В стационарном режиме $dn_1/dt =0$, тогда из уравнения $(1)$ следует, что населенность возбужденного состояния задается формулой
$$\vec n_1=\frac{I_0\sigma\tau}{1+2I_0\sigma\tau}. \tag{2}$$Соответственно, разность населенностей возбужденного и основного состояний равна
$$\Delta\vec n=\vec n_1-(1-\vec n_1)=2\frac{I_0\sigma\tau}{1+2I_0\sigma\tau}-1=-\frac{1}{1+2I_0\sigma\tau}. \tag{3}$$

В данной схеме отсутствуют вынужденные переходы «вниз», поэтому балансное уравнение для населенности состояния $2$ будет иметь вид:
$$\frac{dn_2}{dt}=-\frac{n_2}{\tau}+I_0\sigma(1-n_2). \tag{4}$$При записи уравнения учтено, что молекула может находиться только в двух состояниях: возбужденном $2$, или основном $0$.

В стационарном режиме $dn_2/dt=0$, поэтому, как следует из уравнения $(4)$, населенность возбужденного состояния будет равна
$$\vec n_2=\frac{I_0\sigma}{\frac{1}{\tau}+I_0\sigma}=\frac{I_0\sigma\tau}{1+I_0\sigma\tau}. \tag{5}$$Разность населенностей возбужденного и основного состояний рассчитывается по формуле
$$\Delta n=\vec n_2-\vec n_0=\vec n_2-(1-\vec n_2)=\frac{I_0\sigma\tau-1}{1+I_0\sigma\tau}. \tag{6}$$

Усиление лазерного излучения возможно при достижении инверсной населенности, т.е. при $\Delta n > 0$. Из формулы $(6)$ следует, что это возможно при
$$I_0\sigma\tau > 1. \tag{7}$$

Изменение числа фотонов в резонаторе $dN$ обусловлено только их выходом через частично прозрачное зеркало. За малый промежуток времени $dt$ через это зеркало вылетит число фотонов, равное
$$dN_{out}=(1-\rho)I_GSdt=-dN, \tag{10}$$где
$S$ — площадь поперечного сечения резонатора.
Интенсивность лазерного светового потока $I_G$ можно выразить через среднюю плотность фотонов в резонаторе $\frac{N}{Sl}$ и скорость их распространения $\frac{c}{r}$ в виде
$$I_G=\frac{1}{2}\frac{N}{Sl}\frac{c}{r}. \tag{11}$$Множитель $1/2$ учитывает, что в резонаторе распространяется два лазерных потока в противоположных направлениях. Выразив число фотонов в резонаторе через интенсивность генерации
$$N=\frac{2rSl}{c}I_G \tag{12}$$и подставив его уравнение $(10)$, получим
$$dI_G=-\frac{c}{2rSl}(1-\rho)I_GSdt=-(1-\rho)\frac{c}{2rl}I_Gdt. \tag{13}$$Это уравнение имеет требуемый вид
$$\frac{dI_G}{dt}=-\frac{c(1-\rho)}{2rl}I_G=-\frac{1}{T}I_G, \tag{14}$$где время жизни фотона в резонаторе определяется формулой
$$T=\frac{2rl}{c(1-\rho)}=3.00\cdot 10^{-9}~с. \tag{15}$$

Рассмотрим изменение числа фотонов при наличии вынужденного излучения и отсутствии их потерь. В соответствии с определением сечения вынужденного излучения, число появившихся фотонов может быть описано уравнением
$$dN=2I_{G}\sigma_{E}n\gamma Vdt=2I_{G}\sigma_{E}n\gamma Sldt. \tag{16}$$Здесь $n\gamma V$ — число молекул красителя в резонаторе, находящихся в возбужденном состоянии, $V=Sl$ — объем резонатора.
Подставив в это уравнение выражение для числа фотонов в резонаторе $(12)$, в результате получим
$$\frac{dI_G}{dt}=\frac{\gamma c\sigma_E}{r}n I_G=KnI_G, \tag{17}$$откуда коэффициент усиления определяется формулой
$$K=\frac{\gamma c\sigma_E}{r}=5.72\cdot10^{10}~с^{-1}. \tag{18}$$

