| 1 M1 Получен верный ответ, без использования неверных утверждений $$ \alpha_1 = 0{.} $$ | 0.50 |
|
| 2 M2 Использовано выражение для мощности $$P = (\vec{F} \cdot \vec{v}){,} $$ или эквивалентное. | 0.10 |
|
| 3 M2 Обоснованно получен максимум мощности. | 0.30 |
|
| 4 M2 Верный ответ $$ \alpha_1 = 0{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Используется выражение $$ 1{,}2 \cdot \left( \mu_x \frac{v_x^2}{v} + \mu_y \frac{v_y^2}{v} \right) =\mu_x v{,} $$ или аналогичное ему. | 0.20 |
|
| 2 Верно найдено одно из следующих выражений: $$ \cos \alpha_2 = \pm \sqrt{\frac{5\mu_x - 6\mu_y}{6(\mu_x - \mu_y)}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}{;}\\ \sin \alpha_2 = \pm \sqrt{\frac{\mu_x}{6(\mu_x-\mu_y)}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}{.} $$ | 0.20 |
|
| 3 Получен один из углов: $$\alpha_2 = \pm \frac{\pi}{4} ; \: \pm \frac{3\pi}{4}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Дифференциальное уравнение, связывающее проекции $v_x$ и $v_y$: $$ \frac{dv_x}{dv_y} = \frac{\mu_x v_x}{\mu_y v_y} {,} $$ или аналогичное. За последующие подпункты $\mathrm{A3}$ баллы не ставятся, если в этом пункте стоит $0$. | 0.30 |
|
| 2 Найден интеграл движения $$\frac{v_x^{\mu_y}}{v_y^{\mu_x}} = const{.} $$ | 0.30 |
|
| 3 Найдена проекция в виде формулы или числа $$v_{1x} = 0{.}125~\text{м/c}{.} $$ | 0.10 |
|
| 4 $$v_1 = \sqrt{v_{1x}^2 + v_{1y}^2}{.} $$ Баллы за пункт ставятся только при верном $v_{1x}$. | 0.20 |
|
| 5 $$ v_1 = 0{.}28 \text{м}/\text{с}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Составляющие силы трения по осям $x$ и $y$ правильно спроецированы на перпендикуляр к скорости $$ F_{xn} = \mu_x mg \sin \alpha \cos \alpha{;}\\ F_{yn} = -\mu_y mg \sin \alpha \cos \alpha{.} $$ | 2 × 0.20 |
|
| 2 $$ a_n = \frac{v^2}{R_{cr}} {.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Выражение для радиуса кривизны: $$ R_{cr} = \frac{v^2}{g \: (\mu_x - \mu_y) \sin \alpha \cos \alpha}{.} $$ | 0.20 |
|
| 4 Обоснованно получено, что радиус кривизны минимален при $$ \alpha_3 = \frac{\pi}{4}{.} $$ | 0.10 |
|
| 5 Получено верное выражение для минимального радиуса кривизны $$ R_{min} = \frac{2v_2^2}{g \: (\mu_x - \mu_y)}{.} $$ | 0.10 |
|
| 6 Получен численный ответ $$ R_{min} = 0{.}82~\text{м}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Зависимости $y(x)$ монотонны и между $x$ и $y$ существует биекция. | 4 × 0.05 |
|
| 2 Строгая выпуклость вниз в первом случае и вверх во втором. | 4 × 0.10 |
|
| 3 Касательные в точках остановки параллельны оси $y$ в первом случае и оси $x$ во втором случае. | 4 × 0.10 |
|
| 1 В решении используется, что угол $\varphi$, под которым будет направлена скорость при начале движения тела, является некоторой непрерывной функцией $\varphi(\alpha)\neq\alpha$, отличной от $0$ и $\pi/2$ везде, кроме нескольких точек. За последующие подпункты $\mathrm{B1}$ баллы не ставятся, если в этом пункте стоит 0. | 0.80 |
|
| 2 $$ F_x = \mu_x mg \cos \varphi{;}\\ F_y = \mu_y mg \sin \varphi{.} $$ По $0{.}2$ балла за каждую компоненту. | 2 × 0.20 |
|
| 3 $$ F_x = F \cos \alpha{;}\\ F_y = F \sin \alpha{.} $$ По $0{.}1$ балла за каждую компоненту. | 2 × 0.10 |
|
| 4 $$ F = \frac{\mu_x \mu_y}{\sqrt{\mu_x^2 \sin^2 \alpha + \mu_y^2 \cos^2 \alpha}} mg{.} $$ | 0.50 |
|
| 5 $$ t = \frac{\mu_x \mu_y}{\sqrt{\mu_x^2 \sin^2 \alpha + \mu_y^2 \cos^2 \alpha}} \frac{mg}{\gamma}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Получена формула вида: $$\dfrac{dv}{dt}=-g\left(\mu_x \cos^2\varphi+\mu_y\sin^2\varphi\right){.} $$ | 0.40 |
|
| 2 Получено выражение вида: $$L\dot\varphi d\dot\varphi=-g\left(\mu_x\cos^2\varphi+\mu_y\sin^2\varphi\right)d\varphi{.} $$ | 0.40 |
|
| 3 Верно проинтегрировано уравнение из предыдущего пункта и получен интеграл движения в виде: $$v^2+gL\left((\mu_x+\mu_y)\varphi+(\mu_x-\mu_y)\dfrac{\sin2\varphi}{2}\right)=v_0^2{.} $$ | 0.70 |
|
| 1 Для движущейся материальной точки записан второй закон Ньютона на ось, направленную вдоль стержня. Например: $$T+F_{\text{fr}}\sin\beta=m\dot\varphi^2L{,} $$ где $\beta$ – это угол между силой трения и линией вектора скорости. | 0.40 |
|
| 2 Получена зависимость для силы натяжения стержня в зависимости от угла поворота $\varphi$ $$T=Lm\dot\varphi_0^2-mg(\mu_x+\mu_y)\varphi-mg(\mu_x-\mu_y)\sin2\varphi{.} $$ | 0.20 |
|
| 3 Используя верный результат пункта $\mathrm{B1}$, получено условие на выход из положения равновесия второй материальной точки: $$Lm\dot\varphi_0^2-mg(\mu_x+\mu_y)\varphi-mg(\mu_x-\mu_y)\sin2\varphi\le\dfrac{\mu_x\mu_y}{\sqrt{\mu_y^2\sin^2\varphi+\mu_x^2\cos^2\varphi}}mg{.} $$ | 0.20 |
|
| 4 На основе предыдущего пункта сделан вывод о том, что если при $\varphi=0$ материальная точка не пришла в движение, то дальше она будет все время покоиться. | 0.40 |
|
| 5 Получено выражение для $v_\text{0max}$ $$v_\text{0max}^2=\mu_ygL{.} $$ | 0.20 |
|
| 6 Получен верный численный ответ $$v_{max}\approx 2{.}2 ~\text{м/с} $$ | 0.10 |
|
| 1 При наличии правильной формулы получен верный численный ответ в пределах от $S=0{.}32~\text{м}$ до $S=0{.}36~\text{м}$. | 1.00 |
|