Давление воздуха на поверхности Земли вызвано силой тяжести атмосферы, условие равновесия которой требует
$$p_0S=Mg, \tag{1}$$где
$$S=4\pi R^2_E \tag{2}$$представляет собой площадь поверхности Земли.
Из $(1)$ и $(2)$ получаем
$$M=\frac{4\pi p_0R_E^2}{g}=5.32\cdot 10^{18}~кг. \tag{3}$$

Давление атмосферы изменяется с высотой вследствие действия силы тяжести на газ. Рассмотрим равновесие слоя газа толщиной $dh$. Разность давлений $dp$ на этих высотах должна компенсировать силу тяжести слоя газа плотностью $\rho$, что приводит к уравнению
$$dp=-\rho gdh. \tag{4}$$С другой стороны из уравнения идеального газа находим связь его плотности с давлением
$$\rho=\frac{\mu_{air}p}{RT_0}. \tag{5}$$Из выражений $(4)$ и $(5)$ заключаем, что давление атмосферы на высоте $h$ определяется так называемой барометрической формулой
$$p(h)=p_0 \exp\left(-\frac{\mu_{air}g}{RT_0}h\right) \tag{6}$$и составляет на высоте $H=1500~м$
$$p(H)=85.0\cdot 10^3~Па. \tag{7}$$

В однородном поле тяжести давление атмосферы определяется массой воздуха, расположенного выше, поэтому процесс нагревания можно считать изобарным, а значит
$$\delta Q=\frac{M}{\mu_{air}}\frac{\gamma R}{\gamma-1}\Delta T=5.33\cdot 10^{21}~Дж, \tag{8}$$где показатель адиабаты двухатомного газа
$$\gamma=\frac{7}{5}. \tag{9}$$

За время $\tau$ количество энергии Солнца, поглощенной Землей, будет равно
$$\delta Q=\alpha \pi R_E^2\tau, \tag{10}$$откуда получаем искомое время
$$\tau=\frac{M}{\alpha\pi R_E^2\mu_{air}}\frac{\gamma R\Delta T}{\gamma-1}=30.3\cdot 10^3~с. \tag{11}$$

Первое решение: Температура атмосферы не остается постоянной по высоте, поэтому уравнение $(5)$ следует переписать в виде

$$\rho=\frac{\mu_{air}p}{RT}. \tag{12}$$

Так как атмосфера является адиабатической:

$$pT^{\frac{\gamma}{1-\gamma}}=\operatorname{const}. \tag{13}$$

Решая совместно $(4)$, $(12)$ и $(13)$, получаем

$$\frac{dT}{dh}=-\frac{(\gamma-1)\mu_{air}g}{\gamma R}=-\beta=\operatorname{const}. \tag{14}$$

Соотношение $(14)$ показывает, что температура адиабатической атмосферы падает с высотой по закону

$$T(h)=T_0-\frac{(\gamma-1)\mu_{air}g}{\gamma R}h=T_0-\beta h \tag{15}$$

и составляет на высоте $H=1500~м$

$$T(H)=278~К. \tag{16}$$

Второе решение: Вертикальные линии можно рассматривать как неподвижные линии тока. Рассмотрим перемещение газа массой $dm$ на высоту $h$ над поверхностью Земли. С учётом стационарности закон изменения энергии записывается следующим образом:

$$\delta{A}_\text{внеш}=p_0dV_0-p(h)dV(h)=dW_p+dU=dmgh+\cfrac{C_Vdm(T(h)-T_0)}{\mu_{air}}{,}\tag{17}
$$

где $dV_0=dm/\rho_0$ и $dV(h)=dm/\rho(h)$ – объёмы, занимаемые газом на поверхности Земли и на высоте $h$ соответственно.

Для плотности газа имеем:

$$\rho=\cfrac{\mu_{air}p}{RT}{,}\tag{18}
$$

откуда:

$$\cfrac{Rdm(T_0-T(h))}{\mu_{air}}=dmgh+\cfrac{C_Vdm(T(h)-T_0)}{\mu_{air}}{.}\tag{19}
$$

Поскольку $C_V+R=C_p$, имеем:

$$T(h)=T_0-\cfrac{\mu_{air}gh}{C_p}=T_0-\cfrac{(\gamma-1)\mu_{air}gh}{\gamma R}{.}\tag{20}
$$

Тогда для высоты $H$ получим:

