Для приведения импульса и энергии к одинаковой размерности достаточно разделить энергию на скорость света или умножить импульс на скорость света. Кроме того, в силу принципа относительности, необходимо сделать замену $V \rightarrow -V$. Таким образом, получаем
$$p_{x}^{\prime}=\frac{p_x-(V/c)(E/c)}{\sqrt{1-V^2/c^2}}, \tag{1}$$$$p_{y}^{\prime}=p_{y}, \tag{2}$$$$p_{z}^{\prime}=p_z, \tag{3}$$$$E^{\prime}/c=\frac{E/c-(V/c)p_x}{\sqrt{1-V^2/c^2}}. \tag{4}$$

В произвольной инерциальной системе отсчета выражение для импульса записывается как
$$p=\frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \tag{5}$$а выражение для полной энергии имеет вид
$$E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \tag{6}$$Отсюда получаем, что искомый инвариант равен
$$inv=E^2-p^2c^2=m^2c^4. \tag{7}$$

Так как масса покоя фотона равна нулю, то из $(7)$ следует, что импульс и энергия фотона связаны следующим соотношением
$$p=\frac{E}{c}. \tag{8}$$Известно, что энергия фотона определяется формулой Планка
$$E=\hbar\omega. \tag{9}$$Проекции импульса фотона на оси координат равны
$$p_x=p\cos\varphi, \tag{10}$$$$p_y=p\sin\varphi, \tag{11}$$и после подстановки в $(4)$, находим
$$\omega^{\prime}=\omega\frac{1-V\cos\varphi/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}}. \tag{12}$$Это и есть формула для релятивистского эффекта Доплера.

Из соотношений $(2)$, $(8)$ и $(9)$ следует, что
$$\frac{\hbar \omega^{\prime}}{c}\sin\varphi^{\prime}=\frac{\hbar\omega}{c}\sin\varphi. \tag{13}$$Используя $(12)$, получаем
$$\sin\varphi^{\prime}=\frac{\sqrt{1-V^2/c^2}\sin\varphi}{1-V\cos\varphi/c}. \tag{14}$$Выражение $(14)$ представляет собой классическую формулу для аберрации света.

Положение звезды на небесной сфере меняется в течение года из-за орбитального движения Земли вокруг Солнца и аберрации света, что изображено на рисунке. Так как скорость орбитального движения Земли много меньше скорости света, то из формулы $(14)$ следует, что угол аберрации равен
$$\delta\varphi=\varphi^{\prime}-\varphi\approx \frac{V}{c}\sin\varphi, \tag{15}$$где $\varphi$ — угол между скоростью $V$ и направлением на звезду.

Из рисунка видно, что угол $\varphi$ периодически меняется от минимального значения $\delta$ в точке $D$, достигает величины $\pi/2$ в точке $B$, имеет максимальное значение $\pi-\delta$ в точке $C$ и, наконец, вновь становится равным $\pi/2$ в точке $A$. Отсюда делаем вывод, что на небесной сфере видимое положение звезды описывает эллипс с угловыми размерами полуосей
$$a_1=\frac{V}{c} \tag{16}$$и
$$a_2=\frac{V}{c}\sin\delta. \tag{17}$$Из приведенных данных получаем
$$\delta=\arcsin\left(\frac{a_2}{a_1}\right)=64.2^{\circ}. \tag{18}$$

Согласно формуле $(12)$ в эффекте Доплера относительный сдвиг частоты при $\varphi=0$ равен
$$\left(\frac{\Delta \omega}{\omega}\right)_D=1-\sqrt{\frac{1-v_x/c}{1+v_x/c}}\approx 9.95 \times 10^{-3}. \tag{19}$$Отсюда видно, что эффект Доплера не может полностью объяснить красный сдвиг в спектре звезды. Естественно предположить, что при движении света от поверхности нейтронной звезды частота фотонов будет уменьшаться из-за гравитационного красного смещения.
Гравитационная масса фотона по принципу эквивалентности равна
$$m_{ph}=\frac{\hbar\omega}{c^2}, \tag{20}$$а сила гравитации, действующая на фотон на расстоянии $r$ от звезды, равна по закону Ньютона
$$F=G\frac{m_{ph}M}{r^2}. \tag{21}$$Закон сохранения энергии для движения фотона записывается в виде
$$\hbar d\omega=-Fdr. \tag{22}$$Откуда
$$\frac{d\omega}{\omega}=-\frac{GM}{c^2}\frac{dr}{r^2}. \tag{23}$$Интегрирование $(23)$ в пределах от радиуса звезды $R$
до $\infty$ приводит к уравнению
$$\ln\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)=-\frac{GM}{c^2R}, \tag{24}$$где $\omega_0$ и $\omega$ — частоты фотона на поверхности звезды и на бесконечном расстоянии от нее.
Отсюда окончательно находим частоту фотона
$$\omega=\omega_0\exp\left(-\frac{GM}{c^2R}\right)=\omega_0\exp\left(-\frac{v^2_{II}}{2c^2}\right), \tag{25}$$где вторая космическая скорость определяется классическим выражением
$$v_{II}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}. \tag{26}$$Комбинируя формулы $(19)$ и $(25)$, получаем
$$\left(\frac{\Delta \omega}{\omega}\right)_0=1-\exp\left(-\frac{v_{II}^2}{2c^2}\right)\sqrt{\frac{1-v_x/c}{1+v_x/c}}. \tag{27}$$Подставляя числовые значения, находим
$$v_{II}=\sqrt{2\ln\left(\frac{\sqrt{\frac{1-v_x/c}{1+v_x/c}}}{1-\left(\frac{\Delta\omega}{\omega}\right)_0}\right)}c=2.83\cdot 10^6~м/с. \tag{28}$$

