Pho.rs: Атомы в оптической ловушке

A1 ^0.75 Найдите в этом случае мгновенную поглощаемую атомом мощность. Ответ выразите через векторы $\vec{E}$ и $\dot{\vec{p}}$ ($\dot{\vec{p}}$ — скорость изменения дипольного момента).

1 $F = \pm e E$	0.15
2 $d W = F dx = e dx E = dp E$	0.30
3 Правильный ответ $P_{abs} = \dot{\vec{p}} \cdot \vec{E}$	0.30

A2 ^0.75 Найдите полную работу, совершенную полем к моменту, когда его напряженность достигла $E_0$, и отсюда получите выражение для потенциальной энергии диполя $U_{induced}$ через векторы $\vec{E_0}$ и $\vec{p_0}$.

1 Интегрирование $W$ и ответ	0.50
2 Ответ $U_{dip} = - W = - \vec{p_0} \cdot \vec{E} / 2$	0.25

B1 ^1.00 Найдите потенциальную энергию диполя ${U_{dip}}\left( {\vec r} \right) = \left\langle {{U_{induced}}\left( {\vec r,t} \right)} \right\rangle $.

Ответ выразите через $\alpha$, $\varphi$, $\varepsilon_0$, $c$ и $I(\vec{r})$.

1 Интегрирование	0.50
2 Ответ $U_{dip} (r) = - \cfrac{\alpha(\omega) \cos{(\varphi)} I (r)}{2 \varepsilon_0 c}$	0.50

C1 ^1.00 Выразите $\Gamma_{sc}(\vec{r})$ через $\alpha$, $\varphi$, $\varepsilon_0$, $c$, $I(\vec{r})$, $\hslash$ и $\omega$.

1 $\langle P_{abs} \rangle = \langle \dot{p} E \rangle = -\sin{(\varphi)} \alpha(\omega) \omega E_0^2 (r)/2$	0.50
2 Переход к интенсивности	0.25
3 Ответ $\Gamma (r) = - \cfrac{\alpha(\omega) \sin{(\varphi)} }{\hbar \varepsilon c} I(r)$	0.25

D1 ^2.00 Выразите поляризуемость $\alpha$ через $\gamma_{\omega}$, $e$, $m_e$, $\omega_0$ и $\omega$.

1 Подстановка общего решения в диф. ур	0.25
2 Группировка синусов-косинусов	0.25
3 Приравнивание коэффициентов	0.50
4 Нахождение $x_0$	0.25
5 Нахождение $\varphi$	0.25
6 Подстановка в дипольный момент	0.25
7 Ответ $\alpha(\omega) = -\cfrac{ e^2 }{m_e \sqrt{ (\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2_{\omega} \omega^2 }}$	0.25

E1 ^1.00 Выразите коэффициент затухания $\gamma_{\omega}$ через $e$, $\varepsilon_0$, $c$, $m_e$ и $\omega$.

1 Приравнивание $P_L = m \gamma_{\omega} v \cdot v$	0.25
2 Использование движения по окружности	0.25
3 Правильный ответ $\gamma_{\omega} = \cfrac{ 1 }{ 6 \pi \varepsilon_0 } \cfrac{ e^2 \omega^2 }{ m_e c^3 }$	0.50

F1 ^0.50 Определим при $\omega=\omega_0$ коэффициент затухания $\gamma \equiv {\gamma _{{\omega _0}}}$.

Выразите ${{U_{dip}}\left( {\vec r} \right)}/{\hbar {\Gamma _{sc}}\left( {\vec r} \right)}$ через $\omega$, $\omega_0$ и $\gamma$.

1 Ответ $- \cfrac{1}{2} \cfrac{\omega_0^2 - \omega^2}{(\omega^3 / \omega_0^2) \gamma}$

0.50

G1 ^0.50 Выразите глубину потенциальной ямы $U_{depth}$ через $c$, $\omega$, $\omega_0$, $\gamma$, $P$ и $D_0$.