Распределение давления по высоте определяется уравнением адиабаты $(13)$ и имеет вид
$$p(h)=p_0\left(\frac{T_0}{T(h)}\right)^{\frac{\gamma}{1-\gamma}}=p_0\left(\frac{T_0}{T_0-\beta h}\right)^{\frac{\gamma}{1-\gamma}} \tag{21}$$и составляет на высоте $H=1500~м$
$$p(H)=84.6 \cdot 10^3~Па. \tag{22}$$

Так как температура верхней части тропосферы фиксирована, то из формулы $(15)$ следует, что ее высота определяется условием
$$T(h)=T_0-\beta h=\operatorname{const}. \tag{23}$$Отсюда определяем изменение высоты тропосферы в дневное и ночное время
$$\Delta H_{atm}=\frac{\gamma R\Delta T_{dn}}{(\gamma-1)\mu_{air}g}=2.05 \cdot 10^3~м. \tag{24}$$

В выбранном диапазоне температур и давлений аппроксимируем давление насыщенного водяного пара линейной функцией его температуры в виде
$$p(T)=p_1+\frac{p_2-p_1}{T_2-T_1}(T-T_1). \tag{25}$$Кипение жидкости начинается в тот момент, когда давление насыщенных паров сравнивается с внешним давлением, что позволяет идти интенсивному процессу парообразования в всплывающих пузырьках. Приравнивая выражения $(18)$ и $(21)$, находим
$$T_{boil}=368~К. \tag{26}$$

Температура плавления льда мало изменяется с давлением, поэтому снег появляется там, где температура достигает $0^{\circ}\mathrm{C}$, то есть равна
$$T_{melt}=273~К. \tag{27}$$Отсюда с помощью формулы $(15)$ определяем высоту, на которой появляется снежный покров
$$h_0=\frac{\gamma R(T_0-T_{melt})}{(\gamma-1)\mu_{air}g}=2.05 \cdot 10^3~м. \tag{28}$$

Если воздух у подножия горы достаточно прогрет, то температура по всей высоте не успевает упасть до нуля градусов по Цельсию. Тогда из формулы $(24)$ находим высоту горы
$$H_0=\frac{\gamma R(T-T_{melt})}{(\gamma-1)\mu_{air}g}=3.78 \cdot 10^3~м. \tag{29}$$

Так как водяной пар находится в термодинамическом равновесии с окружающим его воздухом, то их температуры равны. Условие равновесия пара записывается аналогично $(4)$ и имеет вид
$$dp_{vap}=-\rho_{vap}gdh, \tag{30}$$а его плотность определяется формулой
$$\rho_{vap}=\frac{\mu_{H_2O}p_{vap}}{RT}, \tag{31}$$в которой зависимость температуры от высоты имеет вид $(15)$.
По условию давление ненасыщенных водяных паров у подножия горы равно
$$p_{vap}(0)=\varphi p_{vap 0}, \tag{32}$$а давление насыщенных водяных паров на высоте $H^{\prime}$ составляет
$$p_{vap}(h)=p_{vap}. \tag{33}$$Интегрируя $(26)$ с учетом $(27)$ и $(15)$, а также начальных условий $(28)$ и $(29)$, находим
$$\ln\frac{p_{vap}}{p_{vap 0}}=\ln\varphi+\frac{\mu_{H_2O}g}{\beta R}\ln\frac{T}{T_0}. \tag{34}$$С другой стороны по условию из справочника
$$\ln\frac{p_{vap}}{p_{vap 0}}=a+b\ln\frac{T}{T_0}, \tag{35}$$и с использованием $(30)$ получаем температуру на высоте $H^{\prime}$
$$T(H^{\prime})=T_0\exp\left(\frac{a-\ln\varphi}{\frac{\mu_{H_2O}g}{\beta R}-b}\right). \tag{36}$$Сама высота находится из формулы $(15)$ и дает
$$H^{\prime}=\frac{T_0-T(H^{\prime})}{\beta}=\frac{T_0}{\beta}\left(1-\exp\left(\frac{a-\ln\varphi}{\frac{\mu_{H_2O}g}{\beta R}-b}\right)\right)=2.55 \cdot 10^3~м. \tag{37}$$

Для того, чтобы туман отсутствовал на всей горе, в формуле $(33)$ надо положить
$$H^{\prime}=H_0, \tag{38}$$откуда получаем искомое выражение для влажности воздуха
$$\varphi_{\min}=\left(1-\frac{\beta H_0}{T_0}\right)^{b-\frac{\mu_{H_2O}g}{\beta R}}\exp a= 0.119. \tag{39}$$