| 1 $- F_{тяж} + F_{цб} + A \cdot \sigma (r + dr) - A \cdot \sigma(r) = 0$ | 0.10 |
|
| 2 $\cfrac{d \sigma}{d r} = G M \rho \left( \cfrac{1}{r^2} - \cfrac{r}{R_G^3} \right)$ | 0.10 |
|
| 3 Интегрируя от $R$ до $R_G$ с учетом $\sigma = 0$ на концах: $\sigma(R_G) = G M \rho \left[ \cfrac{1}{R} - \cfrac{3}{2 R_G} + \cfrac{R^2}{2 R_G^3} \right]$ | 0.10 |
|
| 4 Аналогично интегрируя от $R_G$ до $H$: $\sigma(R_G) = G M \rho \left[ \cfrac{1}{H} - \cfrac{3}{2 R_G} + \cfrac{H^2}{2 R_G^3} \right]$ | 0.10 |
|
| 5 Приравнивая, получаем $H = \cfrac{R}{2} \left[ \sqrt{1 + 8 \left( \cfrac{R_G}{R} \right) ^3} -1\right ] = 1.51 \cdotp 10^5 \; км$ $L = H - R = \cfrac{R}{2} \left[ \sqrt{1 + 8 \left( \cfrac{R_G}{R} \right) ^3} -3\right ] = 1.45 \cdotp 10^5 \; км$ | 0.10 |
|
| 1 Для нахождения $\sigma_{max}: \; \cfrac{d \rho}{d r} = G M \rho \left( \cfrac{1}{r^2} - \cfrac{r}{R_G^3} \right) = 0$ | 0.25 |
|
| 2 Откуда $r = R_G$ | 0.25 |
|
| 0 $\sigma_{max} = \sigma(R_G) = \rho g \left[ R - \cfrac{3 R^2}{2 R_G} + \cfrac{R^4}{2 R_G^3} \right]$ | 0.25 |
|
| 3 Верное аналогичное выражение, но без последующих расчетов | 0.15 |
|
| 4 Численно: $\cfrac{\sigma (R_G)}{5.0 \; ГПа} = 76.5$ | 0.25 |
|
| 1 Из разложения в ряд до вдух членов $V = V_0 \left( -1 + \cfrac{4 x^2}{a^2} \right)$ | 0.10 |
|
| 2 $Q = \cfrac{4 V_0}{a^2}$ | 0.15 |
|
| 1 $F = - \cfrac{d V}{d x} = - \cfrac{8 V_0}{a^2} x$ | 0.10 |
|
| 2 $k = \cfrac{8 V_0}{a^2} = 313 \; Н/м$ | 0.15 |
|
| 1 $\left( d = \cfrac{27 b}{\pi} - диаметр \right)$ $E_1 = \cfrac{\sigma}{\varepsilon} = \cfrac{F/ A}{x/A} = \cfrac{32 V_0}{a \pi d^2}$ | 0.25 |
|
| 2 $E = N E_1 = 342 \; ГПа$ | 0.25 |
|
| 1 Приравняв энергии: $x_{max} = \sqrt{ \cfrac{2 V_0}{k} } = \cfrac{a}{2}$ | 0.25 |
|
| 2 $x_{max} = 0.071 \; нм$ | 0.25 |
|
| 1 $\sigma_0 = E \cfrac{x_{max}}{a} = 171 \; ГПа$ | 0.50 |
|
| 1 Объем $= \cfrac{\pi d^2}{4} \cdot \cfrac{3 a}{2}$ | 0.25 |
|
| 2 $\rho = 1440 \; кг/м^3$ | 0.25 |
|
| 1 Из равновесия аналогично 1.1 получаем: $\cfrac{d A}{A} = \cfrac{\rho g R^2}{\sigma} \left( \cfrac{1}{r^2} - \cfrac{r}{R_G^3} \right) d r$ | 0.25 |
|
| 2 $A(h) = A_S \cdot \exp{ \left[ \cfrac{\rho g R^2 }{\sigma} \left( \cfrac{1}{R} + \cfrac{R^2}{2 R_G^3} - \cfrac{1}{R+h} - \cfrac{(R + h)^2}{2 R_G^3} \right) \right] }$ | 0.25 |
|
| 1 Из условия $A(H) = A(R) = A_S$ получаем $R H^2 + R^2 H - 2R_G^3 = 3$ | 0.25 |
|
| 2 Отсюда $H = \cfrac{R}{2} \left[ \sqrt{ 1 + 8 \left( \cfrac{R_G^3}{R} \right)^3 } - 1 \right] = 151 000 \; км$ | 0.25 |
|
| 1 Если $L_C = \cfrac{\sigma}{\rho g}$, то $\cfrac{A_G}{A_S} = \exp{ \left[ \cfrac{R}{2 L_C} \left\{ \left( \cfrac{R}{R_G} \right)^3 - 3 \left( \cfrac{R}{R_G} \right) + 2 \right\} \right] } = 1.623$ | 0.50 |
|
| 1 Уравнение равновесия противовеса | 0.50 |
|
| 2 Выражение доя $m_c$ или правильная другая их свзяь | 0.50 |
|
| 1 Покидает Землю, если $E \geq 0$, откуда $r_C = (2 G M / \omega^2)^{\frac{1}{3}} = 53200 \; км$ | 0.25 |
|
| 2 Для запуска верхушка должна быть выше $r_C$ | 0.25 |
|
| 1 ЗСМИ | 0.10 |
|
| 2 ЗСЭ | 0.10 |
|
| 3 Уравнение без $v_2$ | 0.10 |
|
| 4 $r_{Max} = r_2 = \cfrac{(v_E + \omega h_0)^2 R^2_E}{ 2 G M_S - (v_E + \omega h_0)^2 R_E }$ | 0.10 |
|
| 5 $r_{Max} = 5.3 \; а.е.$ | 0.10 |
|
| 6 ЗСИ | 0.10 |
|
| 7 ЗСЭ | 0.10 |
|
| 8 Уравнение без $v_2$ | 0.10 |
|
| 9 $r_{Min} = r_2 = \cfrac{(v_E - \omega h_0)^2 R^2_E}{ 2 G M_S - (v_E - \omega h_0)^2 R_E }$ | 0.10 |
|
| 10 $r_{Min} = 0.43 \; а.е.$ | 0.10 |
|