1 Ответ $U_{depth} = | 6 c^2 \cfrac{(\omega_0^2 - \omega^2) \gamma / \omega_0^2 }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^6 / \omega_0^4} \cfrac{P}{D_0^2}|$

0.50

G2 ^1.00 Пусть мощность лазера $P=4~мВт$, длина волны излучения $\lambda=985~нм$, $D_0=6~мкм$, длина волны D-линии натрия $\lambda_0=589~нм$. Получите выражение, а также численно рассчитайте глубину потенциальной ямы $U_{depth}$. Ответ приведите в Кельвинах эквивалентной температуры $T_0$, при которой тепловая энергия атомов равна глубине потенциальной ямы.

1 Расчет величин $\omega, \omega_0, \gamma$	0.50
2 Расчет $U_{depth}$	0.25
3 Ответ $T_0 = 4.13 \; мкК$	0.25

H1 ^0.50 Выразите $\Omega_{\rho}$ и $\Omega_z$ через $T_0$, $m$, $D_0$, $z_R$ и постоянную Больцмана $k_B$.

1 Ответ $\Omega_{\rho} = \sqrt{\cfrac{4 k_B T_0}{ m D_0^2 }}, \Omega_z = \sqrt{\cfrac{ 2 k_B T_0 }{ m z_R^2 }}$

0.50

I1 ^0.50 Оцените размер области $z_0$, занимаемой газом в состоянии бозе-конденсата. Ответ выразите через $m$, $\hbar$, $\Omega_z$.

1 Утверждение $\Delta p \sim p, \Delta z \sim z$	0.20
2 Соотношение неопределенностей	0.10
3 Полная энергия	0.10
4 Ответ $z_0 = \sqrt{\cfrac{ \hbar }{ m \Omega_z }}$	0.10

I2 ^0.25 Выразите энергию $E_{\mathrm{min}}$ низшего энергетического уровня через $\hbar$ и $\Omega_z$.

2 Ответ $E_{min} = \hbar \Omega_z/2$

0.25

I3 ^0.25 Выразите среднюю скорость $v_0$ атомов через $m$, $\hbar$, $\Omega_z$.

1 Ответ $v_z = \sqrt{\hbar \Omega_z / m}$

0.25

J1 ^0.50 Выразите отношение ${z_0}/{\rho_0}$ через $\Omega_{\rho}$ и $\Omega_z$, где $z_0$ и $\rho_0$ — начальные размеры области, занимаемой бозе-конденсатом.

1 $z_0 = \sqrt{ \hbar / m \Omega_z }$	0.20
2 $\rho_0 = \sqrt{ 2 \hbar / m \Omega_{\rho} }$	0.20
3 Ответ $z_0/\rho_0 = \sqrt{\Omega_{\rho} / 2 \Omega_z}$	0.10

J2 ^0.50 Если выключить ловушку, то бозе-конденсат будет разлетаться с различными скоростями $v_{\rho}$ и $v_z$ в разных направлениях. Выразите отношение ${v_{\rho}}/{v_z}$ через $\Omega_{\rho}$ и $\Omega_z$.

1 Ответ $v_{\rho} / v_z \sim \sqrt{2 \Omega_{\rho} / \Omega_z}$

0.50

J3 ^0.50 Найдите отношение ${z_L}/{\rho_L}$ размеров области расширяющегося бозе-конденсата, когда они намного больше первоначальных (${z_L} \gg {z_0}$ и ${\rho _L} \gg {\rho _0}$). Скорости расширения бозе-конденсата считайте неизменными.

1 Ответ $z_L / \rho_L \sim v_z / v_{\rho}$

0.50

J4 ^0.50 Найдите отношение ${{{z_{T,L}}}}/{{{\rho _{T,L}}}}$ размеров области расширяющегося газа тепловых атомов, когда размеры намного больше первоначальных (${z_{T,L}} \gg {z_0}$ и ${\rho _{T,L}} \gg {\rho _0}$).

1 Ответ 1

0.50

Атомы в оптической ловушке

Разбалловка