Для приведения импульса и энергии к одинаковой размерности достаточно разделить энергию на скорость света или умножить импульс на скорость света. Кроме того, в силу принципа относительности, необходимо сделать замену $V \rightarrow -V$. Таким образом, получаем $$p_{x}^{\prime}=\frac{p_x-(V/c)(E/c)}{\sqrt{1-V^2/c^2}}, \tag{1}$$ $$p_{y}^{\prime}=p_{y}, \tag{2}$$ $$p_{z}^{\prime}=p_z, \tag{3}$$ $$E^{\prime}/c=\frac{E/c-(V/c)p_x}{\sqrt{1-V^2/c^2}}. \tag{4}$$

В произвольной инерциальной системе отсчета выражение для импульса записывается как $$p=\frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \tag{5}$$ а выражение для полной энергии имеет вид $$E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \tag{6}$$ Отсюда получаем, что искомый инвариант равен $$inv=E^2-p^2c^2=m^2c^4. \tag{7}$$

Так как масса покоя фотона равна нулю, то из $(7)$ следует, что импульс и энергия фотона связаны следующим соотношением $$p=\frac{E}{c}. \tag{8}$$ Известно, что энергия фотона определяется формулой Планка $$E=\hbar\omega. \tag{9}$$ Проекции импульса фотона на оси координат равны $$p_x=p\cos\varphi, \tag{10}$$ $$p_y=p\sin\varphi, \tag{11}$$ и после подстановки в $(4)$, находим $$\omega^{\prime}=\omega\frac{1-V\cos\varphi/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}}. \tag{12}$$ Это и есть формула для релятивистского эффекта Доплера.

Из соотношений $(2)$, $(8)$ и $(9)$ следует, что $$\frac{\hbar \omega^{\prime}}{c}\sin\varphi^{\prime}=\frac{\hbar\omega}{c}\sin\varphi. \tag{13}$$ Используя $(12)$, получаем $$\sin\varphi^{\prime}=\frac{\sqrt{1-V^2/c^2}\sin\varphi}{1-V\cos\varphi/c}. \tag{14}$$ Выражение $(14)$ представляет собой классическую формулу для аберрации света.

Положение звезды на небесной сфере меняется в течение года из-за орбитального движения Земли вокруг Солнца и аберрации света, что изображено на рисунке. Так как скорость орбитального движения Земли много меньше скорости света, то из формулы $(14)$ следует, что угол аберрации равен $$\delta\varphi=\varphi^{\prime}-\varphi\approx \frac{V}{c}\sin\varphi, \tag{15}$$ где $\varphi$ — угол между скоростью $V$ и направлением на звезду.

Из рисунка видно, что угол $\varphi$ периодически меняется от минимального значения $\delta$ в точке $D$, достигает величины $\pi/2$ в точке $B$, имеет максимальное значение $\pi-\delta$ в точке $C$ и, наконец, вновь становится равным $\pi/2$ в точке $A$. Отсюда делаем вывод, что на небесной сфере видимое положение звезды описывает эллипс с угловыми размерами полуосей $$a_1=\frac{V}{c} \tag{16}$$ и $$a_2=\frac{V}{c}\sin\delta. \tag{17}$$ Из приведенных данных получаем $$\delta=\arcsin\left(\frac{a_2}{a_1}\right)=64.2^{\circ}. \tag{18}$$

Согласно формуле $(12)$ в эффекте Доплера относительный сдвиг частоты при $\varphi=0$ равен $$\left(\frac{\Delta \omega}{\omega}\right)_D=1-\sqrt{\frac{1-v_x/c}{1+v_x/c}}\approx 9.95 \times 10^{-3}. \tag{19}$$ Отсюда видно, что эффект Доплера не может полностью объяснить красный сдвиг в спектре звезды. Естественно предположить, что при движении света от поверхности нейтронной звезды частота фотонов будет уменьшаться из-за гравитационного красного смещения. Гравитационная масса фотона по принципу эквивалентности равна $$m_{ph}=\frac{\hbar\omega}{c^2}, \tag{20}$$ а сила гравитации, действующая на фотон на расстоянии $r$ от звезды, равна по закону Ньютона $$F=G\frac{m_{ph}M}{r^2}. \tag{21}$$ Закон сохранения энергии для движения фотона записывается в виде $$\hbar d\omega=-Fdr. \tag{22}$$ Откуда $$\frac{d\omega}{\omega}=-\frac{GM}{c^2}\frac{dr}{r^2}. \tag{23}$$ Интегрирование $(23)$ в пределах от радиуса звезды $R$ до $\infty$ приводит к уравнению $$\ln\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)=-\frac{GM}{c^2R}, \tag{24}$$ где $\omega_0$ и $\omega$ — частоты фотона на поверхности звезды и на бесконечном расстоянии от нее. Отсюда окончательно находим частоту фотона $$\omega=\omega_0\exp\left(-\frac{GM}{c^2R}\right)=\omega_0\exp\left(-\frac{v^2_{II}}{2c^2}\right), \tag{25}$$ где вторая космическая скорость определяется классическим выражением $$v_{II}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}. \tag{26}$$ Комбинируя формулы $(19)$ и $(25)$, получаем $$\left(\frac{\Delta \omega}{\omega}\right)_0=1-\exp\left(-\frac{v_{II}^2}{2c^2}\right)\sqrt{\frac{1-v_x/c}{1+v_x/c}}. \tag{27}$$ Подставляя числовые значения, находим $$v_{II}=\sqrt{2\ln\left(\frac{\sqrt{\frac{1-v_x/c}{1+v_x/c}}}{1-\left(\frac{\Delta\omega}{\omega}\right)_0}\right)}c=2.83\cdot 10^6~м/с. \tag{28}$$