По определению, проекции скорости объекта в системе отсчета $S^{\prime}$ определяется выражениями
$$u_x^{\prime}=\frac{dx^{\prime}}{dt^{\prime}}, \tag{29}$$$$u_{y}^{\prime}=\frac{dy^{\prime}}{dt^{\prime}}. \tag{30}$$Те же самые проекции в системе отсчета $S$ равны
$$u_x=\frac{dx}{dt}, \tag{31}$$$$u_y=\frac{dy}{dt}. \tag{32}$$Преобразования Лоренца можно переписать в конечных разностях в виде
$$dx=\frac{dx^{\prime}+Vdt^{\prime}}{\sqrt{1-V^2/c^2}}, \tag{33}$$$$dy=dy^{\prime}, \tag{34}$$$$dt=\frac{dt^{\prime}+dx^{\prime}V/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}. \tag{35}$$Почленно деля левые и правые части $(33)-(35)$ и используя $(29)-(32)$, получим
$$u_x=\frac{u_x^{\prime}+V}{1+\frac{u_x^{\prime}V}{c^2}}, \tag{36}$$$$u_y=\frac{\sqrt{1-V^2/c^2}}{1+\frac{u_x^{\prime}V}{c^2}}u_y^{\prime}. \tag{37}$$

Перейдем в систему отсчета, связанную с водой. Согласно формуле $(14)$ в этой системе отсчета будет наблюдаться аберрация, в результате чего угол падения плоской волны
на воду $\alpha^{\prime}$ будет равен
$$\cos\alpha^{\prime}=\frac{\sqrt{1-V^2/c^2}\cos\alpha}{1-V\sin\alpha/c}\approx \cos\alpha(1+V\sin\alpha/c)$$или
$$\sin\alpha^{\prime}=\frac{\sin\alpha-V/c}{1-V\sin\alpha/c}\approx\sin\alpha-V\cos\alpha^2/c. \tag{38}$$В системе отсчета, связанной с водой, закон преломления света выглядит обычным образом
$$\sin\alpha^{\prime}=n\sin\beta^{\prime}, \tag{39}$$а скорость распространения волны равна
$$v_{ph}=\frac{c}{n}. \tag{40}$$Теперь переходя снова в лабораторную систему отсчета с помощью формул $(36)$ и $(37)$, получим
$$v_m\sin\beta=\frac{v_{ph}\sin\beta^{\prime}+V}{1+\frac{v_{ph}V\sin\beta^{\prime}}{c^2}}\approx v_{ph}\sin\beta^{\prime}+V, \tag{41}$$$$v_m\cos\beta=\frac{\sqrt{1-V^2/c^2}}{1+\frac{v_{ph}V\sin\beta^{\prime}}{c^2}}v_{ph}\cos\beta^{\prime}\approx v_{ph}\cos\beta^{\prime}. \tag{42}$$Используя $(38)-(42)$, получаем
$$\sin\beta\approx\frac{1}{n}\sin\alpha-\frac{n^2+\cos 2\alpha}{n}\frac{V}{c}, \tag{43}$$откуда
$$A_1=\frac{1}{n}\sin\alpha, \tag{44}$$$$B_1=-\frac{n^2+\cos 2\alpha}{n}. \tag{45}$$

Вновь используя $(38)-(42)$, находим
$$v_m\approx \frac{c}{n}+V\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\sin\beta, \tag{46}$$откуда
$$A_2=\frac{c}{n}, \tag{47}$$$$B_2=\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\sin\beta. \tag{48}$$

При движении света в направлении течения воды угол $\beta$ в формуле $(48)$ составляет $\pi/2$ и соответствующая скорость равна
$$v_+=\frac{c}{n}+V\left(1-\frac{1}{n^2}\right), \tag{49}$$а при движении против течения
$$v_-=\frac{c}{n}-V\left(1-\frac{1}{n^2}\right). \tag{50}$$Общий путь в воде составляет $2L$, поэтому разность во времени распространения $\Delta t$ по сравнению с неподвижной водой составляет
$$\Delta t=\frac{2L}{v_-}-\frac{2L}{v_+}\approx\frac{4Lv(n^2-1)}{c^2}, \tag{51}$$а соответствующая разность хода равна
$$\Delta l=c\Delta t=\frac{4Lv(n^2-1)}{c}. \tag{52}$$При этом интерференционная картина сдвинется на число полос, равное
$$\Delta N=\frac{\Delta l}{\lambda}=\frac{4Lv(n^2-1)}{c\lambda}. \tag{53}$$

Используя формулу $(53)$, находим
$$n=\sqrt{1+\frac{c\lambda\Delta N}{4Lv}}=1.37. \tag{54}$$