C1
3.00
Определите радиус окружности, вписанной в эту траекторию. Рассмотрите два случая: все линзы собирающие; все линзы рассеивающие.
Рассмотрим луч $AB$ идущий параллельно одной из сторон многоугольника. Чтобы он описал замкнутую траекторию, необходимо, чтобы после преломления в линзе луч шел
параллельно следующей стороне. Для этого луч должен отклониться на угол
$$\alpha=\frac{2\pi}{17}. \tag{1}$$
Угол $\alpha$ достаточно мал, поэтому в дальнейшем решении будем это использовать.
Так как этот луч идет параллельно оптической оси, то после преломления он проходит через фокус $F$. Требуемому условию удовлетворяет луч, идущий на расстоянии
$$d=F\operatorname{tg}\alpha\approx F\alpha \tag{2}$$
от оптической оси. Очевидно, что этот луч будет распространяться по сторонам правильного 17-угольника, длина стороны которого равна длине отрезка $AB$, или
$$l=F+d\operatorname{tg}\alpha=F(1+\alpha^2). \tag{3}$$
Радиус окружности вписанной в этот 17-угольник равен
$$R=\frac{l}{2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}=\frac{F(1+\alpha^2)}{\alpha}=30.8~см. \tag{4}$$
Для рассеивающих линз решение аналогично, только следует рассмотреть луч, попадающий на линзу ниже оптической оси.
В этом случае длина стороны 17-угольника, образуемого траекторией луча будет равна
$$l=F-F\operatorname{tg}^2\alpha=F(1-\alpha^2). \tag{5}$$
Тогда радиус вписанной окружности
$$R=F\frac{1-\alpha^2}{\alpha}=23.4~см. \tag{6}$$
Ответ:
Для собирающих линз:
$$R=\frac{F(1+\alpha^2)}{\alpha}=30.8~см.$$
Для рассеивающих линз:
$$R=F\frac{1-\alpha^2}{\alpha}=23.4~см. $$