По определению, проекции скорости объекта в системе отсчета $S^{\prime}$ определяется выражениями $$u_x^{\prime}=\frac{dx^{\prime}}{dt^{\prime}}, \tag{29}$$ $$u_{y}^{\prime}=\frac{dy^{\prime}}{dt^{\prime}}. \tag{30}$$ Те же самые проекции в системе отсчета $S$ равны $$u_x=\frac{dx}{dt}, \tag{31}$$ $$u_y=\frac{dy}{dt}. \tag{32}$$ Преобразования Лоренца можно переписать в конечных разностях в виде $$dx=\frac{dx^{\prime}+Vdt^{\prime}}{\sqrt{1-V^2/c^2}}, \tag{33}$$ $$dy=dy^{\prime}, \tag{34}$$ $$dt=\frac{dt^{\prime}+dx^{\prime}V/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}. \tag{35}$$ Почленно деля левые и правые части $(33)-(35)$ и используя $(29)-(32)$, получим $$u_x=\frac{u_x^{\prime}+V}{1+\frac{u_x^{\prime}V}{c^2}}, \tag{36}$$ $$u_y=\frac{\sqrt{1-V^2/c^2}}{1+\frac{u_x^{\prime}V}{c^2}}u_y^{\prime}. \tag{37}$$

Перейдем в систему отсчета, связанную с водой. Согласно формуле $(14)$ в этой системе отсчета будет наблюдаться аберрация, в результате чего угол падения плоской волны на воду $\alpha^{\prime}$ будет равен $$\cos\alpha^{\prime}=\frac{\sqrt{1-V^2/c^2}\cos\alpha}{1-V\sin\alpha/c}\approx \cos\alpha(1+V\sin\alpha/c)$$ или $$\sin\alpha^{\prime}=\frac{\sin\alpha-V/c}{1-V\sin\alpha/c}\approx\sin\alpha-V\cos\alpha^2/c. \tag{38}$$ В системе отсчета, связанной с водой, закон преломления света выглядит обычным образом $$\sin\alpha^{\prime}=n\sin\beta^{\prime}, \tag{39}$$ а скорость распространения волны равна $$v_{ph}=\frac{c}{n}. \tag{40}$$ Теперь переходя снова в лабораторную систему отсчета с помощью формул $(36)$ и $(37)$, получим $$v_m\sin\beta=\frac{v_{ph}\sin\beta^{\prime}+V}{1+\frac{v_{ph}V\sin\beta^{\prime}}{c^2}}\approx v_{ph}\sin\beta^{\prime}+V, \tag{41}$$ $$v_m\cos\beta=\frac{\sqrt{1-V^2/c^2}}{1+\frac{v_{ph}V\sin\beta^{\prime}}{c^2}}v_{ph}\cos\beta^{\prime}\approx v_{ph}\cos\beta^{\prime}. \tag{42}$$ Используя $(38)-(42)$, получаем $$\sin\beta\approx\frac{1}{n}\sin\alpha-\frac{n^2+\cos 2\alpha}{n}\frac{V}{c}, \tag{43}$$ откуда $$A_1=\frac{1}{n}\sin\alpha, \tag{44}$$ $$B_1=-\frac{n^2+\cos 2\alpha}{n}. \tag{45}$$

Вновь используя $(38)-(42)$, находим $$v_m\approx \frac{c}{n}+V\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\sin\beta, \tag{46}$$ откуда $$A_2=\frac{c}{n}, \tag{47}$$ $$B_2=\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\sin\beta. \tag{48}$$

При движении света в направлении течения воды угол $\beta$ в формуле $(48)$ составляет $\pi/2$ и соответствующая скорость равна $$v_+=\frac{c}{n}+V\left(1-\frac{1}{n^2}\right), \tag{49}$$ а при движении против течения $$v_-=\frac{c}{n}-V\left(1-\frac{1}{n^2}\right). \tag{50}$$ Общий путь в воде составляет $2L$, поэтому разность во времени распространения $\Delta t$ по сравнению с неподвижной водой составляет $$\Delta t=\frac{2L}{v_-}-\frac{2L}{v_+}\approx\frac{4Lv(n^2-1)}{c^2}, \tag{51}$$ а соответствующая разность хода равна $$\Delta l=c\Delta t=\frac{4Lv(n^2-1)}{c}. \tag{52}$$ При этом интерференционная картина сдвинется на число полос, равное $$\Delta N=\frac{\Delta l}{\lambda}=\frac{4Lv(n^2-1)}{c\lambda}. \tag{53}$$

Используя формулу $(53)$, находим $$n=\sqrt{1+\frac{c\lambda\Delta N}{4Lv}}=1.37. \tag{54}$$