Для описания динамики интенсивности генерации необходимо объединить уравнения $(14)$ и $(17)$:
$$\frac{dI_G}{dt}=KnI_G-\frac{1}{T}I_G. \tag{19}$$Населенность возбужденного состояния описывается уравнением баланса
$$\frac{dn}{dt}=I_0\sigma_A(1-n)-\frac{1}{\tau}n-2I_G\sigma_E n, \tag{20}$$в котором учтены поглощение светового потока накачки, спонтанные и вынужденные переходы из возбужденного состояния.

Для начала генерации лазерного излучения необходимо, чтобы производная в уравнении $(19)$ стала больше нуля, поэтому пороговое значение населенности возбужденного состояния равно
$$n_{th}=\frac{1}{KT}=5.83\cdot 10^{-3}~. \tag{21}$$

Для расчета порогового значения интенсивности накачки следует воспользоваться уравнением $(20)$ при отсутствии генерации $I_G=0$, откуда получаем
$$I_{0,th}=\frac{n_{th}}{\tau\sigma_A(1-n_{th})}\approx \frac{n_{th}}{\tau\sigma_A}=3.58\cdot 10^{21}~см^{-2}\cdot с^{-1}. \tag{22}$$Для расчета энергетического потока надо рассчитанный поток $(22)$ умножить на энергию одного кванта
$$\varepsilon=\frac{hc}{\lambda}=3.83\cdot 10^{-19}~Дж, \tag{23}$$поэтому энергетическая интенсивность накачки равна
$$I_E=\varepsilon I_{0,th}=1.37\cdot 10^3~\frac{Вт}{см^2}. \tag{24}$$

В стационарном режиме производные по времени в уравнениях $(19)-(20)$ обращаются в нуль. Из уравнения $(19)$ получаем
$$\vec n=\frac{1}{KT}, \tag{25}$$а из уравнения $(20)$ находим
$$I_G=\frac{I_0\sigma_A-\frac{1}{\tau}\vec n}{2\sigma_E \vec n}. \tag{26}$$Выразив интенсивность накачки через пороговое значение интенсивности накачки
$$I_0=\eta I_{0,th}=\eta\frac{\vec n}{\tau\sigma_A} \tag{27}$$и подставим в формулу $(23)$, находим
$$I_G=\frac{\eta\frac{\vec n}{\tau\sigma_A}\sigma_A-\frac{1}{\tau}\vec n}{2\sigma_E\vec n}=\frac{\eta-1}{2\tau\sigma_E}. \tag{28}$$На выходе из резонатора интенсивность будет равна
$$I=(1-\rho)I_G=\frac{(1-\rho)}{2\tau\sigma_E}(\eta-1)=E(\eta-1), \tag{29}$$в которой постоянный множитель равен
$$E=\frac{1-\rho}{2\tau\sigma_E}=5.41\cdot 10^{22}~см^{-2}\cdot с^{-1}. \tag{30}$$График данной зависимости является прямой линией, показной на рисунке ниже.

Ответ:

С одной стороны, число квантов света, поглощенных в резонаторе в единицу времени, рассчитывается по формуле
$$N_A=\eta I_{0,th}\sigma_A\gamma Sl. \tag{31}$$С другой стороны, число квантов, покидающих резонатор в единицу времени, равно
$$N_E=E(\eta-1)S. \tag{32}$$Их отношение и есть квантовый выход генерации, который оказывается равным
$$f=\frac{N_E}{N_A}=\frac{E(\eta-1)}{(I_0)_{tr}\sigma_A(\gamma l)}. \tag{33}$$Подстановка всех параметров, входящих в эту формулу, приводит к результату
$$f=\frac{\eta-1}{\eta}. \tag{34}$$