Примечание. Уравнение вида ${\mathrm d^2T(x)}/{\mathrm dx^2}=a$ имеет решение вида:\[T(x)=\frac{1}{2}ax^2+C_1x+C_2,\]где $C_1$ и $C_2$ — постоянные, определяемые из граничных условий.
| 1 ЗСЭ для маленького кусочка стержня $- k S \cfrac{d^2 T(x)}{d x^2} = \cfrac{\rho I^2}{S}$ | 0.25 |
|
| 2 Константа интегрирования $T(0) = T_1 \Rightarrow C_2 = T_1$ | 0.25 |
|
| 3 Константа интегрирования $T(L) = T_2 \Rightarrow C_1 = \cfrac{T_2 - T_1}{L} + \cfrac{1}{2} \cfrac{\rho L}{S^2 k} I^2$ | 0.25 |
|
| 4 Ответ $T(x) = T_1 + \left( \cfrac{\rho L I^2}{2 k S^2} - \cfrac{T_1 - T_2}{L} \right) x - \cfrac{\rho I^2}{2 k S^2} x^2 $ | 0.00 |
|
| 1 Общее выражение $q(x) = - k S \cfrac{d T(x)}{d x} = \cfrac{k S}{L} (T_1 - T_2) + \cfrac{\rho I^2}{S} \left( x - \cfrac{L}{2} \right) $ | 0.50 |
|
| 2 $q(0) = K (T_1 - T_2) - \cfrac{R I^2}{2}$ | 0.25 |
|
| 3 $q(x) = K (T_1 - T_2) + \cfrac{R I^2}{2}$ | 0.25 |
|
| 1 Ответ $q_1 = \pi_1 I$ | 0.25 |
|
| 1 Ответ $q_2 = \pi_2 I$ | 0.25 |
|
| 1 Ответ $P = \varepsilon I = \alpha (T_1 - T_2) I$ | 0.50 |
|
| 1 $\eta = \cfrac{P}{q_1} = \cfrac{T_1 - T_2}{T_1}$ | 0.25 |
|
| 2 $\cfrac{T_1 - T_2}{T_1} = \cfrac{\alpha (T_1 - T_2)}{\pi_1}$ | 0.25 |
|
| 3 Ответ $\pi = \alpha I$ | 0.00 |
|
| 1 $q_1 = K (T_1 - T_2) + \alpha T_1 I - \cfrac{1}{2} I^2 R$ | 0.25 |
|
| 2 $q_2 = K (T_1 - T_2) + \alpha T_2 I + \cfrac{1}{2} I^2 R$ | 0.25 |
|
|
1
$\eta =\cfrac{P_L}{q_1} = \cfrac{I^2 R_L}{K(T_1 - T_2) + \alpha T_1 I - I^2 R / 2} = \cfrac{m}{ \cfrac{K (T_1 - T_2)}{I^2 R} + \cfrac{\alpha T_1}{I R} - \cfrac{1}{2} }$ |
0.25 |
|
| 2 $I = \cfrac{\alpha (T_1 - T_2)}{(1+m)R}$ | 0.25 |
|
| 3 $\eta = \cfrac{m (T_1 - T_2)}{ \cfrac{K R (1+m)^2}{\alpha^2} + T_1 (1+m) - \cfrac{T_1 - T_2}{2} }$ | 0.25 |
|
| 1 $\eta = \eta_c \cfrac{m}{ \cfrac{(1+m)^2}{Z T_1} + (1+m) -\cfrac{1}{2} \eta_c }$ | 0.25 |
|
| 1 $\eta_p = \cfrac{T_1 - T_2}{\cfrac{4}{Z} + \cfrac{3 T_1 + T_2}{2} }$ | 0.25 |
|
| 1 Выражение для $\eta$ в удобном для дифференцирования виде (то есть в любом) | 0.25 |
|
| 2 Найдена $M$ в любом не конечном виде $\cfrac{d \eta}{d m} = 0 \Rightarrow M$ | 0.25 |
|
| 3 $M = \sqrt{ 1 + Z \cfrac{T_1 + T_2}{2} }$ | 0.25 |
|
| 1 Выражение для максимального КПД через $Z$ или $M$: $\eta_{max} = \cfrac{T_1 - T_2}{T_1} \cfrac{M-1}{M+ \cfrac{T_2}{T_1}}$ | 0.25 |
|
| 1 Получение ответа дифференцированием | 0.25 |
|
| 2 Финальный ответ $\cfrac{S_A}{S_B} = \left( \cfrac{\rho_A k_B}{\rho_B k_A} \right)^{\frac{1}{2}}$ | 0.25 |
|
|
1
$Z_m = \cfrac{\alpha^2}{\left[ (\rho_A k_A)^{\frac{1}{2}} + (\rho_B k_B)^{\frac{1}{2}} \right] ^2 }$ |
0.25 |
|
Сравните вычисленное значение с КПД идеальной тепловой машины $\eta_c$.
| 1 $Z_m = 3.15 \cdot 10^{-3} \; K^{-1}$ | 0.15 |
|
| 2 $\eta_{opt} = \cfrac{T_1 - T_2}{4 Z_m^{-1} + \cfrac{3 T_1 + T_2}{2} } = 5.84 \\%$ | 0.25 |
|
| 3 $\eta_c = 28.4 \\% \Rightarrow \cfrac{\eta_{opt}}{\eta_c} = 0.21$ | 0.10 |
|
| 1 $\eta_{max} = 6.0 \\%$ | 0.25 |
|
| 1 $q_C = K (T_1 - T_2) + \alpha T_1 I - \cfrac{1}{2} I^2 R$ | 0.25 |
|
| 1 Максимизация мощности охлаждения $\cfrac{d q_C}{d I} = 0$ | 0.25 |
|
| 2 Ответ $\Delta T_{max} = \cfrac{\alpha^2 T_{1 min}^2}{2 K R} = \cfrac{Z T_{1 min}^2}{2}$ | 0.25 |
|
| 1 $T_{1 min} = \cfrac{1}{Z_m} \left( \sqrt{1 + 2 Z_m T_2} -1 \right)$ | 0.10 |
|
| 2 $T_{1 min} = 222 \; K$ | 0.15 |
|
| 1 Общее сопротивление $R = \cfrac{\rho_A L}{S_A} + \cfrac{\rho_B L}{S_B} = 4.0 \cdot 10^{-3} \; Ом$ | 0.25 |
|
| 2 Рабочий ток $I_W = \cfrac{\alpha T_{1 min}}{R} = 23.3 \; A$ | 0.25 |
|
| 1 Мощность источника $P = \alpha (T_1 - T_2)I + R I^2$ | 0.25 |
|
| 2 Холодильный коэффициент $\beta = \cfrac{q_C}{P} = \cfrac{\alpha T_1 I + K (T_1 - T_2) - \cfrac{R I^2}{2} }{\alpha (T_1 - T_2) + R I^2}$ | 0.25 |
|
| 1 $I_{\beta} = \cfrac{ 2 K (T_2 - T_1) }{ \alpha (T_2 + T_1) } \left( \sqrt{1 + \cfrac{Z (T_2 + T_1)}{2} } - 1 \right) $ | 0.25 |
|
| 1 $\beta_{max} = \cfrac{T_1 \left[ \sqrt{1 + \cfrac{Z (T_2 + T_1)}{2} } - \cfrac{T_2}{T_1}\right]}{(T_2 - T_1) \left[ \sqrt{1 + \cfrac{Z (T_2 + T_1)}{2} } +1\right] }$ | 0.25 |
|