A1  ^1,00 Чему равен момент импульса $\vec{L}$ этого витка (величина и направление), если он вращается с угловой скоростью $\vec{\omega}$?

A1. 1 Определение	0,50
A1. 2 Ответ направление + величина	2 × 0,25

A2  ^1,00 Величина магнитного момента определяется как $|\vec{M}| = I A$, где $I$ — это ток, а $A$ — площадь витка. Найдите соотношение между магнитным моментом $\vec{M}$ и моментом импульса $\vec{L}$ витка.

A2. 1 Выражение для тока	0,50
A2. 2 Ответ	0,50

A3  ^1,00 Рассмотрим кольцо, описанное в пункте А1, помещенное в однородное магнитное поле индукцией $B_z$, которое направлено вдоль оси $z$. Чему равна потенциальная энергия такой системы? Потенциальная энергия равна нулю при $\theta = \pi/2$.

A3. 1 Момент сил на виток	0,25
A3. 2 Ответ	0,75

A4  ^0,50 У электрона есть собственный момент импульса (спин). Его величина в определенном направлении равна $\hbar/2$, где $\hbar = h/2\pi$, а $h$ — постоянная Планка. \newline
Электроны помещены в магнитное поле. Чему равна потенциальная энергия электронов $U_{\text{up}}$ и $U_{\text{down}}$, чьи спины параллельны полю и антипараллельны, соответственно. Выразите свой ответ через магнетон Бора
\begin{equation*}
\mu_B = \frac{e \hbar}{2 m_e} = 5.788 \cdot 10^{-5}~\text{эВ}\cdot\text{Т}^{-1}
\end{equation*}и индукцию поля $B$.

A4. 1 Магнитный момент электрона	0,25
A4. 2 Ответ	0,25

A5  ^0,50 Из квантовой механики известно, что потенциальные энергии $\tilde{U}_{\text{up}}$ и $\tilde{U}_{\text{down}}$ в два раза больше значений $U_{\text{up}}$ и $U_{\text{down}}$, найденных в пункте А4. Пусть приложено магнитное поле индукцией 1 Тесла. Чему тогда равны потенциальные энергии электрона $\tilde{U}_{\text{up}}$ и $\tilde{U}_{\text{down}}$, чей спин параллелен и антипараллелен приложенному полю соответственно? В дальнейшем в задаче используйте в своих вычислениях выражения для $\tilde{U}_{\text{up}}$ и $\tilde{U}_{\text{down}}$.

A5. 1 Ответ

2 × 0,25

B1  ^0,50 Считайте, что магнитное поле действует только на спин электронов, а не на их орбитальное движение. Чему равна энергия $E_S$ куперовской пары, помещенной в однородное магнитное поле $\vec{B} = (B_x, 0, 0)$? Напомним, что у электронов, образующих куперовскую пару, противоположные спины.

B1. 1 Ответ

0,50

B2  ^0,50 В нормальном (не сверхпроводящем) состоянии электроны не образуют куперовские пары. Поле $\vec{B} = (B_x, 0, 0)$ однородно и направлено вдоль плоскости в направлении оси $x$. Чему равна минимальная энергия двух электронов $E_N$ в этом поле? Используйте в своих вычислениях $\tilde{U}_{\text{up}}$ и $\tilde{U}_{\text{down}}$ из пункта A5. Действием магнитного поля на орбитальное движение электронов можно пренебречь.

B2. 1 Ответ

0,50

B3  ^0,50 Когда температура равна нулю, система \textbf{займет} состояние с минимальной энергией. Сверхпроводимость исчезает, если индукция поля превысит критическое значение $B_P$ (т.е. при $|\vec{B}| > B_P$). Чему равно это критическое значение $B_P$? Выразите ответ через $\Delta$.

B3. 1 Ответ

0,50

C1  ^1,50 Найдите $\lambda$ и выразите ответ через $e$, $B_z$ и $\hbar$.
Примечание:
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{- a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{- a x^2} dx = \frac{1}{2 a} \sqrt{\frac{\pi}{a}},
\end{equation*}
где $a$ — постоянная.

C1. 1 M1 $F(\psi)$ как функция $\lambda$	0,75
C1. 2 M1 Минимизация $F(\psi)$	0,25
C1. 4 M2 Выражение через Гамильтониан	0,50
C1. 5 M2 Основное состояние волновой функции	0,50
C1. 6 $\lambda=eB_z/\hbar$	0,50

C2  ^1,00 Найдите критическое значение индукции поля $B_z$, когда сверхпроводящее состояние перестает быть энергетически выгодным. Выразите ответ через $\alpha$.

C2. 1 Условие на критическое поле	0,50
C2. 2 Ответ	0,50

D1  ^0,50 Чему равна энергия $E_I$ куперовской пары в сверхпроводнике Изинга?

D1. 1 Ответ

0,50

D2  ^1,00 К веществу, где есть спин-орбитальное взаимодействие, вдоль плоскости приложено однородное магнитное поле $\vec{B}_{\parallel} = (B_x,0,0)$. Чему при этом равна энергия $E_{\parallel}$ двух электронов? (Внутренние магнитные поля по-прежнему действуют и направлены перпендикулярно $\vec{B}_{\parallel}$. Также можно пренебречь действием поля, направленного вдоль плоскости, на орбитальное движение куперовских пар.)

D2. 1 Компоненты спина	2 × 0,25
D2. 2 Ответ	0,50

D3  ^0,50 Чему равно критическое значение индукции $B_I$, когда при $|\vec{B}_{\parallel}| > B_I$, $E_{\parallel} < E_I$?

D3. 1 Ответ

0,50