Pho.rs: Космический лифт

A1 ^0.50 Вычислите высоту верхнего конца троса над поверхностью Земли $L$.

A2 ^0.50 Найдите расстояние $r$ между центром Земли и точкой, в которой механическое напряжение троса максимально.

A3 ^0.50 Выразите максимальное механическое напряжение троса $\sigma_{max}$ через $\rho,\:R_G,\:R$ и ускорение свободного падения $g$. Вычислите отношение максимального механического напряжения троса $\sigma_{max}$ к пределу прочности стали $\sigma_{steel}$. Считайте, что трос изготовлен из стали плотностью $7900$ кг/м$^3$ с пределом прочности $5.0$ ГПа.

B1 ^0.25 Выразите коэффициенты $P$ и $Q$ через $a$ и $V_0$.

B2 ^0.25 Вычислите характерную жесткость «пружинки» $k$.

B3 ^0.50 Вычислите модуль Юнга углеродной нанотрубки $E$.

B4 ^0.50 Вычислите максимальное удлинение $x_{\max}$ «пружинки».

B5 ^0.50 Оцените предел прочности $\sigma_0$ углеродной нанотрубки.

B6 ^0.50 Оцените плотность углеродной нанотрубки $\rho$. Молярная масса углерода 12 г/моль.

C1 ^0.50 Найдите зависимость площади поперечного троса $A(h)$ от высоты $h$. Высота $h$ отсчитывается от поверхности Земли.

C2 ^0.50 Трос устроен так, что площади поперечного сечения его концов равны. Найдите расстояние $H$ от центра Земли до верхнего конца троса.

C3 ^0.50 Найдите отношение $A_G/A_S$, если трос изготовлен из углеродных нанотрубок с пределом прочности 130 ГПа и плотностью $1300$ кг/м$^3$.

C4 ^1.00 Можно значительно сократить длину троса, если его часть сверху убрать и прикрепить противовес соответсвующей массы. Пусть $h_C$ — высота троса, отсчитываемая от геостационарной орбиты до противовеса. Найдите массу противовеса $m_C$.

D1 ^0.50 Если с некоторой точки троса отпустить объект, то он сможет покинуть гравитационное поле Земли. Найдите критический радиус $r_C$, измеряемый от центра Земли, для которого это произойдет.

D2 ^1.00 Найдите, каких минимального $r_{min}$ и максимального $r_{max}$ расстояний от Солнца может достичь объект, отпущенный с конца троса. Выразите ваш ответ в астрономических единицах (а.е.). Притяжением Земли на такой высоте можно принебречь.

Космический лифт

Решение