента полукольца равна
$$dS=r dr d\beta. \tag{45}$$Изменение поперечного импульса фотонов, проходящих в единицу времени через данное кольцо равно
$$dp_{\perp}=\frac{I}{c}\sin\theta\sin\\beta dS, \tag{46}$$а интегрирование по всей поверхности половины линзы с учетом формулы $(43)$ приводит к выражению
$$f_{\perp}=\int dp_{\perp}=\frac{I}{cF}\int\limits_0^{\pi}\int\limits_0^R r^2 dr\sin\beta d\beta=\frac{2IR^3}{3cF}=2.24\cdot 10^{-16}~Н. \tag{47}$$